初中数学北京版（2024）八年级上册（2024）10.1 分式综合训练题

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一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、原式=，原分式不是最简分式，故A不符合题意；
B、原式=，原分式不是最简分式，故B不符合题意；
C、此分式是最简分式，故C符合题意；
D、原式=，原分式不是最简分式，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将各选项中的分子分母中能分解因式的先分解因式，再看分子分母中有没有公因式，若分子分母中没有公因式，则是最简分式，由此可作出判断.
2．如果分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
3．在，，，，，a+中，分式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：在，，，，，a+中，
分式有，，a+
∴分式的个数是3个．
故选：B．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
4．若分式的值为，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得1-=0，1-x≠0，
∴x=-1，
故答案为：A
【分析】根据分式值为0和分式有意义的条件结合题意即可得到1-=0，1-x≠0，进而即可求解。
5．若分式 中的 的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．是原来的3倍B．是原来的
C．是原来的 D．是原来的
【答案】C
【解析】【解答】解：原式 ；
故答案为：C.
【分析】由题设用3a和3b代换原分式中的a和b，再运用相关运算法则进行计算化简即可.
6．若2x=3y，且x≠0，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵2x=3y，
∴ ，
∴ = = .
故答案为：D.
【分析】先用y表示x，再代入分式求值，即可求解.
7．甲从地 到 地要走 小时，乙从 地到 地要走 小时，甲、乙两人分别从 两地同时出发相向而行到相遇需要的时间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解答】设 地到 地的距离为单位“1”，
∴甲的速度是 ，乙的速度是 ，
∴ = = ，
故答案为：B.
【分析】设 A 地到 B 地的距离为单位“1”，分别求出甲乙的速度，根据时间=路程÷速度，即可得到答案.
8．若化简 的结果为 ，则“ ”是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得： ，
故答案为：D．
【分析】利用分式的混合运算求解即可。
9．有下列分式：①；②；③；④．其中最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：
①是最简分式；
②，不是最简分式；
③，不是最简分式；
④是最简分式．
∴最简分式有2个，
故答案为：B
【分析】先根据分式的性质进行化简，进而根据最简分式即可求解。
10．方程，其中，对的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行一次“偏移变化”，再对方程中的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记为偏移距离（为正整数），，则以下说法中，正确的个数是（ ）
①当时，是对方程进行三次“偏移变化”后得到方程的一组解；
②存在一个值，使得对方程进行偏移变化，偏移距离为；
③满足使为整数的的最小值为
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：①当时，，
，
，
∴，
将代入，有，
解得，
故是方程的一组解；故①正确；
②当时，
，
令，
解得，故②正确；
③，
，
，
，
，
∴，
∵，
，
，
，
∴，
∴，
当时，，解得(舍去)；
当时，，解得(舍去)；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
∴的最小值为，故③正确；
综上，①②③都是正确的，
故答案为：D．
【分析】①当时，求出，，的值，可得，将代入方程，解方程可判断①；②当时，求出，解方程可得，可判断②；③根据题意求出，，的值，总结规律可得，再求得，，的值，总结规律可得，则，分类讨论即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．要使分式有意义，则应满足的条件是 ．
【答案】≠1
【解析】【解答】根据题意得：-1≠0，即≠1.
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为零，即可得出答案。
12．化简： ．
【答案】1
【解析】【解答】解：，
故答案为：1．
【分析】根据分式的加减法计算即可。
13．分式 和 的最简公分母为 .
【答案】2（m﹣n）
【解析】【解答】解：∵分式 和 的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）.
∴它们的最简公分母是2（m﹣n）.
故答案为：2（m﹣n）.
【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
14．如果分式 的值为零，那么 的值是 ．
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵分式 的值为零，
∴
解得：x=-3．
故答案为：-3．
【分析】先求出，再求解即可。
15．已知m2+4mn+n2＝0（m≠0，n≠0），则代数 + 的值等于 .
【答案】-4
【解析】【解答】解：∵m2+4mn+n2＝0，且m≠0，n≠0，
∴ +4+ ＝0，
则 + ＝﹣4，
故答案为：﹣4.
【分析】将方程的两边同时除以mn，可得到 +4+ ＝0，然后将常数项移到方程的右边即可。
16．计算： .
【答案】
【解析】【解答】 .
故答案是：
【分析】利用分式的除法计算方法求解即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．下面的计算对吗?如果不对，请改正.
（1）；
（2） .
【答案】（1）解：错误，原式
（2）解：错误，原式
【解析】【分析】（1）根据分式乘法法则进行计算，即可得出答案；
（2）根据分式除法法则和乘法法则进行计算，即可得出答案.
18．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用，两种自主移动机器人搬运化工原料．
（1）若有化工原料，型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成．
（2）若型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（3）若型机器人比型机器人每小时多搬运，用相同的时间，型机器人搬运化工原料，型机器人多搬运，则型机器人每小时搬运______化工原料．
【答案】（1），，
（2）型机器人每小时搬运化工原料，型机器人每小时搬运化工原料
（3）
19．
（1）因式分解
①
②
（2）先化简，再求值：
其中 且 为整数，请从 的以上范围中选一合适的数代入求值．
【答案】（1）解：①
=
；
②
=
=
=
（2）解：
∵要使分式有意义，
∴ ， ，即 且 ，即 ， ，
又∵ ，且x为整数
∴x=2
将x=2代入原式中
故答案为： ．
【解析】【分析】（1）①利用完全平方公式因式分解即可；②先提取公因式（x-y），再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
20．已知．
（1）化简T；
（2）若点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，求T的值．
【答案】（1）解：
．
（2）解：∵点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，
∴0＝（x+1）（x+2），解得或，
由（1）中分母可知，故舍去，
把代入，；
故答案为：．
【解析】【分析】（1）利用分式加减法运算法则求解即可；
（2）先求出x的值，再将x的值代入计算即可。
21．
（1）已知a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，求代数式a2b﹣ab2的值.
（2）化简求值： ，其中x＝ ﹣2.
【答案】（1）解：∵a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，
∴ab＝（3+2 ）（3﹣2 ）＝1，
a﹣b＝（3+2 ）﹣（3﹣2 ）＝4 ，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）=1×4 ＝4
（2）解：原式＝（ ）×
＝ ×
＝ ，
当x＝ ﹣2时，原式＝ ＝
【解析】【分析】（1）先求出a-b，ab的值，再将原式变形为 a2b﹣ab2＝ab（a﹣b） ，然后代入计算即可；
（2）将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
22．已知：.求值：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
，
原式
.
（2）解：，
，
，
.
【解析】【分析】（1）由已知条件可得a2=3a+1，a2-3a=1，待求式可变形为2(a2-3a)+2020，据此计算；
（2）由已知条件可得a2=3a+1，则a4=(a2)2=(3a+1)2=9(3a+1)+6a+1=33a+10，代入待求式中进行计算即可.
23．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）③
（2）解：原式＝
【解析】【解答】解：(1)第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
【分析】（1）利用分式的混合运算的计算方法和步骤判断即可；
（2）利用分式的混合运算的计算方法求解即可。
24．计算：
（1）已知 ，，求代数式的值．
（2）化简求值：，其中．
【答案】（1）解：原式=
= ；
∵，，
∴原式；
（2）解：原式＝
＝
＝
＝
＝，
当时，原式＝．
【解析】【分析】（1）将代数式变形为，再将，代入计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
25．已知关于x，y的方程 （m，n为实数）
（1）若m+4n=5，试探究方程组的解x，y之间的关系

（2）若方程组的解满足2x+3y=0，求分式 的值.
【答案】（1）解：方程组
由①-2×②得：3m+12n=-3x+3y+15，即m+4n=-x+y+5，
将m+4n=5代入得：y=x，
∴方程组的解x，y之间的关系为y=x；
（2）解： = ，
①+②得：3x=3m-6n+9，即：x=m-2n+3，
将x=m-2n+3代入①中，得：y=2m+2n-2，
∵2x+3y=0，
∴2（m-2n+3）+3(2m+2n-2)=0
∴n=-4m，
∴原式= ，
【解析】【分析】（1）由 由①-2×② 将方程组变形整理得：3m+12n=-3x+3y+15， 即m+4n=-x+y+5， 将m+4n=5代入即可得到x、y之间的关系式；
（2）先化简分式，再解方程组，将用m、n、表示的x、y代入2x+3y=0中，得到m、n的关系式，然后代入化简式子中求解即可.
解：原式①
②
③
…
解：