湖北省黄石市2024-2025学年九年级上学期9月收心考试数学试题（解析版）

这是一份湖北省黄石市2024-2025学年九年级上学期9月收心考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
移项得，
二次项系数化1的，
配方得，
即，
故选：A．
3. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元
即2019年我国快递业务收入为亿元，
∴可列方程：，
故选C．
4. 将二次函数图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是，
故选：C．
5. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A. 2πB. 4πC. 12πD. 24π
【答案】C
【解析】S=，
故选C．
6. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）

A. B. 2C. 2D. 8
【答案】C
【解析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，

∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠APC=30°，
∴∠OPH=30°，∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH=，
∴CD=2CH=2．
故选C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．

9. 已知和是方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. 2021C. D. 2023
【答案】A
【解析】和是方程的两个根，
，
，
，，
故选A．
10. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】①抛物线开口方向向下，对称轴在轴的右侧，函数图像与轴交于正半轴，
，，，，故①错误；
②图象与 x轴有两个交点
，故②正确；
③抛物线对称轴是直线，
，
当时，，
，
即，故③正确；
④当时，，当时，，
，即，故④正确，
故正确的有3个．
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为______．
【答案】
【解析】画树状图如图：
共有36种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为9，所以两次都摸到红球的概率为.故答案为.
12. 已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是_____．
【答案】k＜1
【解析】∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1，
故答案为k＜1．
13. 一个直角三角形的两边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆直径为______．
【答案】10cm或8cm
【解析】分两种情况：（1）当两直角边是6 cm和8 cm时，
由勾股定理得：( cm)，
此时外接圆的半径是5cm，直径是10 cm；
（2）当一个直角边是6 cm，斜边是8 cm时，
此时外接圆的半径是4 cm，直径是8 cm．
故答案为：10 cm或8 cm．
14. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______．
【答案】0
【解析】∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴，
故答案为：0.
15. 如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_____．
【答案】
【解析】如图，作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小.
∵A的坐标为（-1,0）
设直线与x轴，y轴分别交于C,D,

在和中
故答案为
三、计算题：本大题共1小题，共6分．
16. 解方程：
（1）
（2）
（1）解：，
移项，得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：，
变形得：，
移项得：，
因式分解得：，
即，
∴或，
∴，．
四、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
（1）证明：在方程中，
，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，．
方程有一根小于1，
，解得：，
的取值范围为．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标．
解：（1）把点代入，得，
∴
把代入反比例函数，
∴；
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵一次函数的图象与x轴交于点C，
∴，
设，
∴，
∴，
∴或，
∴P的坐标为或．
19. △ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的(点A，B，C的对应点分别是点)
（2）将向右平移4个单位长度，作出平移后的 (点的对应点分别是点)
（3）在x轴上求作一点，使的值最小，并写出点P的坐标(不写解答过程，直接写出结果)
解：（1）如图所示，即为所求，
（2）如图所示，即为所求，
（3）如图所示，作出点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，则点P即为所求，
由图可知：，，
设直线的解析式为y=kx+b，则，
解得，
∴直线的解析式为为，
令y=0，即，解得，
∴点P的坐标为(，0)．
20. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案：72°.
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．
故答案为：．
21. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的面积．
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，点在上，
∴，
∴是的切线；
（2）解：设，
∵是的切线，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得：，
即，
∴，
∵的面积为．
22. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
23. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长
（1）解：将绕点顺时针旋转得到，
，
，
又，
，
，
故旋转角的度数为；
（2）解：；
理由如下，如图所示：
在中，，
，
，
，即，
又，
，
，
；
（3）解：连接，如图所示：
由旋转图形的性质可知，，旋转角，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
．
24. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线与y轴的交点；
①点P在抛物线上，且，求点P点坐标；
②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．
解：（1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶
解得∶．
所以抛物线的解析式为∶．
（2）①抛物线的解析式为，
抛物线与y轴交点坐标为，
，
设点坐标为，
∵
，
．
当时，，
当时，．
点的出动或，
②设直线的解析式为，将代入，
得，
解得∶．
即直线的解析式为．
设点坐标为，则点坐标为，，
当时，有最大值．