2024~2025学年山东省滕州市高三上学期12月月考数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年山东省滕州市高三上学期12月月考数学试卷【有解析】，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．复数方程解的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．已知非零向量，若向量在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．2D．4
4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（ ）
A．3B．18C．3或18D．不存在
8．已知点是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．点为图象的一个对称中心
C．若在上有两个实数根，则
D．若的导函数为，则函数的最大值为
11．如图，在直三棱柱 中，，Q是线段的中点，P是线段上的动点 （含端点），则下列命题正确的是 （ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线与所成角的正切值的最小值是
C．在直三棱柱 内部能够放入一个表面积为的球
D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数图象的对称中心的坐标为 ．
13．已知直线与圆相交于两点，则的最小值为 ．
14．在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点.

(1)过点作三棱柱截面交于点，求线段长度；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
16．的内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若角为钝角，求的取值范围．
17．已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围．
18．已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列，
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求和的通项公式．
(3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列，求中前60项的和．
19．设是定义域为且图象连续不断的函数，若存在区间和，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“山峰函数”，为“峰点”，称为的一个“峰值区间”．
(1)判断是否是“山峰函数”？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由；
(2)已知是山峰函数，且是它的一个峰值区间，求的取值范围；
(3)设，函数．设函数是山峰函数，是它的一个峰值区间，并记的最大值为．若，且，，求的最小值．（参考数据：）
答案
1．【正确答案】D
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
2．【正确答案】A
【详解】设，则，，
因为，即，
所以，解得或或，共4组解，
即复数方程解的个数为个.
故选：A
3．【正确答案】A
【详解】因为非零向量，，
所以，，，
所以向量在方向上的投影向量为，
所以，解得.
故选：A
4．【正确答案】A
【详解】因为，所以角的终边经过点，
所以，所以，
所以，
故选：A.
5．【正确答案】C
【详解】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积.
故选：C
6．【正确答案】B
【详解】因为，
当时，，则恒成立，
所以在上恒成立，则；
当时，，则恒成立，
所以在上恒成立，所以；
又，综上可得的取值范围是.
故选：B.
7．【正确答案】B
【详解】由，得，
因为时，取得极值0，
所以，解得或，
当时，，
此时函数在在处取不到极值；
经检验时，函数在处取得极值0，满足题意；
所以，所以.
故选：B.
8．【正确答案】C
【详解】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，，
，设，则，，，
又，∴，
中，由余弦定理得：，
∴，化简得，
∴，，
中，，
由余弦定理得，解得，
故选：C．
9．【正确答案】ABC
【详解】根据题意，等比数列的公比为，
若，则，
又由，必有，则数列各项均为正值，
若，即，必有，，则必有，
依次分析选项：
对于A，数列各项均为正值，则，必有，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C：根据，所以是数列中的最大项，故C正确，D错误；
故选：ABC.
10．【正确答案】ACD
【详解】由题意可得，故A正确；
，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；
令，由得，
根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点，
数形结合可得，故C正确；
设f'x为的导函数，
则，其中，
当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：ACD．
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A选项，如下图所示，连接交于点，连接，

因为四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，则，
因为平面，平面，则平面，
因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，
又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B选项，因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

由，则、、、、，
设，其中，
则，
设直线与所成角为，
所以，，
当时，取最大值，此时，取最小值，取最大值，
此时，，，
所以，直线与所成角的正切值的最小值是，故B正确；
对于C选项，因为，，则，
的内切圆半径为，
由于直径，所以在这个直三棱柱内部可以放入一个最大半径为的球，
而表面积为的球，其半径为：，
因为，所以这个直三棱柱内部不可以放入半径为的球，故C错误；
对于D选项，点关于平面的对称点为，则，

，，
所以，，则，
因为平面，，则平面，
因为平面，则，
将平面和平面延展为一个平面，如下图所示：

在中，，，，
由余弦定理可得
，
当且仅当三点共线时，取最小值，
故的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
12．【正确答案】
【详解】函数的定义域为，
又，
所以函数图象的对称中心的坐标为.
故
13．【正确答案】4
【详解】圆的圆心为，半径，
直线，即，令，解得，
所以直线恒过点，又，
所以当时，弦的长度取得最小值，即，
设的中点为，则，
所以.

故4.
14．【正确答案】
【详解】
由题意得，，
∵，，，∴，，，
∴，
∵点四点共面，
∴，解得.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正三棱柱中，，
又因为点分别为棱的中点，可得，
如图所示，延长交的延长线于点，
连接交于点，则四边形为所求截面，
过点作的平行线交于，
所以
因此，所以.
（2）以点为原点，以所在的直线分别为轴，

以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，可得，
则，
设平面的法向量为，则
取，则，所以，
取的中点，连接.因为△为等边三角形，可得，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又由，可得，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由余弦定理可得，
由正弦定理得，
又因为，
则有，
因，，则，
且，故．
由余弦定理，，代入得，，
因，则有，即得，
故的面积．
（2）由正弦定理，可得，且，
代入化简得：．
因为钝角，故由，可得，
则，，即，
故的取值范围是
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设椭圆标准方程为：，
由题意：，
所以椭圆的标准方程为.
（2）如图：
若直线的斜率不存在，则可取，因为，可取，此时.
若直线的斜率为0，同理可得.
当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
由，得，则，
用代替，得，则.
所以.
设，
则.
因为，所以，，
所以，所以.
综上，
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)
【详解】（1）数列中，，
则，而，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为；
（2）由（1）知，，，
所以数列的通项公式为.
设等差数列的公差为，
由成等比数列，得，
即，则有，
又，即，于是，
所以数列的通项公式为；
（3）依题意，数列中，前有数列中的前项，有数列中的前项，
因此数列中，前共有项，
当时，，
当时，，
因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项，
所以
.
19．【正确答案】(1)不是“山峰函数”，理由见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由，求导可得，；
令，则有，所以在上单调递增，
又，所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以不是“山峰函数”．
（2）由题意可知：函数在区间上先增后减，且存在峰点，
由于，
又当时，，则在上单调递减，
所以，
设，，所以，则在上单调递增．
所以当时，，即此时恒成立：
由于当时，不等式等价于，即，
故m的取值范围是．
（3）由题意得：
．
若恒成立，易知当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在单调递增，
不是“山峰函数”，不符合题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，设两根为，且，
且有；
由于当时，，且，，
所以函数在上不单调；
同理，由于当时，，且，
所以在上不单调，从而有，．
因此在和上单调递减，在和上单调递增；
从而函数的峰值区间为，必满足．
所以．
由于，，
，
由题意知n满足不等式组：，
由于当时，满足上述不等式组，则有，
即的最小值为．