2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第七章7.6空间向量的概念与运算（Word版附答案）

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1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 .
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p= .
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p= .{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积
a·b= .
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.( )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.( )
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0.( )
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( )
2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设AB=a，AD=b，AA1=c，则下列向量中与C1M相等的向量是( )
A.-12a+12b+cB.12a+12b+c
C.-12a-12b-cD.-12a-12b+c
3.若平面α外的直线l的方向向量为a=(1，0，-2)，平面α的法向量为m=(8，-1，4)，则( )
A.l⊥αB.l∥α
C.a∥mD.l与α斜交
4.已知空间向量a=(λ，1，2)，b=(2，λ+1，λ)，若a∥b，则实数λ= .
1.牢记空间中三点共线、四点共面的充要条件
(1)在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA=xOB+yOC(其中x+y=1)，O为平面内任意一点.
(2)在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)，O为空间任意一点.
2.解题时防范以下几个易误点
(1)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量.
(3)直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)已知向量AB=(1，a，-2)，AC=(-3，6，b)，若A，B，C三点共线，则a-b等于( )
A.-8B.-2C.2D.8
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点，AG=2GE，则GC1等于( )
A.13AB-23AC+AA1
B.13AB+23AC+AA1
C.-13AB+23AC+AA1
D.-13AB+23AC-AA1
思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
跟踪训练1 在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若DA=a，DB=b，DC=c，则BE等于( )
A.14a-b+14cB.12a-b+12c
C.14a+b+14cD.12a-b+c
题型二 空间向量基本定理及其应用
例2 (多选)下列说法正确的是( )
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.若G是四面体OABC的底面△ABC的重心，则OG=13(OA+OB+OC)
C.若OG=25OA-35OB+45OC，则A，B，C，G四点共面
D.若向量p=mx+ny+kz(其中x，y，z是三个不共面的向量，m，n，k∈R)，则称p在基底{x，y，z}下的坐标为(m，n，k).若p在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则p在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为-12，32，3
思维升华 应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
跟踪训练2 O为空间任意一点，若AP=-14OA+18OB+tOC，若A，B，C，P四点共面，则实数t等于( )
A.1B.98C.18D.14
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 (1)(多选)已知空间中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)三点，则( )
A.AB与AC是共线向量
B.与向量AB方向相同的单位向量是255，-55，0
C.AB与BC夹角的余弦值是-5511
D.平面ABC的一个法向量是(1，-2，5)
(2)已知圆锥SO的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面(异于顶点和底面圆周)上任意一点，则OP·OQ的取值范围为( )
A.(-4，4)B.[-4，4]
C.(-2，2)D.[-2，2]
思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.
跟踪训练3 已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，则下列结论正确的是( )
A.(a+b)∥a
B.a与b夹角的余弦值为36
C.2a⊥(5a+6b)
D.4|a|=3|b|
题型四 向量法证明平行、垂直
例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，设E，F分别为PC，BD的中点.求证：
(1)EF∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PDC.
思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
跟踪训练4 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=25，AA1=7，BB1=27，点E和F分别为BC和A1C的中点.求证：
(1)EF∥平面A1B1BA；
(2)平面AEA1⊥平面BCB1.
答案精析
落实主干知识
1.大小 方向 相同 相等 相等
相反 平行 重合 同一个平面
2.(1)a=λb (2)唯一 xa+yb
(3)xa+yb+zc
3.(1)|a||b|cs〈a，b〉 (2)a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0 a12+a22+a32
a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.C 3.B 4.-2
探究核心题型
例1 (1)A [因为A，B，C三点共线，所以AB与AC共线，
又向量AB=(1，a，-2)，
AC=(-3，6，b)，
所以-31=6a=b-2，
所以a=-2，b=6，所以a-b=-8.]
(2)C [因为AG=2GE，
所以GE=13AE，
所以GC1=GE+EC+CC1=13AE+12BC+AA1
=13×12(AB+AC)+12(AC-AB)+AA1
=23AC-13AB+AA1.]
跟踪训练1 A [根据题意可得
DF=12(DA+DC)=12(a+c)，
DE=12DF=14(a+c)，
所以BE=BD+DE=-DB+DE=-b+14(a+c)=14a-b+14c.]
例2 BD [对于A，若b=0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；
对于B，由于G为四面体OABC的底面△ABC的重心，设D为BC的中点，故AG=2GD，
整理得OG-OA=2OD-2OG，故3OG=OB+OC+OA，
故OG=13(OA+OB+OC)，故B正确；
对于C，由于25-35+45≠1，对于OG=25OA-35OB+45OC，
故A，B，C，G四点不共面，故C错误；
对于D，p在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，即p=a+2b+3c，设p在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为(x，y，z)，则满足p=x(a-b)+y(a+b)+zc=(x+y)a+(y-x)b+zc=a+2b+3c，
故x+y=1,y-x=2,z=3,解得x=-12,y=32,z=3,
则p在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为-12，32，3，故D正确.]
跟踪训练2 C [因为AP=OP-OA，所以AP=-14OA+18OB+tOC可化简为
OP-OA=-14OA+18OB+tOC，
即OP=34OA+18OB+tOC，
由于A，B，C，P四点共面，
则34+18+t=1，
解得t=18.]
例3 (1)CD [因为A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)，
所以AB=(2，1，0)，AC=(-1，2，1)，
因为不存在实数λ，使得AB=λAC，
所以AB与AC不共线，故A错误；
因为|AB|=22+12=5，
所以与向量AB方向相同的单位向量是AB|AB|=255，55，0，故B错误；
又BC=(-3，1，1)，所以AB与BC夹角的余弦值是AB·BC|AB||BC|=-55×11=-5511，故C正确；
不妨令n=(1，-2，5)，则AB·n=1×2+(-2)×1+5×0=0，
AC·n=1×(-1)+(-2)×2+5×1=0，
即AB⊥n且AC⊥n，
所以n=(1，-2，5)是平面ABC的法向量，故D正确.]
(2)A [如图所示，延长SQ交底面圆周于点B，过点Q作QG⊥底面圆于点G，
显然OP·OQ=OP·(OG+GQ)=OP·OG=2cs〈OP，OG〉·|OG|，
由题意可知cs〈OP，OG〉∈[-1，1]，0