河南省郑州市荥阳市2025届九年级第二次学业质量测试数学试卷(含解析)

这是一份河南省郑州市荥阳市2025届九年级第二次学业质量测试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，绝对值最大的是（ ）
A．B．C．D．0
2．2024年政府工作报告显示：我国文旅市场持续火热，接待旅客突破10亿人次，10亿用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
3．禹州神垕素有“钧都”之称，禹州的钧瓷是我国五大名瓷之一，以其“入窑一色，出窑万彩”的神奇变幻而著称，素有“窑变无双，钧瓷无对”之称．下面是刘志钧的作品《天球瓶》．下列关于它的说法正确的是（ ）
A．主视图和俯视图相同B．左视图和俯视图相同
C．主视图和左视图相同D．三种视图均相同
4．如图，．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．中考体育测试，小明选择的考试项目是1分钟跳绳，下面记录的是他10次一分钟跳绳成绩：
则小明这10次一分钟跳绳的平均成绩是（ ）
A．175次B．176次C．177次D．173.8次
6．一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根D．根的情况无法确定
7．如图，量角器线和含角的直角三角板的斜边重合，点是量角器外边缘上一点，则图中的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．清明节假日，小红和小明准备乘坐高铁去北京旅游，高铁座位安排如下图所示：
这两位同学从这五个座位中各任意选取1个座位，他们选取到相邻座位（C与D之间含过道不相邻）的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．下列四幅图分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情景分别是（ ）
①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额与通话时间的关系；
②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间与行驶速度之间的关系；
③一名学生推出实心球，实心球的行进高度与水平距离之间的关系；
④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离与所用时间之间的关系．
A．②③①④B．①④③②C．②③④①D．②①③④
10．如图，菱形的对角线交于坐标原点，已知点，将菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒时点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．写一个可以与合并的单项式 ．
12．不等式组的解集是 ．
13．如图，等边三角形中，，分别以点，为圆心，为半径作弧和弧，两弧交于点，点，，在同一条直线上，则阴影部分的面积是 ．
14．如图，在平行四边形中，分别为的中点，连接并延长至．满足，连接．点是的中点，连接交于点．若，则的长为 ．
15．如图，点，，为平面内一点，满足，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接，线段的最小值为 ，此时点的坐标为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．某校开学初组织学生开展“安全第一课”活动，活动分“宣讲宣传一知识学习一知识竞赛一实践防护”等阶段，全校学生全员参加安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析．
【收集整理】
成绩得分用表示，其中，其中90分以上（不含90分）为优秀．
七年级20名学生在B组的分数为91，92，93，94，92，93．
八年级20名学生在B组的分数是93，93，92，93，93，93，93，93，
【数据分析】
(1)填空：___________，___________，___________，并把条形统计图补充完整；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“安全第一课”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校七年级有学生720人，八年级有学生640人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？
18．如图，为角内部一条线段．
(1)如图2，小鑫同学已过点作．
小鑫的作法利用尺规作图完成，请你根据题意提供的两种作法，并补充完整理论依据．作法一：利用尺规作图，作，理论依据：___________；
作法二：利用尺规作图，过点作___________，理论依据：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
(2)在小鑫的作法基础上，利用尺规作图，在上找一点，使得四边形为矩形，（保留作图痕迹，不写做法）提供两种作法．
19．如图，直线过原点，交双曲线于，两点，轴，垂足为点，且的面积为4．
(1)求的值；
(2)若，将直线向上平移2个单位长度得到直线．
①求的值，并直接写出当时，对应的自变量的取值范围；②若点，过作轴的平行线交直线于点，交双曲线于点，当三点中，其中一点是以另外两点为端点的线段的中点时，请直接写出的值．
20．如图，经了解，某岛屿附近存在一个浅滩（弧内部，圆心为，其中为岛屿上两个警示灯塔，其中为警示角，为了保证深水船不进入浅滩，测量的大小，与警示角比较．某一时刻，深水船行驶到某一位置，此时直线和直线恰好与弧相切．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)若，测得海里，则深水船沿方向行驶，保证不搁浅的情况下，最多能行驶多少海里？（参考数据：）
21．体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个．
(1)求足球、篮球的单价；
(2)因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？
22．在河南中招体育考试中，洛阳某考点的乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为．
(1)求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度．
(2)设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？
23．【问题提出】在中，，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若为的中点，作射线交于点，判断与的位置关系与数量关系．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，当点与点重合时，直接写出和的关系___________，___________；
（2）再探究一般情况，如图所示，判断与的关系，并说明理由；
【问题应用】
（3）当，且时，请直接写出的长．
《2025年河南省荥阳市九年级第二次学业质量测试 数学》参考答案
1．A
解：由题意可得，，，，
∵，
∴绝对值最大的是，
故选：A．
2．B
解：10亿，
故选：B．
3．C
解：由题意可得主视图和左视图相同，故选项C符合题意．
故选：C．
4．B
解：如图，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴
故选：B
5．D
解：（次），
故选：D．
6．C
解：根据题意可知：，，
对于，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选∶C
7．D
解：∵和所对的弧相同，
∴，
故选：D．
8．D
解：列表如下：
这两位同学从这五个座位中各任意选取1个座位，他们选取到相邻座位（C与D之间含过道不相邻）的情况共有20种，符合题意的情况数共有6种，
∴他们选取到相邻座位（C与D之间含过道不相邻）的概率是，
故选：D
9．A
解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是：
②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间与行驶速度之间的关系；
③一名学生推出实心球，实心球的行进高度与水平距离之间的关系；
①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额与通话时间的关系；
④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离与所用时间之间的关系．
故选：A．
10．C
解：由题意得菱形旋转4次为一个周期，
∴
如图所示，此时点落在了处，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
根据旋转的性质可得，,
∵，根据菱形的性质，对角线互相平分，
∴点关于原点对称，
∴，
∴，
故选：C．
11．（答案不唯一）
解：能与合并的单项式有，等，
故答案为：（答案不唯一）．
12．
解：
解不等式①得，；
解不等式②得，；
∴该不等式组的解集为．
故答案为：．
13．/
解：如图，连接，则是一个与等边三角形同边长的等边三角形，
∴弓形与弓形面积相等
∴，
∴阴影部分的面积即为扇形的面积，
∴，
故答案为：．
14．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵E，F分别为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
15．
解：∵点，，
∴，
如图，连接，在上截取，
∵，
∴，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
当且仅当点三点共线时，等号成立，
∴的最小值为，如图：
过点作轴于点，
当点三点共线时，，
∵，
∴，
同理：，
∵轴，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；．
16．（1）；（2）
解：（1）原式
；
（2）原式
.
17．(1)；93；70
(2)见解析
(3)952人
（1）解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因此中位数，
八年级学生竞赛成绩93出现的次数最多，故众数，
，即，
七年级B组的人数为（人，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：；93；70
（2）我认为七年级学生成绩较好，因为七、八年级学生成绩的平均数、中位数及优秀率均一样，但七年级学生成绩的众数是95，高于八年级学生成绩的众数，所以我认为七年级学生成绩较好．（合理即可）
（3）（人）．
所以估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有952人.
18．(1)内错角相等，两直线平行，，垂足为点．
(2)见解析
（1）作法一：利用尺规作图，作，理论依据：内错角相等，两直线平行，
作法二：利用尺规作图，过点作，垂足为点，理论依据：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行，，垂足为点
（2）如图，即为所求（答案不唯一），
19．(1)4
(2)①，或；②或或或
（1）解：根据反比例函数和正比例函数的性质可知，图象交点关于原点对称，
，
，
∵反比例函数的图象位于第一、第三象限，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴假设，代入得，
，
解得，
，
联立
解得或
通过图象交点可得当时，自变量的取值范围为或；
②由点得，，，
当点为中点时，，
解得或；
当点为中点时，，
解得或；
综上可得，或或或．
20．(1)，见解析
(2)11.25海里
（1）解：（1），理由如下：
设交弧于点，连接．
可得.
在中，，
，
同理可证，
，
即．
又，
.
（2）解：由题意可知，和为的切线，
．
又，
，
．
又，
.
在中，海里，
，
.
（海里）．
深水船沿方向行驶，保证不搁浅的情况下，最多能行驶11.25海里.
21．(1)足球的单价均为50元，篮球的单价为100元
(2)购买足球20个，篮球80个时花费最少
（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
由题意可得，解得
足球的单价均为50元，篮球的单价为100元；
（2）解：设购买足球的数量为个，则购买篮球个，花费为元．
则有，解得
随的增大而减小．
又，
当时，有最小值，最小值为9000，
当购买足球20个，篮球80个时花费最少．
22．(1)
(2)
发球器出口的高度应向上调整
（1）解：令，
解得．
把代入，得，
解得．
∴．
令，得．
∴“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度为；
（2）解：由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为．
∴．
设调整后“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为．
把代入，得，
解得，
∴要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应向上调整．
23．（1）；（2），见解析；（3）或
解：（1）∵点与点重合，
∴点与点重合，
∵为的中点，
∴为的中点，
∵为直角三角形，
∴；
（2）延长至点M，使，连接和分别交于点J和K，如图，
∵为的中点，
∴，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）当点D位于上时，
∵，，
∴，
过点A作于点H，如图，
则，
∴，
∵，
∴，，
∴；
当点D位于延长线上时，
∵，，
∴点B和点P重合，如图，
∵，，
∴，
故为或．
成绩/次
160
175
179
180
次数
2
4
2
2
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
92
95
八年级
92
93
70%
A
B
C
D
F
A
BA
CA
DA
FA
B
AB
CB
DB
FB
C
AC
BC
DC
FC
D
AD
BD
CD
FD
F
AF
BF
CF
DF