初中数学浙教版（2024）九年级上册二次函数课时训练

这是一份初中数学浙教版（2024）九年级上册二次函数课时训练，共36页。试卷主要包含了3 二次函数 y=a2+k，85 ，“**”难度系数 0等内容，欢迎下载使用。
专题 1.3 二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）和 y=a（x-h）2+k
（a≠0）的图象与性质（3 大考点9 类题型）（知识梳理与题
型分类讲解）
一、【学习目标】
1．会用描点法画出二次函数y = a（x - h)2 (a ≠ 0) ，y = a（x - h)2 + k(a ≠ 0) 的图象．掌握抛物 线y = a(x - h)2 + k 与y = ax2 图象之间的关系；
2 ．熟练掌握函数y = a（x - h)2 (a ≠ 0) y = a(x - h)2 + k 的有关性质，并能用函数
y = a(x - h)2 + k 的性质解决一些实际问题；
3 ．经历探索y = a(x - h)2 + k 的图象及性质的过程，体验y = a(x - h)2 + k 与y = ax2 、
y = ax2 + k 、y = a(x - h)2 之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．
二、【知识梳理】
【知识点 1】二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）的图象和性质
【知识点 2】二次函数 y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象和性质
a 的符 号
开口
方向
顶点坐 标
对称 轴
性质
a > 0
向上
(h ，0)
x=h
x > h 时，y 随x 的增大而增大；x < h 时，y 随x 的增 大而减小；x = h 时，y 有最小值0 ．
a < 0
向下
(h ，0)
x=h
x > h 时，y 随x 的增大而减小；x < h 时，y 随x 的增 大而增大；x = h 时，y 有最大值0 ．
a 的符 号
开口
方向
顶点坐 标
对称 轴
性质
a > 0
向上
(h ，k)
x=h
x > h 时，y 随x 的增大而增大；x < h 时，y 随x 的增 大而减小；x = h 时，y 有最小值k ．
【知识点 3】二次函数的平移
1 ．平移步骤：
w 将抛物线解析式转化成顶点式y= a (x - h)2 + k ，确定其顶点坐标(h ，k ) ；
⑵ 保持抛物线y = ax2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k ) 处，具体平移方法如下：
2 ．平移规律：
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减， 上加下减”．
三、【题型目录】
【夯实基础】
【考点一】二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）的图象与性质
【题型一】二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增减 性
【题型二】二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）增性减比较大小+求参数值
【题型三】二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）图象位置与参数关系
【考点 2】二次函数 y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象和性质
【题型四】二次函数 y=a（x-h）2+k（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增 减性
【题型五】二次函数 y=a（x-h）2+k（a≠0）增性减比较大小+求参数值
【题型六】二次函数 y=a（x-h）2+k（a≠0）图象位置与参数关系
【考点 3】二次函数 y=ax2（a≠0）与 y=a（x-h）2+k（a≠0）的象之间的平移关
a < 0
向下
(h ，k)
x=h
x > h 时，y 随x 的增大而减小；x < h 时，y 随x 的增 大而增大；x = h 时，y 有最大值k ．
系
【题型七】求二次函数 y=ax2（a≠0）和 y=a（x-h）2+k（a≠0）图象之间平移关 系
【拓展延伸】
【考点三】图象与性质综合
【题型八】求二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）和 y=a（x-h）2+k（a≠0）图象与性 质综合
【题型九】二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）和 y=a（x-h）2+k（a≠0）图象与性质 与几何综合
四、【题型展示与方法点拨】
【特别说明】序号前带“*”难度系数 0.85 ，“**”难度系数 0.65 ，“***”难度系数 0.4． 【夯实基础】
【考点一】二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）的图象与性质
【题型一】二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增减 性
*【例题 1】
（24-25 九年级上·安徽安庆·期中）
1 ．对于二次函数y = -2(x - 3)2 的图象，下列说法正确的是( )
A ．开口向上 B ．对称轴是直线x = 3
C ．当x > -4 时，y 随 x 的增大而减小 D ．顶点坐标为(-2, -3)
*【变式 1】
（23-24 九年级下·全国·课后作业）
2 ．有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点：
A：函数图像的顶点在 x 轴上；
B：当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小；
C：该函数图像的形状与函数 y = -2x2 的图像相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系 式： ．
*【变式 2】
（23-24 九年级上·安徽安庆·期末）
3 ．已知抛物线y = a (x - h)2 的对称轴为直线x = -2 ，且过点(1, -3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标．
【题型二】二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）增性减比较大小+求参数值 *【例题 1】
（23-24 九年级上·陕西延安·期末）
4 ．已知抛物线y = -(x - h)2 ，当自变量 x 的值满足3 ≤ x ≤ 7 时，与其对应的函数的最大值是
-1，求 h 的值．
*【变式 1】
（24-25 九年级上·山西朔州·期中）
5．若A(-2, y1 ), B (2, y2 ), C (3, y3 ) 是抛物线 上的三个点，则y1, y2, y3 的大小
关系是( )
A ．y1 < y2 < y3 B ．y2 < y1 < y3 C ．y2 < y3 < y1 D ．y1 < y3 < y2
*【变式 2】
（24-25 九年级上·黑龙江佳木斯·期末）
6 ．已知点A(-3, y1 ) ，B (-2, y2 ) 和C(4, y3 ) 都在二次函数y = a (x +1)2 (a < 0) 的图象上，则 y1 ，y2 ，y3 的大小关系是 （用 “>”连接）．
【题型三】二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）图象位置与参数关系
*【例题 1】
（23-24 九年级上·上海·阶段练习）
7 ．如果抛物线y = (2 - m)x2 的开口向下，且直线y = 4x + 5 - m不经过第四象限，那么m 的 取值范围是 ．
*【变式 1】
（24-25 八年级下·北京·期中）
8．对于二次函数y1 = a(x + 2)2 和y2 = a(x - 2)2 (a > 0) ，其自变量和函数值的两组对应值如下 表所示：
根据二次函数图象的相关性质可知：m = ，d - b = ．
*【变式 2】
（24-25 九年级上·河北邯郸·阶段练习）
9 ．已知二次函数y= - (x - h)2 （ h 为常数），当 x =h 时，函数最大值为 0；当自变量x 满足
2 ≤ x ≤ 5 时，其对应函数y 的最大值为-1，则 h 的值为 ．
【考点 2】二次函数 y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象和性质
*【题型四】二次函数 y=a（x-h）2+k（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性 *【例题 4】（24-25 九年级上·广东中山·期中）
10 ．探究二次函数y = 2(x +1)2 -3及其图象的性质，请填空：
\l "bkmark1" (1)图象的开口方向是；
\l "bkmark2" (2)图象的对称轴为直线；
\l "bkmark3" (3)图象与y 轴的交点坐标为；
(4)当 x 为何值时，函数y 有最小值，并出求最小值．
*【变式 1】
（2025·山东潍坊·三模）
11 ．关于抛物线y = (x - 2)2 -1 ，下列说法中错误的是( )
A ．开口方向向上 B ．对称轴是直线x = 2
C ．顶点坐标为(2, -1) D ．当x > 2 时，y 随x 的增大而减小
*【变式 2】
（24-25 九年级上·陕西西安·期中）
12 ．已知二次函数y = - (x - 2)2 - 4 ．
(1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当x 取什么范围时，y 随x 的增大而增大？
x
-4
m
y1 = a(x + 2)2
b
b + 5
y2 = a(x - 2)2
d
b
【题型五】二次函数 y=a（x-h）2+k（a≠0）增性减比较大小+求参数值 *【例题 5】
（24-25 九年级上·河南漯河·阶段练习）
13 ．已知二次函数y = 2 (x +1)2 - 5 ，当 -4 < x < 1 时，y 的取值范围是 ．
*【变式 1】
（24-25 九年级下·江苏泰州·开学考试）
14 ．已知二次函数y = 2 (x -1)2 + k 的图象上有三个点A(-2, y1 ) ，B (1, y2 ) ， C (2, y3 ) ，则y1 ， y2 ，y3 的大小关系为 （用“ < ”连接）．
*【变式 2】
（2025·江西·模拟预测）
15 ．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M(x1, y1 ), N (x2, y2 ) 为抛物线y = a (x - h)2 + k(a > 0) 上 任意两点，其中x1 < x2 ．若对于x1 + x2 > 2 ，都有 y1 < y2 ，则 h 的取值范围为( )
A ．h >1 B ．h ≤ 1 C ．h > -1 D ．h < -1
【题型六】二次函数 y=a（x-h）2+k（a≠0）图象位置与参数关系 *【例题 6】
（20-21 九年级上·全国·单元测试）
16 ．已知抛物线
（1）确定此抛物线的顶点在第几象限；
（2）假设抛物线经过原点，求抛物线的顶点坐标．
*【变式 1】
（2024·陕西西安·模拟预测）
17 ．若抛物线y = x2 - 2x + m -1 （m 是常数）的图象只经过第一、二、四象限， 则 m 的取值
范围是( )
A ．m > 1 B ．m ≥ 1 C ．1 ≤ m < 2 D ．m ≤ 2
*【变式 2】
（2025·上海·模拟预测）
18．若二次函数y= a (x - m)2 + n (a, m, n ≠ 0) 不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了x
轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限．
【考点 3】二次函数 y=ax2（a≠0）与 y=a（x-h）2+k（a≠0）的象之间的平移关 系
【题型七】求二次函数 y=ax2（a≠0）和 y=a（x-h）2+k（a≠0）图象之间平移关 系
*【例题 7】
2023 九年级上·全国·专题练习）
19 ．已知抛物线y = a(x - h)2 向右平移3 个单位长度后得到抛物线 ．
(1)求a 、h 的值；
(2)写出抛物线y = a(x - h)2 的对称轴及顶点坐标．
*【变式 1】
（24-25 九年级上·浙江杭州·阶段练习）
20 ．要得到抛物线y = 4 (x - 2)2 - 3 ，可以将抛物线 y = 4x2 ( )
A ．向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位
B ．向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位
C ．向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位
D ．向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位
*【变式 2】
（2025·上海·模拟预测）
21．若二次函数y= a (x - m)2 + n (a, m, n ≠ 0) 不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了x 轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限．
【拓展延伸】
【考点三】图象与性质综合
【题型八】求二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）和 y=a（x-h）2+k（a≠0）图象与性 质综合
**【例题 8】
（2024 九年级上·上海·专题练习）
22 ．点 A(-4, y1 ) 、B(-1, y2 ) 在二次函数 的图象上，要比较y1 、y2 的大小，
只要把A 、B 两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方 法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方， 由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点A 到对称轴的距离为2 ，点B 到对称轴的距离 为1，于是 y1 > y2 ．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数y = a(x - 2)2 + c(a < 0) ，当自
变量x 分别取、 ，3 ，0 时，对应的函数值分别为y1 、y2 、y3 ，则y1 、y2 、y3 的大小关 系是 ．
**【变式 1】
（24-25 九年级上·浙江杭州·阶段练习）
23 ．设函数y1 = - (x - m)2 ，y2 = - (x - n)2 ，直线 x =1 与函数y1 ，y2 的图象分别交于点 A (1, a1 ) ，B (1, a2 ) ，得( )
A ．若1 < m < n ，则 a1 < a2 B ．若m < 1 < n ，则 a1 < a2
C ．若m < n < 1，则 a1 < a2 D ．若m < 1 < n ，则 a1 > a2
**【变式 2】
（24-25 九年级上·北京海淀·期中）
24 ．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y = a (x - a )2 + c (a ≠ 0) ，点 A(2, y1 ) ， B (3a, y2 ) ，C (t, y3 ) 是抛物线上不同的三点．
(1)若y1 = y2 ，直接写出 a 的值：
(2)若对于任意的-2 < t < -1，都有 y3 > y2 > y1 ，求 a 的取值范围．
【题型九】二次函数 y=a（x-h）2（a≠0）和 y=a（x-h）2+k（a≠0）图象与性质
与几何综合
**【例题 9】
（2025·甘肃陇南·一模）
25 ．如图，二次函数y = (x + 2)2 -1 的图象与y 轴交于点A ，与轴交于点 B ，C ．
(1)求点A ，B ，C 的坐标，
(2)在抛物线上是否存在一点P ，使S△PAB = S△ABO ？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．
**【变式 1】
（24-25 九年级上·福建厦门·期中）
26 ．如图，已知二次函数y = a(x + 1)2 + 4(a ≠0) 的图象L ，点 O 是坐标系的原点，点P 是图 象L 对称轴上的点，图象L 与y 轴交于点C ，则下面结论：①关于x 的方程a(x +1)2 + 4 = 0 的解是x1 = -3 ，x2 = 1 ；②当x =2 时，y < 0； ③点C 的坐标为(0, 3) ；④△ PCO 周长的最
小值是3 + 3 ．正确的有 ．
**【变式 2】
（24-25 九年级上·天津·阶段练习）
27 ．如图，抛物线 与y2 = a(x - 4)2 - 3 交于点A(1, 3) ，过点 A 作 x 轴的平行 线，分别交两条抛物线于 B ，C 两点，且 D ，E 分别为顶点，则下列结论：
② AC = AE ；③△ABD 是等腰直角三角形；④当x > 1 时，y1 > y2 ．
其中正确的结论有 ．（填序号）
1 ．B
【分析】本题考查二次函数的性质， 解题关键是熟练掌握抛物线顶点式y = a(x - h)2 的性质． 根据抛物线的性质由a = -2 得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为(3, 0) ，对称轴 为直线x = 3 ，x ≤ 3 时y 随x 增大而增大，当x > 3 时，y 随的增大而减小，判定即可．
【详解】解：: y = -2(x - 3)2
:-2 < 0
:抛物线开口向下，故 A 选项不符合题意；
:对称轴为直线x =3 ，故 B 选项符合题意；
:顶点坐标为(3, 0) ，故 D 选项不符合题意；
: x ≤ 3 时y 随x 增大而增大，x > 3 时y 随x 增大而减小．故 C 选项不符合题意；
故选：B．
2 ．y = -2(x -1)2
【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质， 熟练掌握二次函数y= a (x - h)2 的图像和 性质是解题的关键，根据y= a (x - h)2 函数图像与性质，结合 A 、B 、C 三个选项可以求出 符合题意的二次函数关系式；
【详解】根据 A 的描述可设二次函数关系式为y= a (x - h)2 ， 根据 C 的描述可知 a = -2 = 2 ，则 a = ±2 ，
再结合 B 的描述可得出h ≤ 1，且 a = -2 ，
所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是y = -2(x -1)2 ， 故答案为：y = -2(x -1)2 (答案不唯一)．
(2)抛物线的开口向下，顶点为(-2, 0) ．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点， 利用 待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．
（1）由对称轴可求得 h 的值，再把(1, -3) 代入可求得 a 的值即可求得抛物线解析式；
（2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y = a (x - h)2 的对称轴是直线x = -2 ， : h = -2 ，
:抛物线解析式为y = a (x + 2)2 ， ∵抛物线过(1, -3)，
:-3 = 9a ，
解得 ，
:抛物线解析式为 ．
（2）解：∵抛物线为 :抛物线的开口向下，顶点为(-2, 0) ．
4 ．h 的值为 8 或 2
【分析】本题考查二次函数的图象和性质， 熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据 二次函数的性质，分h < 3 和h > 7 ，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵ y = -(x - h)2 ，顶点坐标为 (h, 0) ，a = -1< 0 ，
:在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小．
∵当3 ≤ x ≤ 7 时，与其对应的函数的最大值是-1， : 3 ≤ x ≤ 7 在对称轴的同侧．
①当h < 3 ，x = 3 时，y 取得最大值，
:-1= -(3 - h)2 ，解得 h = 2 或h = 4 （舍去）．
②当h > 7 ，x = 7 时，y 取得最大值，
:-1= -(7 - h)2 ，解得 h = 8 或h = 6 （舍去）． 综上所述，h 的值为 8 或 2．
5 ．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对 称轴为直线x = 1 ，根据二次函数的性质来判断纵坐标的大小即可．
【详解】解：∵抛物线y = - + a 开口向下，对称轴为直线x = 1 ，-2 < 1 < 2 < 3 ， : A(-2, y1 ) 离对称轴最远，其次为C(3, y3 ) ，最近为 B(2,y2 )，
: y1 < y3 < y2 ， 故选：D．
6 ．y2 > y1 > y3
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质的性质是解题的关 键．
根据二次函数解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为x = -1 ，根据二次函数增减 性即可求解．
【详解】解：∵二次函数y = a (x +1)2 (a < 0) ，
:二次函数图象开口向下，对称轴直线为x = -1 ，
当x ≤ -1时， y 随x 的增大而增大，当x ≥ -1时， y 随x 的增大而减小， :离对称轴直线越远，值越小，
∵ 4 - (-1) = 5 ，-1- (-3) = 2 ，-1- (-2) = 1 ，5 > 2 > 1， : y2 > y1 > y3 ，
故答案为：y2 > y1 > y3 ．
7 ．2 < m ≤ 5
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质， 一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的 图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：Q抛物线y = (2 - m)x2 的开口向下，
:2 - m < 0 ，
:m > 2
Q 直线y = 4x + 5 - m不经过第四象限，
:5 - m ≥ 0 ，
: m ≤ 5 ，
故答案为：2 < m ≤ 5 ．
8 ． 4 5
【分析】本题考查二次函数的图象和性质， 先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然 后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可．
【详解】解：对于二次函数 y1 = a (x + 2)2 和y2 = a(x - 2)2 (a > 0) ，
由表格中的数据得：当x = -4 时，y1 = a (-4 + 2)2 = 4a = b ， 即b = 4a ；
y2 = a (-4 - 2)2 = 36a = d ， : d = 36a ；
当x = m 时，y1 = a (m + 2)2 = b + 5 ， 代入b = 4a 得，a (m + 2)2 = 4a + 5 ，
y2 = a (m - 2)2 = b ，代入b = 4a 得a (m - 2)2 = 4a ， 化简得，(m - 2)2 = 4 ，
解得：m = 4 或m = 0 ；
若m = 0 ，代入 y1 则可得4a = 4a + 5 ，此情况不存在， 当m = 4 时，代入y1 则可得36a = 4a + 5 ，
解得 符合a > 0 ，
: d = 36a = 36 × 5 = 45 ，b = 4a = 4 × 5 = 5 ，
32 8 32 8
故答案为：4；5．
9 ．6 或1
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当 x < h 时，y 随 x 增大而增大，当x > h 时，y 随 x 增大而减小，再分若5 < h ，则当 x =5 时，y 最大，若 h < 2 ，则当 x =2 时，y 最大，若2 ≤ h ≤ 5 ，则最大值为 0，三种情况根据最大值为 -1进行 求解即可．
【详解】解：:-1< 0 ，
:二次函数y= - (x - h)2 （h 为常数）当x < h 时，y 随 x 增大而增大，当x > h 时，y 随 x 增大 而减小，
若5 < h ，则当 x = 5 时，y 最大，即- (5 - h)2 = -1，解得h1 = 4 （舍去）， h2 = 6 ；
若h < 2 ，则当 x = 2 时，y 最大，即- (2 - h)2 = -1 ，解得h3 = 1 ，h4 = 3（舍去）；
若2 ≤ h ≤ 5 ，则最大值为 0，与题意不符； 由上可得，h 的值是 6 或 1．
故答案为：6 或 1．
10 ．(1)开口向上
(2)直线x = -1
(3) (0, -1)
(4)当x = -1 时，y 有最小值-3
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
（1）根据解析式可得 a = 2 > 0 ，即可求解；
（2）根据顶点式，即可求解；
（3）令 x =0 ，得出 y = -1，即可求解；
（4）根据解析式求得顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：Q y = 2(x +1)2 - 3 ，
: a = 2 > 0 ，
:抛物线开口向上；
（2）解：Q y = 2(x + 1)2 - 3 ， :对称轴为直线x = -1 ；
（3）解：Q y = 2(x + 1)2 - 3 ，
当x = 0 时，y = 2 × 12 - 3 = -1
:图象与y 轴的交点坐标为(0, -1) ；
（4）解：Q y = 2(x + 1)2 - 3 ，
:顶点坐标为(-1, -3) ，
: 当x = -1 时，y 有最小值-3 ．
11 ．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质， 依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断 进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】解：由题意，Q抛物线为y = (x - 2)2 -1，
:抛物线开口向上，对称轴是直线x =2 ，顶点为(2, -1) ，当 x > 2 时，y 随x 的增大而增大， 故 A 、C 、B 正确，均不符合，D 错误，符合题意．
故选：D．
12 ．(1)开口向下，对称轴为直线x =2 ，顶点坐标(2, -4)
(2) x < 2
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可；
（2）利用开口方向和对称轴即可解答．
【详解】（1）解：Q 二次函数y = - (x - 2)2 - 4 中，a = -1< 0 ， :二次函数开口向下，
对称轴为直线x =2 ，顶点坐标为(2, -4) ；
（2）解：Q 二次函数开口向下，
:在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大， Q 二次函数的对称轴为x = 2 ，
: 当x < 2 时，y 随x 的增大而增大．
13 ．-5 ≤ y < 13
【分析】本题主要考查了二次函数的性质， 根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而 确定函数值的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为y = 2 (x +1)2 - 5 ，
:二次函数开口向上，对称轴为直线x = -1 ，顶点坐标为(-1, -5)，
:当x = -1 时，函数有最小值-5 ，在对称轴右侧 y 随 x 增大而增大，在对称轴左侧y 随 x 增 大而减小，且离对称轴越远，函数值越大，
∵-1- (-4) = 3 > 1- (-1) = 2 ，且当 x = -4 时，y = 13 ， :-5 ≤ y < 13 ，
故答案为：-5 ≤ y < 13 ．
14 ．y2 < y3 < y1
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征， 由点的横坐标到对称轴的距离判断点的
纵坐标的大小．由二次函数y = 2 (x -1)2 + k 可知对称轴为x = 1 ，图象开口向上，在对称轴两 侧时，则A、B、C 的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此可判断y1 ，y2 ，y3 的大小． 【详解】解：二次函数 y = 2 (x -1)2 + k 的对称轴为x = 1 ，开口向上，
A(-2, y1 ) 到坐标轴的距离为-2 -1 = 3 ， B (1, y2 ) 到坐标轴的距离为 1-1 = 0 ， C (2, y3 ) 到坐标轴的距离为 2 -1 = 1 ， Q3 > 1 > 0 ，
:y2 < y3 < y1 ，
故答案为：y2 < y3 < y1 ．
15 ．B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据 y1 < y2 ，可得
a (x1 - h)2 + k < a (x2 - h)2 + k ，则可推出 x1 +x2 >2h，据此可得 2h ≤ 2 ，h ≤ 1．
【详解】解：Q y1 < y2 ，
: a (x1 - h)2 + k < a (x2 - h)2 + k ， : a (x1 - h)2 - a (x2 - h)2 < 0
:a (x1 + x2 - 2h)(x1 - x2 ) < 0 ，
Qa > 0，x1 < x2 ，
: x1 +x2 >2h，
Q 当x1 + x2 > 2 时，都有y1 < y2 ，即都有 x1 +x2 >2h，
:2h ≤ 2 ，
:h ≤ 1．
故选：B．
16 ．（1）在第二象限；（2）（ -1 ，1）．
【分析】（1）此题可以利用利用配方法求出抛物线的顶点坐标为( -1 ， 然后即可确 定在第二象限；
（2）因为抛物线经过原点，所以 ，解此方程即可求出a2 ，然后就可以求出抛物线 顶点坐标．
∵ a2 ≥ 0 ，
:抛物线的顶点坐标为( -1 ， 在第二象限；
（2）∵抛物线经过原点，
:顶点坐标为（ -1 ，1）．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质， 二次函数图象上点的坐标特征，正确利用配方 法是解题的关键．
17 ．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线x =1 ，顶点坐标为(1, m - 2)， 然后根据题意得出关于 m 的不等式组，求解即可．
【详解】解：∵ y = x2 - 2x + m -1 = (x -1)2 + m - 2 ，
:抛物线开口向上，对称轴为直线x =1 ，顶点坐标为(1, m - 2)，
∵抛物线y = x2 -2x + m-1（m 是常数）的图象只经过第一、二、四象限，
ìm -1≥ 0
: í ,
lm - 2 < 0 : 1 ≤ m < 2 ， 故选：C．
18 ．三与四
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关 知识点是解题的关键．
根据题意得到二次函数y= a (x - m)2 + n (a, m, n ≠ 0) 的顶点坐标为(m, n)，根据平移后新抛物 线的顶点坐标在x 轴上，得到新抛物线不可能经过第三、四象限．
【详解】解：Q 二次函数y = a (x - m)2 + n (a, m, n ≠ 0) 不经过第三象限，
:抛物线顶点坐标为(m, n)， 顶点可能在第一、二、四象限，图像过一、二象限或一、二、 四象限，开口向上，
Q平移后新抛物线的顶点坐标在x 轴上， 新抛物线不可能经过第三、四象限，
故答案为：三与四．
19 ．
(2) x = -3 ，(-3, 0)
【分析】本题主要考查函数图像的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．
（1）根据函数图像平移的性质，得到 y = a(x - h - 3)2 ，即可得到答案；
（2）根据顶点式解析式直接回答即可．
【详解】（1）解：Q抛物线y = a(x - h)2 向右平移3 个单位长度，
:得到的抛物线解析式y = a(x - h - 3)2 ， 即 ，
又 x - h - 3 = x ，
解得h = -3，
（2）解：抛物线 y = a (x + 3)2 的对称轴是x = -3 ，顶点坐标是(-3, 0)．
20 ．A
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换， 关键是掌握平移的规律．根据平移的规 律：左加右减，上加下减可得答案．
【详解】解：Q y = 4x2 与y = 4 (x - 2)2 - 3 相比较横坐标减2 ，
:是向右平移2 个单位，
Q y = 4x2 与y = 4 (x - 2)2 - 3 相比较函数值减3 ， :是向下平移3 个单位，
故抛物线y = 4x2 向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位得到y = 4 (x - 2)2 - 3 ， 故选：A．
21 ．三与四
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关 知识点是解题的关键．
根据题意得到二次函数y= a (x - m)2 + n (a, m, n ≠ 0) 的顶点坐标为(m, n)，根据平移后新抛物 线的顶点坐标在x 轴上，得到新抛物线不可能经过第三、四象限．
【详解】解：Q 二次函数y = a (x - m)2 + n (a, m, n ≠ 0) 不经过第三象限，
:抛物线顶点坐标为(m, n)， 顶点可能在第一、二、四象限，图像过一、二象限或一、二、 四象限，开口向上，
Q平移后新抛物线的顶点坐标在x 轴上， 新抛物线不可能经过第三、四象限，
故答案为：三与四．
22 ．y1 > y2 > y3
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离 较大的点在到对称轴距离较小的点的上方；在开口向下的二次函数图象上，到对称轴距离较 大的点在到对称轴距离较小的点的下方．
【详解】解：Q 二次函数y = a(x - 2)2 + c(a < 0) ，
:二次函数y = a(x - 2)2 + c(a < 0) 对应的抛物线开口向下，
:在该函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方， 当自变量x 分别取、 ，3 ，0 时，
Q 2 - 0 > 3 - 2 > 2 - ，
:y1 > y2 > y3 ．
故答案为：y1 > y2 > y3 ．
23 ．C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关 键．根据题意分别画出y1 ，y2 的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若1 < m < n ，则 a1 > a2 ，
故 A 选项错误；
如图所示，若m < 1 < n ，则 a1 > a2 或a1 < a2 ，
故 B 、D 选项错误；
如图所示，若m < n < 1，则 a1 < a2 ，
故 C 选项正确；
故选：C．
24 ．(1) a = -2
【分析】题目主要考查二次函数的性质及利用函数图象求解， 理解题意，结合函数图象求解 是解题关键．
（1）根据题意得出对称轴为x = a ，结合题意得出 2 + 3a = 2a ，即可求解；
（2）设点 B 、B¢ 关于对称轴x = a 对称，分两种情况：当a > 0 时，当a < 0 时，分别作出相 应草图，结合图象求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y = a (x - a )2 + c (a ≠ 0)
:对称轴为x = a ， ∵ y1 = y2 ，
:点A(2, y1 ) ，B (3a, y2 ) 关于对称轴对称，
: 2 + 3a = 2a ， 解得：a = -2 ；
（2）设点 B 、B¢ 关于对称轴x = a 对称，
当a > 0 时，如图所示，点 A 在BB¢ 对应抛物线的下方且在x =0 的右侧，
点 C 一定在对称轴左侧且在B¢ 点的上方， :-a ≥ -1, 2 < 3a ，
当a < 0 时，如图所示，点 A 在x =0 的右侧且在B¢ 的下方，
点 C 一定在 B 、B¢ 上方的抛物线上， :-a < 2, 3a < -2 ，
综上可得 或 ．
25 ．(1) A(0, 3) ，B (-3, 0) ，C (-1, 0)
存在 或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质， 抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标 轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）分别令 x = 0 ，y = 0 ，利用解析式解答即可；
（2）先求出S△ ,过点 P 作PM 丄 AB 所在直线于点M ，设P(m, (m + 2)2 -1)，则 M (m, m + 3) ，利用铅锤法得出S△ 列式求解即可．
【详解】（1）解：令 x = 0 ，得 y = (x + 2)2 -1 = 3 ， 则A(0, 3) ，
令y = 0 ，得 y = (x + 2)2 -1 = 0 ， 解得：x1 = -1 ，x2 = -3 ，
: B (-3, 0) ，C (-1, 0) ；
（2）解：设直线 AB 的解析式为y = kx + b ，
将A(0, 3) ，B (-3, 0) 代入， 得：
解得：
:直线AB 的解析式为y = x + 3 ，
: A (0, 3) ，B (-3, 0) ，
: OA = OB = 3 ，
: S△PAB = S△ABO ， : S△PAB = ，
如图，过点P 作PM 丄 AB 所在直线于点M ，
设P(m, (m + 2)2 -1)，则M (m, m + 3)，
同理当点P 在抛物线上AB 段时，
S△PAB = S△PAM + S△PBM = A - xP ) + P - xB ) = A - xB )， 当点P 在抛物线上点A 右侧时，
S△PAB = S△PBM - S△PAM = P - xB ) - P - xA ) = A - xB ) ， 综上，S△PAB = × PM × (xA - xB ) ，
: m + 2)2 -1- m - 3 × 3 = ， 即 m2 + 3m = 3 ，
当m2 + 3m = 3 时，解得 分别代入y = (x + 2)2 -1，
即点P 的坐标为 或 当m2 + 3m = -3 时，由 Δ = b2 - 4ac = 9 - 4 × 1 × 3 < 0 ，无解；
综上所述，点P 的坐标为 或(èç , ．
26 ．①②③
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 轴对称的性质，由图象及二次函数的对称性可 得抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1, 0) ，即可判断①；进而由函数图象可知，当x >1 时， 图象位于x 轴下方，即可判断②；把(-3, 0) 代入函数解析式求出a 的值即可判断③；作点O 关于对称轴x = -1 的对称点O¢ ,连接 O ¢C ，与对称轴 x = -1 相交于点P ，可得△ PCO 周长
= PC + PO + CO = PC + PO ¢ + CO = CO ¢ + CO ，此时△ PCO 周长的最小，利用勾股定理求出 CO ¢ 得到△ PCO 周长的最小值，即可判断④,掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：:由函数图象可得，抛物线y= a (x +1)2 + 4 的对称轴为直线x = -1 ，与x 轴的 一个交点坐标为(-3, 0)，
:抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1, 0) ，
:关于x 的方程a(x +1)2 + 4 = 0 的解是x1 = -3 ，x2 = 1，故①正确；
由函数图象可知，当x >1 时，图象位于x 轴下方， :当x =2 时，y < 0 ，故②正确；
把(-3, 0) 代入y = a (x +1)2 + 4 得，0 = a (-3 +1)2 + 4 ， 解得a = -1 ，
: y = - (x +1)2 + 4 = -x2 - 2x + 3 ， 当 x = 0 时， y = 3 ，
:点C 的坐标为(0, 3)，故③正确；
作点O 关于对称轴x = -1 的对称点O¢ ,连接 O ¢C ，与对称轴 x = -1 相交于点P ，则 PO = PO ¢ , O ¢ (-2, 0)，
:△ PCO 周长= PC + PO + CO = PC + PO ¢ + CO = CO ¢ + CO ，此时△ PCO 周长的最小， : OO¢ = 2 ，CO = 3 ，
:△ PCO 周长的最小值= + 3，故④错误；
综上，正确的有①②③ , 故答案为：①②③.
27 ．①③
【分析】本题考查了二次函数的性质 ．把点 A 坐标代入 y2 = a(x - 4)2 - 3，求出 a 的值，即 可判断①；得到函数解析式，将y2 = 3 代入 求出点 C 的横坐标，然后求 出点 E 的坐标即可求出AC 和AE 的长，从而判断②；将y1 =3代入 求出 点 B 的坐标然后求出BD、AD 的长，利用勾股定理的逆定理即可判断③；求出两个二次函 数图象另一个交点坐标，结合图象即可判断④ .
【详解】解：抛物线 与 y2 = a 交于点A(1, 3) ， : 3 = a(1- 4)2 - 3 ，
解得： 故①正确；
将y2 = 3 代入 中，得
解得：x1 = 1 ，x2 = 7 ， :点 C 的坐标为(7，0) ， : AC = 7 -1 = 6 ，
:E 是抛物线 的顶点， : E (4，- 3)，
: AC ≠ AE ，故②错误；
将 代入 ， 解得：x1 = 1 ，x2 = -3 ，
: B (-3，3) ，
则AB = 4 ，
∵点 D 是抛物线 的顶点， : D (-1，1) ，
:在△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2 ，AD = BD ， :△ABD 是等腰直角三角形，故③正确；
∵联立 解得： 或 ，
:两个抛物线的交点为(1, 3) 和(37, 723)，
由图象可知：当1 < x < 37 时，y1 > y2 ，故④错误．
故答案为：①③.