2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第七章7.5空间直线、平面的垂直（Word版附答案）

这是一份2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第七章7.5空间直线、平面的垂直（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )
A.m⊥l，m⊂β，l⊥α
B.m⊥l，α∩β=l，m⊂α
C.m∥l，m⊥α，l⊥β
D.l⊥α，m∥l，m∥β
3.若某圆锥的侧面积为底面积的5倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为( )
A.2B.3C.2D.5
4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
5.(2024·北京模拟)在正四棱锥P-ABCD中，AB=2，二面角P-CD-A的大小为π4，则该四棱锥的体积为( )
A.4B.2C.43D.23
6. 如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AD⊥SC
C.平面SAC⊥平面SBD
D.BD⊥SA
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·广州模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则下列命题不正确的是( )
A.若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m
B.若l∥m，则α∥β
C.若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m
D.若l⊥m，则α⊥β
8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A.异面直线AB1与CD所成角的大小为45°
B.异面直线A1B1与AC1所成角的大小为45°
C.直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为33
D.二面角C1-AD-B的大小为45°
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是 .
10.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M是BD的中点，MA=1且MC=2，若二面角A-BD-C的大小为120°，则点A到点C的距离为 .

四、解答题(共27分)
11.(13分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.
求证：(1)CD⊥平面PBD；(6分)
(2)平面PBC⊥平面PCD.(7分)
12.(14分)如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°，点M，N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)证明：MN∥平面AA'C'C；(7分)
(2)设AB=λAA'，当λ为何值时，CN⊥平面A'MN？试证明你的结论.(7分)
13题5分，14题6分，共11分
13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )
A.12B.1C.2D.3
14.(多选)(2025·河池模拟)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，AC1⊥平面A1B1C1，AB⊥BC，AD⊥BC1，D，E分别是BC1，AC1的中点，则下列说法正确的是( )
A.DE∥平面ABB1A1
B.AD⊥平面BCC1
C.直线AD与直线DE的夹角为π3
D.若∠BAC=π6，则二面角B-A1B1-C1的平面角的大小为π3
答案精析
1.A 2.D
3.A [设该圆锥的底面圆半径和母线长分别为r，l，母线与底面所成的角为θ，由题意可得πrl=5πr2⇒l=5r，
由勾股定理可得圆锥的高h=5r2-r2=2r，
所以圆锥的母线与底面所成角的正切值tan θ=hr=2.]
4.A [由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.
因为AC⊂平面ABC，
所以平面ABC1⊥平面ABC.
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.]
5.C [连接AC，BD相交于点H，则H为正方形ABCD的中心，
故PH⊥底面ABCD，
取CD的中点Q，连接HQ，PQ，
则HQ⊥CD，PQ⊥CD，HQ=12AD=1，
故∠PQH为二面角P-CD-A的平面角，
所以∠PQH=π4，
故PH=HQ=1，
所以该四棱锥的体积为
13×AB2·PH=43.]
6.D [由题意知SD⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，故SD⊥AC，
又四棱锥S-ABCD的底面为正方形，
即AC⊥BD，而SD∩BD=D，
SD，BD⊂平面SBD，
故AC⊥平面SBD，SB⊂平面SBD，故AC⊥SB，A正确；
SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
故SD⊥AD，又四棱锥S-ABCD的底面为正方形，
即AD⊥CD，而SD∩CD=D，
SD，CD⊂平面SCD，
故AD⊥平面SCD，SC⊂平面SCD，
故AD⊥SC，B正确；
由于AC⊥平面SBD，
AC⊂平面SAC，
故平面SAC⊥平面SBD，C正确；
SD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
故SD⊥BD，
若BD⊥SA，
而SD∩SA=S，
SD，SA⊂平面SAD，
故BD⊥平面SAD，
又AD⊂平面SAD，
故BD⊥AD，即∠BDA=90°，
这与正方形ABCD中∠BDA=45°矛盾，D错误.]
7.ABD [若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m或l与m相交，故A错误；
若l∥m，则α∥β或α与β相交，故B错误；
若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m，故C正确；
若l⊥m，则α与β相交，不一定是垂直，故D错误.]
8.ACD [如图所示，
对于A，因为CD∥AB，则AB1与CD所成的角为∠BAB1=45°，A正确；
对于B，因为AB∥A1B1，
所以AC1与A1B1所成的角为∠BAC1或其补角，
因为AB=2，BC1=2BC=22，AC1=3AB=23，
所以AB2+BC12=AC12，
则AB⊥BC1，所以tan∠BAC1=BC1AB=2，故∠BAC1≠45°，B错误；
对于C，因为B1C1⊥平面ABB1A1，故直线AC1与平面ABB1A1所成的角为∠B1AC1，
因为AB1⊂平面ABB1A1，
则B1C1⊥AB1，
所以sin∠B1AC1=B1C1AC1=33，
因此，直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为33，C正确；
对于D，因为AD⊥平面CC1D1D，CD，C1D⊂平面CC1D1D，
则AD⊥CD，AD⊥C1D，
所以二面角C1-AD-B的平面角为∠CDC1=45°，D正确.]
9.平行
解析 依题意知l⊥AB，l⊥AC，
AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，
故l⊥平面ABC，
又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC=C，
BC，AC⊂平面ABC，
故m⊥平面ABC，∴l∥m.
10.7
解析 如图所示，连接AC，
因为AB=AD，CB=CD且M为BD的中点，所以MA⊥BD，MC⊥BD，
所以∠AMC为二面角A-BD-C的平面角，可得∠AMC=120°，
在△AMC中，因为MA=1，MC=2且∠AMC=120°，可得AC2=MA2+MC2-2MA·MCcs 120°=1+4-2×1×2×-12=7，
所以AC=7.
11.证明 (1)因为AD=AB，∠BAD=90°，
所以∠ABD=∠ADB=45°.
又因为AD∥BC，所以∠DBC=45°.
又∠BCD=45°，所以∠BDC=90°，即BD⊥CD.
因为平面PBD⊥平面BCD，
平面PBD∩平面BCD=BD，
CD⊂平面BCD，
所以CD⊥平面PBD.
(2)由CD⊥平面PBD，BP⊂平面PBD，
得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，
所以BP⊥平面PCD.
又BP⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD.
12.(1)证明 取AB的中点D，BC的中点E，连接MD，DE，NE，
则有MD∥AA'，DE∥AC，NE∥CC'∥AA'，所以NE∥MD，
则NE与MD共面，
又DE⊄平面AA'C'C，
AC⊂平面AA'C'C，
所以DE∥平面AA'C'C，
又MD⊄平面AA'C'C，
AA'⊂平面AA'C'C，
所以MD∥平面AA'C'C，
又MD∩DE=D，
MD，DE⊂平面DMNE，
所以平面DMNE∥平面AA'C'C，
又MN⊂平面DMNE，
所以MN∥平面AA'C'C.
(2)解 连接BN，不妨设AA'=1，
则AB=AC=λAA'=λ，
所以BC=AB2+AC2=2λ，
因为三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，
所以平面A'B'C'⊥平面BB'C'C，
因为AB=AC，所以A'B'=A'C'，
又点N是B'C'的中点，
所以A'N⊥B'C'，
又平面A'B'C'∩平面BB'C'C=B'C'，
A'N⊂平面A'B'C'，
所以A'N⊥平面BB'C'C，
又CN⊂平面BB'C'C，所以CN⊥A'N，
要使CN⊥平面A'MN，
只需CN⊥BN即可，
又因为CN=BN=12+22λ2，
所以CN2+BN2=BC2，
即212+22λ2=(2λ)2，
所以λ=2(负值舍去)，
即当λ=2时，CN⊥平面A'MN.
13.B [方法一 分别取BC，B1C1的中点D，D1，
则AD=33，A1D1=3，
可知S△ABC=12×6×33=93，
S△A1B1C1=12×2×3=3，
设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，
则V三棱台ABC-A1B1C1=13×(93+3+93×3)h=523，
解得h=433，
如图，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，
设AM=x，则AA1=AM2+A1M2=x2+163，
DN=AD-AM-MN=23-x，
可得DD1=DN2+D1N2
=(23-x)2+163，
结合等腰梯形BCC1B1可得
BB12=6-222+DD12，
即x2+163=(23-x)2+163+4，
解得x=433，
所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD=A1MAM=1.
方法二 将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，
则A1A与平面ABC所成的角即为PA与平面ABC所成的角，
因为PA1PA=A1B1AB=13，
则V三棱锥P-A1B1C1V三棱锥P-ABC=127，
可知V三棱台ABC-A1B1C1
=2627V三棱锥P-ABC=523，
则V三棱锥P-ABC=18，
设正三棱锥P-ABC的高为d，
则V三棱锥P-ABC=13d×12×6×6×32=18，
解得d=23，
取△ABC的中心为O，
则PO⊥底面ABC，
且AO=23，
所以PA与平面ABC所成角的正切值tan∠PAO=POAO=1.]
14.ABD [因为D，E分别是BC1，AC1的中点，所以DE∥AB，
又DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1，故A正确；
因为AC1⊥平面A1B1C1，
所以AC1⊥平面ABC，
又BC⊂平面ABC，所以AC1⊥BC，
因为AB⊥BC，AB∩AC1=A，AB，AC1⊂平面ABC1，
所以BC⊥平面ABC1，
又AD⊂平面ABC1，所以BC⊥AD，
因为AD⊥BC1，BC∩BC1=B，BC，BC1⊂平面BCC1，则AD⊥平面BCC1，故B正确；
由于D为BC1的中点，且AD⊥BC1，AC1⊥AB，因此△ABC1是等腰直角三角形.
E是AC1的中点，则∠ADE=π4，故直线AD与直线DE的夹角为π4，故C错误；
连接AB1，如图所示，由于AC1⊥A1B1，B1C1⊥A1B1，AC1∩B1C1=C1，AC1，B1C1⊂平面AB1C1，
所以A1B1⊥平面AB1C1，
又AB1⊂平面AB1C1，则A1B1⊥AB1，因此二面角B-A1B1-C1的平面角为∠AB1C1，
由于∠BAC=π6，因此AB=3BC，由C项分析知AB=AC1，则AC1=3B1C1，因此∠AB1C1=π3，故D正确.]