2024~2025学年湖南省长沙市高三上学期月考试卷（四）数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年湖南省长沙市高三上学期月考试卷（四）数学试卷【有解析】，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．0,2D．
2．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知复数z满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．的展开式中的系数为( )
A．B．C．D．
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，当取最大值时，的离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
8．若等差数列满足，则的最大值为（ ）
A．600B．500C．800D．200
二、多选题（本大题共3小题）
9．实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知事件，，为随机事件，且，则（ ）
A．若事件与事件对立，则
B．若，则事件与事件对立
C．若事件与事件独立，则
D．若，则事件与事件独立
11．已知曲线，点，为曲线上任意两点，且，则（ ）
A．曲线由两个圆构成B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为 km.
13．已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，则的三条中线的长度之和为 .
14．如图，在空间几何体中，平面平面平面，则几何体的外接球的体积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有两种农产品供选择，每人只购其中一种.大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2，购买农产品A，若掷出点数大于2，则购买农产品B.
(1)求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；
(2)用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
16．如图，三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，，分别为，的中点，与交于点，若，且平面平面.

(1)求证：平面；
(2)若三棱柱的体积为4，求锐二面角的余弦值.
17．已知正项数列的前项和为，数列的前项和为，满足，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证.
18．已知，其中，.
(1)若与相切，求实数的值；
(2)当时，证明：；
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．如图，已知椭圆的标准方程为，，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一动点，且在轴上方，延长，分别交椭圆于点，.
(1)证明：的周长大于；
(2)若，求直线的方程；
(3)求面积的最大值.
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为，
所以由数轴可得，
故实数的取值范围为.
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的充分条件，
设，，显然，从而有成立，但此时不平行.
故选：A.
3．【正确答案】B
【详解】表示对应的点是单位圆上的点，
的几何意义表示单位圆上的点和0,2之间的距离，
的取值范围转化为点0,2到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，
所以最大距离为，最小距离为，
所以的取值范围为.
故选：B

4．【正确答案】D
【详解】易知，
因为有两个极值点，故f′x有两个变号零点，
故在0,+∞上有两个不同的解，
故所以.
故选：D.
5．【正确答案】B
【详解】的展开式的通项为,，
根据题意得，解得：，则含的项为，
故的展开式中的系数为.
故选：B.
6．【正确答案】D
【详解】解：因为，
所以，
即.
又，则，
因为，
所以，所以.
故选：D.
7．【正确答案】A
【详解】由双曲线的定义可知，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
又，解得，所以，即离心率的取值范围为.
故选：A.
8．【正确答案】B
【详解】，
即，，即，
整理，得，即有解，
，解得，.
故选：B.
9．【正确答案】BD
【详解】依题意可知，，
对于A：由，得，故A错误；
对于B：由，，得，故B正确；
对于C：令，，，，，故C错误；
对于D：因为，， 所以，，所以，故D正确；
故选：BD.
10．【正确答案】ACD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，抛掷两次骰子，事件：第一次抛掷骰子的点数为2，
事件：第二次抛掷骰子的点数为奇数，事件：第二次抛掷骰子的点数大于3，
则，可知，但，不是对立事件，故B错误；
对于C，若事件与事件独立，则，
则，故C正确；
对于D，，从而，
则事件与事件独立，故D正确.
故选：ACD
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A，依题意，方程即，
即或，
所以曲线由以，为圆心，1为半径的两个圆构成，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，设，，
，，
因此，C选项正确；
对于D，
，
令，则，当，时等号可成立.
显然反向，且在x轴上时，，因此，D选项正确.

故选：ACD.
12．【正确答案】/
【详解】由题意可知，，，
在中，由余弦定理可得，
，解得（舍）或.
故答案为.
13．【正确答案】27
【详解】设，，，因为，则，
则的三条中线的长度之和为.
故27.
14．【正确答案】
【详解】解题分析由题意知， 与均为直角三角形，
且平面平面平面平面，
故可以将几何体放入底面半径为，高为2的圆柱中，
且圆柱的外接球正好就是几何体的外接球，
又该圆柱的外接球的半径，
所以几何体的外接球的半径为3，
所以外接球的体积为.
故答案为.

15．【正确答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题可知购买农产品的概率为，购买农产品的概率为，
设事件为4人中恰有1人购买农产品，
依题可知，4人是否购买农产品相互独立，互不影响
所以；
（2）用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，
则可取，可取，
当时，，表示4人全部购买产品，概率，
当时，，表示4人中恰有1人购买农产品，概率，
当时，，表示4人中恰有2人购买农产品，概率，
当时，，表示4人中恰有3人购买农产品，概率，
当时，，表示4人中全部购买农产品，概率，
所以由可知，的可能取值为
当时，对应的概率，
当时，对应的概率，
当时，对应的概率
所以随机变量的分布列为
所以，数学期望.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由，分别为，的中点，
由正方形易知：,
所以，
又,
所以，所以，
又，，平面内，
因此平面，又平面，故.
由平面平面，平面平面，
且，平面，
从而平面，平面，故；
又，又平面，
故平面.
（2）因为三棱柱的体积为4，
由（1）知：三棱柱的体积为
则.
因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A1,0,0，，，，
，，，
设平面的法向量为，则即
令，则，，从而.
设平面的法向量为，则即
令，则，，从而.
则，
即锐二面角的余弦值为.
17．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意可知，，，，
相减可得，，
即，故，
即，，故为从第2项开始的等比数列，且公比为，
又，代入，可得，
则，时，，
故
（2）当时，
则
，
.
18．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）设，则，，
若与y=fx相切，设切点为，
则，又，则，从而，即，即.
（2）设，则，当时，，
依题意，当时，要证，即证，当时，即证.
设，ℎ1=0，则，当时，ℎ′x>0，ℎx单调递增，
则当时，，即，从而，
当时，，即，从而，
综上可知，当时，.
（3）不等式即，令，令，，，
由，不妨设，，
其中，ℎ1=0，.
（ⅰ）当时，由（2）可知ℎx单调递增，故，则，即单调递增，符合题意；
（ⅱ）当时，由，令，则，
①当时，，则恒成立，故ℎx单调递减，即，
即，故单调递增，从而，符合题意；
②当时，，故有两个根，
因此当时，ℎ′x>0，ℎx单调递增，则，
即，故在区间上单调递减，从而，不合题意.
综上可知，或，即.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）连接，注意到，
故的周长为.
（2）设Ax0,y0，，，
由，且，故，
又，则，即，
因此，故直线的方程为：，即，
直线的方程为：，联立，得，
则，即，因此，
而，因此，
故直线的方程为：，即.
（3）因为点A在x轴上方，所以直线斜率不为0，
设直线，直线，Ax0,y0，，，，
联立，可得，则，
注意到，故.
联立，可得，则，
注意到，故.
则，.
注意到，因为，，
所以，
则，
设，，则，则单调递增，
故，
则面积的最大值为.