2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第二章2.4函数的周期性和对称性（Word版附答案）

这是一份2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第二章2.4函数的周期性和对称性（Word版附答案），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2 026)等于( )
A.-1B.0C.1D.2
2.函数y=-ex与y=e-x的图象( )
A.关于x轴对称B.关于y轴对称
C.关于原点对称D.关于直线y=x对称
3.若函数y=f(x)与函数y=2x+1-1的图象关于直线x=2对称，则f(4)的值为( )
A.1B.-1C.2D.-2
4.(2024·茂名模拟)函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R上的奇函数，若f(-1)=-2，则f(2 025)等于( )
A.-2B.-1C.0D.2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x)，且满足f(x)-f(2-x)=0，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(1，1)对称
B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
C.函数f'(x)的图象关于直线x=1对称
D.函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称
6.(2025·漳州质检)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)=0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，则( )
A.f(0)=1
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点(π，0)中心对称
D.2π是f(x)的一个周期
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，且f(x)在(-∞，2]上单调递减，则不等式f(2x+3)≤f(1)的解集为 .
8.(2025·八省联考)已知曲线C：y=x3-2x，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点.若△OPM的面积为2，则△MNQ的面积为 .
四、解答题(共28分)
9.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
(1)证明：f(x)是周期函数；(6分)
(2)若当x∈[-2，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[2，6]时，f(x)的解析式.(7分)
10.(15分)函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)若f(x)=x3-3x2，求此函数图象的对称中心；(9分)
(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(6分)
每小题5分，共10分
11.已知函数f(x)的定义域为R，f x+12为偶函数，f(2-x)+f(x)=0，f 13=-12，则f 163等于( )
A.12B.13C.0D.-12
12.已知函数f(x)的定义域为R，f(x-2)为偶函数，f(x-3)+f(-x+1)=0，当x∈[-1，0]时，f(x)=x+1，则19Σk=1f(k)等于( )
A.19B.0C.1D.-1
答案精析
1.B 2.C 3.A
4.D [因为y=f(x-2)为奇函数，
f(x-2)=-f(-x-2)，
所以y=f(x)的图象关于点(-2，0)对称，
即f(-x)+f(x-4)=0，
又y=f(x)的图象关于原点对称，
则f(-x)=-f(x)，
有f(x)=f(x-4)⇒f(x+4)=f(x)，
所以y=f(x)的一个周期为4，
故f(2 025)=f(1+2 024)=f(1)=-f(-1)=2.]
5.BD [由f(x)-f(2-x)=0，可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称.对f(x)-f(2-x)=0求导，得f'(x)+f'(2-x)=0，则函数f'(x)的图象关于点(1，0)对称，所以A，C错误，B，D正确.]
6.ABC [对于A，根据题意令x=y，则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0)，又f(x)不恒等于0，则f(0)=1，即A正确；
对于B，令y=-x，可得f(2x)+f(-2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x)，所以f(2x)=f(-2x)，
即对任意的x∈R满足f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函数，所以B正确；
对于C，令x+y=π，则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y)，
可得f(2π-2y)+f(2y)=2f(π)f(π-2y)=0，
即f(x)满足f(2π-x)+f(x)=0，因此可得f(x)的图象关于点(π，0)中心对称，即C正确；
对于D，由于f(x)是偶函数，所以满足f(x-2π)+f(x)=0，
即f(x)+f(x+2π)=0，
可得f(x-2π)=f(x+2π)，即f(x)=f(x+4π)，所以4π是f(x)的一个周期，即D错误.]
7.[-1，0]
解析 因为函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，
则f(x)的图象关于直线x=2对称，
又因为f(x)在(-∞，2]上单调递减，
则f(x)在[2，+∞)上单调递增，
则由f(2x+3)≤f(1)得|2x+3-2|≤|1-2|，
即|2x+1|≤1，解得-1≤x≤0，
则不等式的解集为[-1，0].
8. 22
解析 因为函数y=x3-2x为奇函数,所以曲线C的图象关于原点对称,又两条直线l1和l2均过坐标原点O,则P,Q关于原点对称,M,N关于原点对称,则四边形PNQM为平行四边形.
又S△OPM=2,则S△MNQ=22.
9.(1)证明 因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x+2)=f(2-x)，
即有f(-x)=f(x+4)，
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
有f(-x)=f(x)，
所以f(x+4)=f(-x)=f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解 当x∈[-2，2]时，
f(x)=-x2+1，
又f(x)是周期为4的周期函数，
当x∈[2，6]时，x-4∈[-2，2]，
所以f(x)=f(x-4)=-(x-4)2+1，
所以f(x)=-(x-4)2+1=-x2+8x-15，x∈[2，6].
10.解 (1)设函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)=f(x+a)-b，
则g(x)为奇函数，
故g(-x)=-g(x)，
故f(-x+a)-b=-f(x+a)+b，
即f(-x+a)+f(x+a)=2b，
即[(-x+a)3-3(-x+a)2]+[(x+a)3-3(x+a)2]=2b.
整理得(3a-3)x2+a3-3a2-b=0，
故3a-3=0，a3-3a2-b=0，解得a=1，b=-2，
所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1，-2).
(2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.
11.A [因为fx+12为偶函数，
所以f -x+12=f x+12，
所以f(-x+2)=f(x-1)，
又因为f(2-x)+f(x)=0，
故f(x-1)+f(x)=0，
即f(x)=-f(x-1)，
所以f(x-1)=-f(x-2)，
故f(x)=f(x-2)，
故函数f(x)的一个周期为2，
故f 163=f -23+6=f -23，
在f(x-1)+f(x)=0中，
令x=13得，
f -23+f 13=0，
因为f 13=-12，
所以f -23=12，
故f 163=f -23=12.]
12.D [因为f(x-2)是偶函数，
所以f(x-2)=f(-x-2)，
则f(x)=f(-4-x)，①
即对称轴为直线x=-2，
又因为f(x-3)+f(-x+1)=0，
所以f(x-3)=-f(-x+1)，
则f(x)=-f(-x-2)，②
即对称中心为点(-1，0).
由①②得f(-4-x)=-f(-x-2)，
令t=-x-2，则-4-x=t-2，
所以f(t-2)=-f(t)，
即f(x-2)=-f(x)，③
所以f(x-4)=-f(x-2).④
由③④得f(x-4)=f(x)，
所以f(x)=f(x+4)，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
当x∈[-1，0]时，f(x)=x+1，
则f(0)=1，f(-1)=0，
f(-2)=-f(0)=-1，
f(-3)=-f(-1)=0，
根据周期性得f(1)=f(-3)=0，
f(2)=f(-2)=-1，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=1，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0-1+0+1=0，
又因为19=4×4+3，
故19Σk＝1f(k)=4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=4×0+0-1+0=-1.]