2024-2025学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为( )
A. 25B. 35C. 625D. 1925
2.已知平面向量a=(2,3)，b=(−3,4)，则2a−b=( )
A. (1,2)B. (1,−2)C. (7,2)D. (7,−2)
3.已知数据x1，x2，⋯，x10的平均数为5，数据y1，y2，⋯，y8的平均数为6，则数据x1，x2，…，x10，y1，y2，…，y8的平均数为( )
A. 112B. 5C. 6D. 499
4.已知事件A与B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.8，则P(A∪B)=( )
A. 0.8B. 0.5C. 0.56D. 0.94
5.在空间中，直线l1⊥直线l2，直线l3，l4满足：l3⊥l1，l3⊥l2，l4⊥l1，l4⊥l2，则直线l3，l4位置关系为( )
A. 垂直B. 平行C. 相交D. 异面
6.在棱长均相等的正四棱锥S−ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为( )
A. 510B. 910C. 36D. 56
7.已知虚数z1，z2是方程x3+x−2=0的两个不同的根，则下列说法正确的是( )
A. z1=1B. |z1|= 2C. z12+z2=0D. z1+z2=1
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为1，P为AC1上的动点，S，T分别是面ABCD和面BCC1B1上的动点，则PS+PT+ST的最小值为( )
A. 1+ 22B. 1+ 32C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数z1，z2，z1+z2在复平面内对应的点分别为P，Q，S，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是( )
A. OS=OP+OQB. |z1+z2|≤|z1|+|z2|
C. |z1z2|=|z1||z2|D. 若OP⊥OQ，则z1z2=0
10.在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了高一80人，高二60人，高三60人，方差分别为15，10，12，则此样本的方差不可能为( )
A. 11B. 12C. 13D. 14
11.已知在△ABC中，BC的长为2，△ABC的面积为2，则下列命题正确的是( )
A. △ABC外接圆面积的最小值为π
B. ABAC的最大值为 5+12
C. △ABC内切圆的半径的最大值为 5−12
D. 若△ABC的内角满足C−B=π2，则tanC=− 5+12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，各射击一次，且两个人的射击结果互不影响，若甲中靶的概率为23，乙中靶的概率为35，则两人都中靶的概率为______．
13.已知平面向量|a|=|b|=1，且a与b的夹角为π3，若λ∈R，则|a+λb|的最小值为______．
14.已知圆锥的母线长为2，内切球的表面积为43π，则圆锥的底面半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量|a|=1，|b|= 2，a与b的夹角为π4．
(1)求(2a+b)⋅(a−2b)的值；
(2)当实数k为何值时，(a+2b)⊥(ka−b)．
16.(本小题15分)
从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW⋅ℎ之间，进行恰当分组后(最后一组为闭区间，其余各组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)试估计该小区用户月用电量的平均数．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.给出如下三个条件：
①ca=sin2C2sinB−sinC；
②sinC−sinBcsB+csA=csB−csAsinC；
③b+ca=csC+ 3sinC；
从这三个条件中任选一个作为△ABC满足的条件，完成以下问题：
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为 3.角A的内角平分线交边BC于D，且AD= 3，试判断△ABC的形状并证明．
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥A−BCD中，点A在平面BCD的射影为O，BO⊥CD，AD⊥BC，∠BCD=60°，二面角A−BC−D，A−CD−B的大小分别为60°，45°，且BC=2+ 3．
(1)证明：AB⊥CD；
(2)求AD与平面BCD所成角的正弦值；
(3)求三棱锥A−BCD的体积．
19.(本小题17分)
已知集合Sn={X|X=(x1,x2,⋯,xn)}(n≥2).对于A=(a1,a2,⋯,an)，B=(b1,b2,⋯,bn)∈Sn，给出如下定义：
①A与B之间的第一距离d1(A,B)=i=1n|ai−bi|；
②A与B之间的第二距离d2(A,B)= i=1n(ai−bi)2．
(1)当n=2时，A(0,0)，若d1(A,B)=d2(A,B)=1，求B；
(2)当n=2时，若d1(A,B)=1，求d2(A,B)的取值范围；
(3)若A，B，C∈Sn，问：“d1(A,C)=d1(A,B)+d1(B,C)”是“d2(A,C)=d2(A,B)+d2(B,C)”的什么条件，并证明．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意，袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，
所以从中随机摸出1个球，摸到红球的概率为25．
故选：A．
根据古典概型的运算公式即可得到答案．
本题考查古典概型概率公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题可得：2a−b=2(2,3)−(−3,4)=(7,2)．
故选：C．
利用向量的线性运算坐标表示即可求得结果．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵数据x1，x2，⋯，x10的平均数为5，
数据y1，y2，⋯，y8的平均数为6，
∴由加权平均数公式得数据x1，x2，…，x10，y1，y2，…，y8的平均数为：
z−=110+8(10×5+8×6)=499．
故选：D．
根据平均数的计算公式可得答案．
本题考查平均数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56，
故有P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.7+0.8−0.56=0.94．
故选：D．
根据题意，结合 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，即可求解．
本题考查和事件的概率，涉及相互独立事件的概率计算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为直线l1⊥直线l2，所以l1与直线l2相交或平移后相交，设相交后确定的平面为α，
又l3⊥l1，l3⊥l2，l4⊥l1，l4⊥l2，所以l3，l4都垂直α，所以直线l3与l4平行．
故选：B．
根据线面垂直的判定定理，即可求解．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：取BC的中点F，连接AF，AE，如图所示：
因为E是棱SC的中点，所以EF/​/SB，且EF=12SB，
所以AE与BS所成的角为∠AEF(或其补角)，
设正四棱锥S−ABCD的棱长为2，
则AF= 22+12= 5，AC= 22+22=2 2，EF=1，SE=1，
因为SA=2，SC=2，AC=2 2，
所以SA2+SC2=AC2，所以SA⊥SC，
所以AE= SA2+SE2= 5，
在△AEF中，AE=AF= 5，EF=1，
所以cs∠AEF=12EFAE=12 5= 510．
故选：A．
取BC的中点F，连接AF，AE，则EF/​/SB，且EF=12SB，所以AE与BS所成角的为∠AEF(或其补角)，在△AEF中求解即可．
本题主要考查了异面直线所成的角，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，x3+x−2=(x−1)(x2+x+2)=0，
令x2+x+2=0，化简得(x+12)2+74=0，即(x+12)2=−74，解得x=−12± 72i，
不妨设z1=−1+ 7i2,z2=−1− 7i2，
则|z1|= 1+74= 2，z1+z2=−1，
则z12+z2=(−1+ 7i2)2+−1− 7i2=−3− 7i2+−1− 7i2=−2− 7i，
故只有B正确．
故选：B．
先因式分解得x3+x−2=(x−1)(x2+x+2)=0，即z1，z2为x2+x+2=0的两个根，从而依次判断选项．
本题考查复数的运算，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，分别作AC1关于面ABCD和面BCC1B1对称的直线AM，AN，
点P对称后为P1，P2，以D为原点建立空间直角坐标系，如图，
∴PS+PT+ST=P1S+ST+P2T≥P1P2，
∵P1，P2是异面AM，C1N上的点，
∴PS+PT+ST的最小值为异面直线AM，C1N的距离，
A(1,0,0)，M(0,1,−1)，C1(0,1,1)，N(1,2,0)，
AM=(−1,1,−1)，C1N=(1,1,−1)，AC1=(−1,1,1)，
设与直线AM，C1N都垂直的一个向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AM=−x+y−z=0n⋅C1N=x+y−z=0，取y=1，得n=(0,1,1)，
∴PS+PT+ST的最小值即异面直线AM，C1N的距离为：
d=|AC1⋅n||n|=2 2= 2．
故选：C．
根据题意，分别作AC1关于面ABCD和面BCC1B1对称的直线AM，AN，点P对称后为P1，P2，以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
本题考查棱柱的结构特征、异面直线间的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：A选项：根据复数加法的几何意义，z1+z2对应的向量OS就是OP+OQ，
因此OS=OP+OQ，A正确；
B选项：由复数模的三角不等式，|z1+z2|≤|z1|+|z2|，当且仅当z1，z2同向时取等号，B正确；
C选项：复数模的乘法性质为|z1z2|=|z1||z2|，这是复数模的基本性质，C正确；
D选项：举反例，若z1=1，z2=i，则OP⊥OQ，但z1z2=i≠0，说明垂直时z1z2不一定为0，D错误．
故选：ABC．
根据复数加法的几何意义，复数模的乘法性质即可求解．
本题考查了复数加法的几何意义，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：设总平均数为a，高一的平均数为b，高二的平均数为c，
高三的平均数为d，该样本的方差为S2，
则S2=8080+60+60[15+(b−a)2]+6080+60+60[10+(c−a)2]+6080+60+60[12+(d−a)2]
≥8080+60+60×15+6080+60+60×12+6080+60+60×10=12.6，
∴此样本的方差不可能为11，12，故AB正确．
故选：AB．
先设出总平均数和样本平均数，再表示出方差，进而放缩得到范围即可．
本题考查平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：设边BC，AC，AB分别为a，b，c，则a=2，
对于A选项：设外接圆半径为R，由正弦定理asinA=BCsinA=2sinA=2R，
所以外接圆的面积为πR2=πsin2A，
当sinA=1，A=π2时，外接圆面积最小为π；
又因为A=π2时，a2=b2+c2=4，
由△ABC面积为2，得到12bc=2，bc=4；
而b2+c2≥2bc=8与上式矛盾，故A错误；
对于B选项：12bcsinA=2，则bcsinA=4；
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，
得到b2+c2−2bccsA=4=bcsinA，
两边同除以bc，得到bc+cb=sinA+2csA，
令k=cb，则k+1k= 5sin(A+φ)，tanφ=2，
当且仅当sin(A+φ)=1时，k+1k= 5时，k最大，且为k= 5+12，故B正确；
对于C选项：由内切圆半径r的公式：r=Sp=2p，
而p=a+b+c2=2+b+c2，
故r最大时，p最小；当b=c时，p最小，此时b=c= 5，
所以r=21+ 5= 5−12，故C正确；
对于D选项：由C=B+π2和A+B+C=π，
得到A+2B+π2=π，则A+2B=π2．
S=12acsinB=2，c=2sinB，
由正弦定理得2sin(π2−2B)=2sinBsin(B+π2)，
即2cs2B=2sinBcsB，
cs2B−sin2B=sinBcsB，
两边除以cs2B，
得到1−tan2B=tanB，
所以tanB=−1± 52；
由B为锐角，所以tanB= 5−12，
tanC=tan(B+π2)=sin(B+π2)cs(B+π2)=csB−sinB=−1tanB=−2 5−1=− 5+12，故D正确．
故选：BCD．
利用正弦定理进行判断A选项与D选项，B选项利用余弦定理判断，C选项利用内切圆半径与三角形面积公式进行判断．
本题考查正余弦定理以及三角恒等变换的应用，属于难题．
12.【答案】25
【解析】解：根据题意，甲中靶的概率为23，乙中靶的概率为35，且两个人的射击结果互不影响，
则两人都中靶的概率P=23×35=25．
故答案为：25．
由独立事件乘法公式计算即可．
本题考查相互独立事件的概率计算，注意相互独立事件概率的乘法公式，属于基础题．
13.【答案】 32
【解析】解：根据题意可得：|a+λb|= a2+λ2b2+2λa⋅b= 1+λ2+2λ×1×1×12
= λ2+λ+1= (λ+12)2+34≥ 32，当且仅当λ=−12时取等号．
故答案为： 32．
根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了二次函数的性质，属中档题．
14.【答案】1或3+ 336
【解析】解：设内切球半径为R，底面圆半径为r(0