山东省聊城市高唐县2024-2025学年九年级下学期开学测试数学试题（解析版）

这是一份山东省聊城市高唐县2024-2025学年九年级下学期开学测试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）．
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 下列计算正确的是（ ）
A. 3a2﹣4a2=a2B. a2•a3=a6C. a10÷a5=a2D. （a2）3=a6
【答案】D
【解析】A、3a2﹣4a2=﹣a2，错误；
B、a2•a3=a5，错误；
C、a10÷a5=a5，错误；
D、（a2）3=a6，正确，
故选D．
3. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°
【答案】B
【解析】∵直尺的对边互相平行，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∵∠1=20°，
∴∠2=45°﹣∠1=25°，
故选：B．
4. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 中位数是2B. 众数是17C. 平均数是2D. 方差是2
【答案】A
【解析】A. 这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，则这组数据的中位数为2；故此选项正确；
B.这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，则这组数据的众数是3；故此选项错误；
C.这组样本数据的平均数为：（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=1.98（册）；故此选项错误；
D.方差是：
；故此选项错误；
故选：A．
5. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选：B．
6. 三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（ ）
A. 8 B. 8和10 C. 10 D. 8 或10
【答案】C
【解析】x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，解得：x＝4或2．分两种情况讨论：
①三角形的三边为2、2、4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
②三角形的三边为2、4、4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，组成的三角形周长为2+4+4＝10．
故选C．
7. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，作轴于．

由题意：，，
，
，，
，
，
故选：B．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果两个图形是相似图形，它们的周长比等于相似比的平方
B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C. 相似图形一定是位似图形，位似图形不一定是相似图形
D. 三角形的外心不一定在三角形内
【答案】D
【解析】A．如果两个图形是相似图形，它们的周长比等于相似比，故此选项错误；
B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项错误；
C．相似图形不一定位似图形，故此选项错误；
D．三角形外心不一定在三角形内，比如钝角三角形的外心在三角形的外部，故此选项正确．
故选：D．
9. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A. 50°B. 48°C. 45°D. 36°
【答案】B
【解析】连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cs∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．
10. 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】①因为对称轴为，所以，即，故①正确；
②由①知，所以时，；
因为抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，所以时，
又因为与关于抛物线的对称轴对称，所以，即，故②错误；
③由图可知y＝ax2+bx+c的最大值为3，所以当ax2+bx+c＝2时有两个不相等的实数根；故③正确；
④由图可知：，即，
又且，所以=，
所以，即，故④正确；
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. （1）因式分解：___________．
（2）计算的结果是___________．
【答案】（1） （2）1
【解析】（1）；
（2）
故答案为：（1）；（2）1．
12. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．

【答案】2
【解析】由数轴可得：0＜a＜2，
则a+
=a+
=a+（2﹣a）
=2．
故答案为：2．
13. 解不等式组：__________，并写出它的正整数解_______．
【答案】 1，2
【解析】解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的正整数解是1，2．
14. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的值为_____．
【答案】
【解析】由折叠知，，，，
，
在中，，
设，则，
，，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
在中，
，
故答案：．
15. 如图，是的外接圆，已知平分交于点，交于点，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】∵平分，
∴，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 .
【答案】.
【解析】连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE=
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）
=
=
=．
三、解答题：（本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）先化简代数式，并从，0，1，3中选取一个合适的代入求值．
解：（1）
；
（2）
，
∵且且且，
∴x可以取3，
当时，原式．
18. 如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，
∴y与x之间的函数关系式为：y=；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；
（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，
∴b=，
∴y2=x+，
令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP=BC=，或BP=BC=
∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，
∴P（﹣，0）或（，0）．
19. 某学习小组在学习了锐角三角函数之后，想要利用课余时间测量公园人工湖岸边一棵树的高度，制定了如下的测量方案．
请根据以上测量数据，带助该学习小组求这棵树的高度．（结果精确到．参考数据：）
解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
由题意得：，，，，
在中，，
，
在中，，
解得：，
，
即这棵树的高度大约为．
20. 如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．

（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的半径．
（1）证明：连接，

∵，，
∴，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
又为的半径，
∴为的切线；
（2）解：连接，则：，

∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设的半径为，则：，
∵，∴，
∴，即：，
∴；
∴的半径为．
21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接．
（1）求抛物线表达式；
（2）点P从点C以每秒个单位长度的速度沿运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿运动到点C，点P和点Q同时出发，连接，设点P和点Q的运动时间为t，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）抛物线上存在点M，使得，请直接写出点M的坐标．
（1）解：点、，三点在抛物线上，将其代入抛物线中得：解得：
∴抛物线的表达式为：．
（2）解：如图，过点作于，
∵、，
又∵，
，

∵点从点以每秒个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，
又∵，
，


，
∴当 时，的最大值为
∴点的坐标为．
（3）解：如图，当点在的下方时，设与轴的交点为，
∵，
∴点
设直线的解析式为：
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：
联立方程组可得：

解得：(舍去)或 ，
故点；
当点在的上方时，设与轴的交点为，
∴点
设直线的解析式为：
把代入得：，
解得：，
∴直线 的解析式为：
联立方程组可得：

解得：(舍去)或
故点
综上所述：点的坐标为 或 ．
22. 已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=______，如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB
=______，如图3，若∠ACD=α，则∠AFB=______（用含α的式子表示）；
（2）设∠ACD=α，将图3中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以说明．
解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴△ECB是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠EAC=∠BDC．
又∵∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD
=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB（HL）．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．
（2）∠AFB=180°-α；理由如下：
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
∵ ，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠CBD=∠CEA，
∴∠EFB=∠ECB=α．
∴∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．
册数
0
1
2
3
4
人数
4
12
16
17
1
课题
测量人工湖岸边一棵树的高度
成员
组长：瑛瑛
组员：小明、小华、小晴
测量工具
测角仪、皮尺
测量示意图及测量数据

说明：线段表示所要测量树高度．测量者在岸边点B处清晰地看到这棵树倒映在平静的湖面上，并测得该树顶端C的仰角为，树的顶端C在水中的倒影D的俯角为．测量者的眼睛距湖面的高度，点B，F在同一水平直线上，，点A，B，C，D，F在同一平面内．
实施说明
测量树的顶端在水中倒影的俯角，测得的角度有一点误差，结果的误差就会很大，经多次测量取其平均值．（光线的折射忽略不计）