广东省肇庆市某校2024-2025学年九年级上学期第一次作业检测数学试题（解析版）

这是一份广东省肇庆市某校2024-2025学年九年级上学期第一次作业检测数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A：满足一元二次方程的定义，符合题意；
B：含有两个未知数，不符合题意；
C：未知数的最高次数是１，不符合题意；
D：是分式方程，不符合题意；
故选：A
2. 方程2x2＝3(x－6)化为一般形式二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ( )
A. 2，3，－6B. 2，－3，18C. 2，－3，6D. 2，3，6
【答案】B
【解析】方程2x2=3（x﹣6），
去括号，得2x2=3x﹣18，
整理，得2x2﹣3x+18=0，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别2，﹣3，18，
故选B．
3. 用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A. （x+4）2＝﹣7B. （x+4）2＝9
C. （x+4）2＝23D. （x+4）2＝﹣9
【答案】B
【解析】x2+8x+7＝0，
x2+8x＝﹣7，
x2+8x+16＝﹣7+16，
（x+4）2＝9，
故选：B．
4. 关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】A．忽略了这种情况，同时也不符合解一元二次方程的方法，故选项错误，不符合题意；
B．一元二次方程必须是一般形式才能用公式法求解，故选项错误，不符合题意；
C．把一元二次方程的一般形式的常数项移到右边后，配方法应该是两边都加上一次项系数一般的平方，等式两边应该加4，故选项错误，不符合题意；
D．移项后，把方程左边提取公因式进行因式分解，用因式分解法解方程，过程正确，故选项正确，符合题意．
故选：D．
5. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 为任意正实数
【答案】A
【解析】方程是关于的一元二次方程，
，
解得：，
故选：A．
6. 下列关于方程的结论正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根D. 无实数根
【答案】D
【解析】由题意得：；
∴方程没有实数根；
故选D．
7. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为，
第二周票房约亿元，第三周票房约亿元．
依题意得：．
故选：D．
8. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】D
【解析】∵是一元二次方程，即的两个实数根，
∴，，
∴．
故选：D
9. 若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程
必有根为（ ）
A. 2022B. 2020C. 2019D. 2021
【答案】D
【解析】由得到，
对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于x的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：D．
10. 对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则；
⑤存在实数，使得．
其中正确的（ ）
A. 只有①②④B. 只有①②④⑤
C. ①②③④⑤D. 只有①②③
【答案】A
【解析】①若，则是的解，则，故①正确；
②若方程有两个不相等的实根，则，
∴中，判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根，故②正确；
③若是方程的一个根，则，
∴，
当时，等式成立；当时，等式不一定成立；故③错误；
④若是一元二次方程的根，则，
∴根据求根公式得，，
∴，整理得，，故④正确；
⑤实数，当时，成立；当，且时，不一定成立，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②④，
故选：．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 方程的解为_______________．
【答案】
【解析】
则，
∴
故答案为：．
12. 如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式______．

【答案】
【解析】设草坪的长和宽分别为：米和米，
由题意，得：，整理得：；
故答案为：．
13. 若一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
14. 对于两个不相等的实数a、b， 我们规定符号表示a、b中的较小值． 如：，按照这个规定，方程 的解为____________
【答案】
【解析】，
由，得，
解得：
故答案为：
15. 如图，在中，，动点M从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒，连接． 当四边形的面积为时，t的值为________．
【答案】
【解析】如图，过点M作于点D，
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：
三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共计21分）
16 解方程：
（1）
（2）
（1）解：
或
解得，；
（2）解：
或
解得，．
17.
（1）化简T；
（2）若a是方程的一个根，求T的值．
解：（1）
；
（2）∵a是方程的一个根，
∴，即：，
∴．
18. 在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度 与打出后飞行的时间之间的关系是．问：经过多少秒钟，球飞出的高度为．
解：把代入函数解析式得，
化简整理，得，
解得：，，
答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为．
四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）
19. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
20. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元．
（1）若将这种西瓜每千克售价降低元，则每天的销售量是_______千克（用含的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利200元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元?
（1）解：由题意得，每天的销售量为千克
故答案为：
（2）解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元，根据题意，得
可化为：，解这个方程，得，．
为使每天的销量较大，应降价0.3元．
答：需将每千克的售价降低0.3元．
21. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
（1）解：当，，时勾系一元二次方程为；
（2）证明：根据题意，得，
∵，
∴
∴，
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当时，有，即，
∵四边形的周长是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
五、解答题（三）（共两小题，22题13分，23题14分，共计27分）
22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根．
（1）求的取值范围；
（2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积．
解：（1）由题意得：，且，
化简得：，
解得：且；
（2）由题意知：恰好是等腰的腰长，
∴，
∵是关于的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得，
∴，
解得，
∵，
∴的周长为：；
（3）由（2）知：的三边长为，
∴5，
∴，
过分别作，，，垂足分别为，
∵是△ABC角平分线的交点，
∴，
∴
，
解得，
∴．
23. 等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以
1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，此时CQ=t，PB=10-t
S△PCQ=CQ•PB．
∴S=×t×(10−t)=(10t−t2)
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上如图2，此时CQ=t，PB=t-10
S△PCQ=CQ•PB．
∴S=×t×(t−10)=(t2−10t)
（2）∵S△ABC=AB•BC=50
∴当t＜10秒时，S△PCQ=(10t−t2)=50
整理得t2-10t+100=0无解
当t＞10秒时，S△PCQ=(t2−10t)=50
整理得t2-10t-100=0解得x=5±5（舍去负值）
∴当点P运动5+5秒时，S△PCQ=S△ABC.
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
在Rt△APE和Rt△QCM中
∵∠A=45°，∠QCM=∠ACB=45°
∴∠A=∠QCM
∵AP=QC=t, ∠QMC=∠AEP=90°
∴△APE≌△QCM
∴AE=PE=CM=QM=t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半
又∵EM=AC=10
∴DE=5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
同理，当点P在点B右侧时，DE=5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
甲
乙
丙
丁
两边同时除
以得
整理得
∵，，
，
∴，
∴，
∴，
整理得，
配方得
，
∴，
∴，
∴，
移项得
，
∴，
∴或，
∴，