吉林省长春外国语学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学A试卷（Word版附答案）

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2 13. 14.
单选题
1.【答案】D
【详解】，故虚部为．故选：D
2.【答案】A
【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为，
由，得，又，
所以，解得，；所以圆锥的高为.
故选：A.
3.【答案】C
【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值，
直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则，
又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即，
所以.
故选：C.
4.【答案】C
【详解】在中，由，，可得，
结合已知和正弦定理可得：，解得，
因为在点C测得塔顶A的仰角为，
所以，
故选：C.
5.【答案】D
【详解】对于A，若，，则或，A错误，
对于B，如图，在正方体中，记为平面，为平面，为直线，为直线，
由正方体性质易知，，但是与不垂直，B错误；
对于C，若，，则或，C错误；
对于D，过直线作平面分别交于直线，
因为，，所以，所以，
由线面平行的判定定理可知，
因为，，所以，所以，D正确.
故选：D.
6.【答案】D
【详解】解：由右图可知，偏爱民宿用户对小红书平台的选择占比为，
则偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高，故A正确；
在被调查的酒店用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，
在被调查的民宿用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，
则在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等，故B正确；
小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比为，
携程旅行的占比为，携程旅行的占比略高于小红书占比，故C正确；
在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比分别为和，
抖音的占比分别为和，则酒店预订方面同程旅行占比高，民宿预订方面抖音的占比高，故D错误．
故选：D．
7.【答案】B
【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可.
【详解】第4次仍然由甲投掷分为四类：
第一类，前三次均为甲中，概率为；
第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为；
第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为；
第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为．
所以第4次仍然由甲投掷的概率为．
故选：B
8.【答案】C
【详解】∵分别表示与方向的单位向量，
∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线，
∵，∴的平分线与垂直，故.
取的中点，连接，则，
由题意得，，
∴.
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，故.
设，则，∴，
∴，，
∴，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：C.
多选题
9.【答案】AD
【详解】A选项，因为点的坐标为在第二象限，则对应的点为，所以在第三象限，故A选项正确；
对于B，若，，，但，故B不正确；
对于C，设，因为，所以，所以
所以，故C不正确；
对于D，因为，
所以复数是方程在复数范围内的一个解，故D正确.
故选：AD.
10.【答案】ABD
【详解】由题意得共有个基本事件，
第一次向上的点数是1有，共6种情况，
由古典概型概率公式得，
第二次向上的点数是偶数有
，共种情况，
由古典概型概率公式得，
两次向上的点数之和是8有，共5种情况，
由古典概型概率公式得，
而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数，
符合条件的有，共3种，则，
对于A，由已知得，，
满足，则与相互独立，故A正确，
对于B，事件表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生，
符合条件的有，
，共11个，故，
满足，可得与互斥，故B正确，
对于C， 题意得共有个基本事件，
则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8，
符合条件的有，共3种，则，故C错误.
对于D，由概率加法公式得，即D正确，
故选：ABD
11.【答案】ACD
【详解】
A选项，如图，取的中点，连接，
因为为的中点，所以且，
又矩形中，为的中点， 故且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以平面，A正确；
B选项，连接，若⊥，而⊥，，平面，
所以⊥平面，因为平面，所以⊥，
所以是直角三角形，所以斜边，
因为，所以矛盾，所以不可能有，B错误；
C选项，由B知，，故异面直线与所成的角等于与所成的角，
其中⊥，，，，
由勾股定理得，
所以，故异面直线与所成的角的余弦值为，C正确；
D选项，当平面⊥平面时，三棱锥的体积最大，
取的中点，的中点，连接，
因为，所以⊥，且，
又平面平面，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，由勾股定理得，
又，所以，
由勾股定理逆定理得，故，
其中，所以，
故即为三棱锥的外接球的球心，半径为1，
三棱锥的外接球的表面积是，D正确.
故选：ACD
填空题
【答案】 2
【详解】在向量上的投影向量为.
.
13.【答案】
【详解】根据题意可知，这个刍童为棱台
则棱台的高为，
由题意其上下底面的面积分别为，
由棱台体积公式有.
故答案为：.
14.【答案】
【详解】依题意，由正弦定理可得，即；
所以，
又因为为锐角三角形，所以，即，
又，且，
可得，；
易知
；
显然，由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以可得.
故所求范围为
四、解答题
15.【答案】(1)；(2)8.
【详解】
在中，由正弦定理及得：
， ——————————2分
由余弦定理得， ——————————— 4分
而，解得： ——————————— 5分
因为AD是的中线，故，
于是得，————————7分
而AD=2，则有，————11分
当且仅当时取“=”， ————————12分
因此当时， ————————13分
16.【答案】(1)；
(2)平均数为74,上四分位数为84；
(3)平均数为62，方差为37.
【详解】
由每组小矩形的面积之和为1，
得，解得， ————————3分
（2）由.
估计样本成绩的平均数为74. ————————6分
成绩在内的频率为，
在内的频率为，
显然上四分位数，由，解得，
所以上四分位数为84. ——————————9分
（3）由频率分布直方图知，
成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，
所以， ——————————11分
总方差为. —————15分
17.【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】
证明：连接
因为，为中点，所以，————————1分
因为为正方形，所以，——————————2分
又平面，平面，且，
所以平面， ——————————4分
又平面，所以. ——————————5分
（2）（方法一：几何法）
解：由（1）得，，
所以为二面角的平面角，即，————————6分
因为，故，又，
则，
因为，可得，
又，且平面，平面，
则平面， ————————————8分
故，又，且，
故，所以 ————————————10分
因为
所以
设D到平面的距离为，因为
故，所以 ——————————————13分
设与平面所成角为，则
故 ——————————————15分
（方法二：向量法）
解：由（1）得，，
所以为二面角的平面角，即，-----------------------------------6分
，则，又，则，
因为，可得，
又，且平面，平面，
则平面，则两两互相垂直，----------------------------------------------8分
建立如图所示空间直角坐标系，有，
则，-----------------------------------------------11分
设平面的法向量，
则，即为，取，-----------------------------------------12分
设平面与所成角为，则，--------------14分
，故平面与所成角的余弦值为．---------------------15分
18.【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）因为每次是否通过互不影响，甲同学通过第一轮的概率分别为，
通过第二轮的概率为，甲进入决赛的概率，
所以甲没有进入决赛的概率； ————————3分
（2）已知甲､乙两名同学通过第一轮的概率分别为，通过第二轮的概率分别为，
甲只通过一轮的概率为：；————————5分
乙只通过一轮的概率为：，————————7分
因为甲、乙的比赛情况相互独立，故甲､乙均只通过一轮的概率————9分
（3）甲进入决赛的概率为；乙进入决赛的概率为，——————11分
两人都不进入决赛的概率为，
甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，—————13分
两人均进入决赛的概率为， ——————14分
因为，
所以，即，——————16分
所以. ——————17分
19.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，
【详解】
（1）在四棱锥中，取中点，连接，
因为为的中点，N为PD中点，所以
又，所以
所以四边形为平行四边形，——————2分
故，而平面，平面，
所以平面． ————————4分
（方法一：几何法）
取的中点，连接
由为等边三角形，得，且
而平面平面，平面平面，平面，
则平面， ——————————6分
连接CO，则，且，，
所以中CD边上的高为，故
设点A到平面PCD的距离为，
因为
所以，解得 ————————9分
因为M为AP中点，所以M到PCD的距离为. ————————10分
假设线段PD上存在一点E，满足题意，
过E点作于点F，则，故
过F点作于点H，连接HE，则为二面角的平面角，
即为平面与平面夹角，所以，———————12分
设，则，,
因为，所以， ————————14分
即， ————————16分
解得，即，所以 ——————————17分
（方法二：空间向量法）
（2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，
由，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，--------------------6分
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，--------------------------7分
设平面的法向量为，则，
取，得，--------------8分
所以到平面的距离，
因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即.----10分
（直接求M到平面的距离采分点一致）
（3）令，--------------------------------------------------------11分
，，
设平面的法向量为，则，
取，得，---------------------------------------------13分
平面的法向量为，--------------------------------------------------------------14分
于是，---------------------------------------16分
化简得，又，解得，即，
所以线段上存在点，
使得平面与平面夹角的余弦值为，.-----------------------------------17分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
A
C
C
D
D
B
C
AD
ABD
ACD