河南省天立教育2025-2026学年高二上学期开学联合考试数学试卷

这是一份河南省天立教育2025-2026学年高二上学期开学联合考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试题卷共 4 页，四大题，19 小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知复数 z 满足 zi  2z 1 （其中 i 为虚数单位），则复数 z 的实部与虚部的和为
A． 1B．1C．－1D．－2 3
已知向量 a，b 满足 ， ，a·b＝－6，则
B． C． D．
已知 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题正确的是
若 m∥α，n⊂α，则 m∥nB．若 m∥α，m∥n，则 n∥α
C．若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥βD．若 α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则 m⊥α
→→→→
平面向量 a，b 满足 b  2 a ，且 a  b  3 ，则 b 与 a－b 夹角的余弦值的最大值是
 3
2
 1． 1
C
22
D． 3
2
已知△ABC 中， ，
，则此三角形为
等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
在直三棱柱 ABC  A1B1C1 中，ABC  90 ，AB  BC  2 ，M 为CC1 的中点，BM  A1C ，则该直三棱柱的体积为
2
A． 4
B．4C． 4
3
D． 4 2
3
依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用 x 表示第一次抛掷骰子的点数，用 y 表示第二次抛掷骰子的点数，用 表示一次试验的结果．记“”为事件 A，“ ”为事件 B， “ ”为事件 C，则
A．A 与 B 相互独立B．A 与 B 对立C．A 与 C 相互独立D．B 与 C 相互独立
在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，P，Q 是C1D1 ， B1C1 的中点，过点 A 作平面α，使得平面α/ / 平面
BDPQ ，则平面α截正方体所得截面的面积是
3 2
2
B．2C． 3
2
D． 6
2
→
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知向量a  2,1 ， b   x, 2 ，下列说法正确的是
a
a
A．若 →∥b ，则 x  4B．若 → ⊥b ，则 x=−1
2
→→→→3
5
C．若 b 
，则 x  1
D．若a  a  b   0 ，则 x 
在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为 120，方差为 2，女生数学平均分为 112，方差为 1，已知该班级男女生人数分别为 25、15，则下列说法正确的有
该班级此次练习数学成绩的均分为 118
该班级此次练习数学成绩的方差为 16. 625 C．利用分层抽样的方法从该班级抽取 8 人，则应抽取 5 名男生
D．从该班级随机选择 2 人参加某项活动，则至少有 1 名女生的概率为 24
39
3
在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 a＝2，sin B＝sin C，则以下四个命题中正确的是
3
满足条件的△ABC 不可能是直角三角形B．△ABC 面积的最大值为
当 A＝C 时，△ABC 的内切圆的半径为2
3－3
若△ABC 为锐角三角形，则c∈（1， 3）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知复数 z  m2  m 12  m2  2m  8i （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 m＝．
甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是 2 ，乙队每轮投中
3
1
的概率为
2
．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中
1 个球的概率为．
球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 O 的半径为 R，A，B，C 为球面上三点，劣弧 BC 的弧长记为 a，设 Oa 表示以 O 为圆心，且过 B，C 的圆，同理，圆 Ob，Oc 的劣弧 AC，AB 的弧长分别记为 b，c，曲面 ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，a＝b＝c，则称其为曲面等边三角形，线段 OA，OB，OC与曲面△ABC 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 O－ABC．设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ．
①若平面△ABC 是面积为 3 R2 的等边三角形，则 a＝b＝c＝ π R ；
43
②若 a2＋b2＝c2，则 α2＋β2＝γ2；
③若平面△ABC 为直角三角形，且∠ACB＝ π ，则 a2＋b2＞c2；
2
π
④若 a＝b＝c＝ 3 R ，则球面 O－ABC 的体积 V＞
其中所有正确结论的序号是．
2 R3 ；
12
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图，在等腰梯形中， 是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.
若，求的值；
求的取值范围．
已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(c - b) sinC =(acsC - b) sinB +acsBsinC ．
求角 A；
若 H 为△ABC 的垂心，a＝2，求△HBC 面积的最大值．
已知复数 z1  2  i，z2  m  2 i ．（i 为虚数单位， m  R ）
若复平面内表示 z1  z2 的点在第一象限，求实数 m 的取值范围；
若 z
 a  3  i ，求实数 m 和 a 的值．（说明：复数 z 是 z 的共轭复数）
2
2
z12
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得 100 户居民月均用水量（单位： m3 ），将数据按照[0, 4) ，[4,8) ，…，[32, 36) 分成 9 组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20m3 的部分按3 元/m3 收费，第二阶梯为超过20m3 但不超过28m3 的部分按5 元/m3收费，第三阶梯为超过28m3 的部分按 8 元/m3 收费．
求直方图中 a 的值；
已知该市有 20 万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过 60 元的用户数；
该市政府希望使至少有 95%的用户每月用水量不超过第二阶梯
收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少 m3？
如图，四面体 ABCD 中，E 是 BC 的中点，， ．
求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦值的大小；
求点 E 到平面 ACD 的距离．
天立教育 2025－2026 学年秋期入学联合考试
高二年级数学参考答案及评分细则
第Ⅰ卷选择题
第Ⅱ卷非选择题
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．【答案】3
【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得．
【详解】因 z  m2  m 12  m2  2m  8i 是纯虚数，
m2  m 12  0

可得m2  2m  8  0 ，解得m  3 ．
故答案为：3．
【答案】 1
6
【答案】①②④
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】（1） 1 （2）［－3，－2］
5
【答案】（1） π （2） 3
33
【分析】（1）根据两角和的正弦公式以及正弦定理边角化得bc  b2  c2  a2 ，由余弦定理即可求解，
（2）根据垂直关系可得∠BHC  2π ，进而在△BHC 中利用余弦定理，结合不等式即可求解最大值.
3
【详解】（1）由题可得， c  bsinC  acsCsinB  bsinB  acsBsinC  asin  B  C   bsinB  asinA  bsinB
结合正弦定理可得c  b c  a2  b2 ，即bc  b2  c2  a2 ，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
A
B
A
C
C
题号
9
10
11
答案
ABD
BCD
BC
b2  c2  a21
A  0, π A  π
∴ csA ，又2  ，∴3 .

2bc2
（2）设边 AC ， AB 上的高分别为 BE ， CF 则 H 为 BE 与CF 的交点，
则在四边形 AFHE 中， FAE  FHE  π + π  2π ，
22
∵ FAE  π ，∴∠FHE  2π ，故∠BHC  2π ，
3
在△BHC 中， S
3
 1 BH  HCsin 2π 
3
3 BH  HC ， BH 2  HC 2  2BH  HC  cs 2π  4 ，
V BHC2343
则4  BH 2  HC 2  BH  HC  2BH  HC  BH  HC ，即 BH  HC  4 ，
3
当且仅当 BH  HC 时取等号.∴ S3 ，故VHBC 面积的最大值为 3 .
V BHC33
【答案】（1） 1  m  4 （2） m  1, a  5
【分析】（1）根据复数的运算及复数的几何意义，列出不等式组求解；
（2）根据复数的运算及复数相等，列出方程组求解.
【详解】（1）由题意知： z1  z2  (2  i)(m  2i)  2m  2  (4  m)i ，
又表示 z1  z2
2m  2  0

的点在第一象限，所以 4  m  0 ，
解得1  m  4 .
（2）由题意知： m  2i 
a(2  i)
 m  2i  a (2  i)  m  2a   a  2 i  3  i ，
(2  i)(2  i)55 5

m  2a  3
5
所以 a
，解得
m  1, a  5 .
 2  1
 5
【答案】（1） a  0.0375
（2）14.6 万户居民 （3）不符合要求，上调到29m3
【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为 1，即可列式求解；
由题意可知用户月均用水费用不超过 60 元，即用户月均用水不超过20cm3 ，算出频率，得出全市不超过 60 元的用户数；
首先计算抽取的 100 户居民月均用水量不超过28m3 的频率和不超过32m3 的频率，从而判断是否符合要求，以及根据比例确定上调到的数量.
【详解】（1）由直方图可知，
0.010  0.020  a  0.050  0.065  a  0.015  0.010  0.005 4  1,
解得： a  0.0375 ；
居民用水量为20m3 时，收费为60 元，
所以用水费用不超过 60 元，则用水量小于等于20m3 ，
由频率分布直方图可知，用水量小于等于20m3 的频率为0.010  0.020  0.0375  0.050  0.065 4  0.73 ；
20  0.73  14.6 万户，
所以全市居民中月均用水费用不超过 60 元的用户数为14.6 万户.
抽取的 100 户居民月均用水量不超过28m3 的频率为：
0.010  0.020  0.0375  0.050  0.065  0.0375  0.015 4  0.94 ，
0.94  0.95 ，所以现行收费标准不符合要求，
抽取的 100 户居民月均用水量不超过32m3 的频率为：
0.010  0.020  0.0375  0.050  0.065  0.0375  0.015  0.010 4  0.98 ，
0.95  0.94 32  28  1 ，
0.98  0.94
现行收费标准不符合要求，需将第二阶段用水量的上限至少上调到29m3 .
【答案】（1） 2
4
（2） 21
7
【分析】（1）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案；
（2）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.
【详解】（1）取 AC 的中点 M，连结 OM、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知ME//AB, OE//DC ，
则直线 OE 与 EM 所成的角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角，
在VOME 中， EM  1 AB 2 , OE  1 DC  1 ，
222
因为OM 是直角△AOC 斜边 AC 上的中线，则OM 
2
OE2  EM 2  OM 2
1 AC  1，
2
可得cs OEM ，
2  OE  EM4
所以异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 2 .
4
（2）设点 E 到平面 ACD 的距离为h.
因为V
 V，即 1  h  S
 1  AO  S，
E  ACDACED
3V ACD3
VCED
2
在V ACD 中， CA  CD  2, AD ，可得S 1 
2 
7 ，
V ACD
22
22  (
2 )2
2
3
1
且 AO  1, S 1  3 1 3 ，可得h  AO  SVCED  2 21 ，
VCED22
SV ACD77
2
所以点 E 到平面 ACD 的距离为 21 .
7