2025年辽宁省凌海市第二初级中学九年级中考复习数学第一次学情检测题（附答案解析）

这是一份2025年辽宁省凌海市第二初级中学九年级中考复习数学第一次学情检测题（附答案解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，是由7个相同的小立方块搭成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
2．有四包真空小包装零食，每包以标准克数（100克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ）
A．﹣1B．﹣2C．+3D．﹣4
3．华为Mate60，遥遥领先，其中手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是5纳米集成芯片，5纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．
A．①③B．②③C．③④D．①②③
7．如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（ ）

A．B．C．D．
8．某地有x间仓库及y件货物，若每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库；若每间仓库存放43件货物，则有1件货物不能入库．以下等式：①；②；③；④．其中符合题意的有（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
9．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为8m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．B．C．D．
10． 如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的增大而增大，正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
11．方程的实数根为 ．
12．因式分解：= ．
13．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的一边于点O，且经过点B，另一边经过点E，则的度数为 ．

14．如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2－6ax+5a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是 ．

15．已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；…….则的值为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）先化简：然后求当时，这个代数式的值．
17．国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
18．“岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
(1)数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度；
(2)补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图；
(3)若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率．
19．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
20．辽上京南塔，位于巴林左旗东南郊的辽上京遗址南侧，始建于辽代早期，与北塔相对因此得名．南塔的建筑风格独特，塔身上的浮雕又显示了辽代晚期的艺术特征辽上京遗址是第一批全国重点文物保护单位，其由北部的皇城和南部的汉城两部分组成，南塔是该遗址的重要组成部分，与北塔一同见证了辽上京的历史风貌．某校“综合与实践”小组的同学把“辽上京南塔的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，图中各点在同一竖直平面内，为塔高，为水平观景台，是观景台的竖直高，是斜坡，是竖直放置在地面的测角仪，为水平地面．测得，在点E处测得塔顶端的仰角为，，，，．
根据上面的数据，解决下面问题：
(1)求点C到水平地面的距离；
(2)求辽上京南塔的高度（结果取整数参考数据：）．
21．已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点与交于点，点为的延长线上一点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为10，，求的长．
22．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题：
如图1，在中，，．
【基础巩固】
（1）将图1中绕点B按顺时针方向旋转60°得到（如图2），连结OC．求证：．
【思考探究】
（2）将图1中绕点B按顺时针方向旋转60°并缩小得到（如图3），使，连结OC，AD．
①求证：
②用等式表示AD与AB之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）将图1中绕点B按顺时针方向旋转某个角度（小于180°）并缩小得到（如图4），使，连结OC，AC，AD．当时，求的值．
23．【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数．
(1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值；
(2)若二次函数是直线的开心函数．
①求用含m的代数式表示；
②若当时，y的最小值为，求n的值．
水果单价
甲
乙
进价（元/千克）
售价（元/千克）
20
25
《辽宁省凌海市第二初级中学2025年九年级中考复习数学第一次学情检测》参考答案
1．A
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
根据从左面看得到的图形是左视图即可得到答案．
【详解】解：A.该选项图形为原图形的左视图，符合题意；
B. 该选项图形不是原图形的三视图，不符合题意；
C. 该选项图形不是原图形的三视图，不符合题意；
D. 该选项图形为原图形的俯视图，不符合题意；
故选：A．
2．A
【分析】实际克数最接近标准克数的是绝对值最小的那个数．
【详解】∵|﹣1|＜|﹣2|＜|+3|＜|﹣4|，
∴其中表示实际克数最接近标准克数的是﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查了正负数在生活中的应用，理解超过或者减少的克数越小，越接近标准是关键．
3．A
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案，掌握科学记数法的定义是解题的关键．
【详解】解：，
故选：A．
4．A
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则逐项计算即可求解．
【详解】解：A．，正确，符合题意；
B．与不是同类项，不能合并，不符合题意；
C．，故不正确，不符合题意；
D．，故不正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
6．A
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
【详解】解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确；
②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误；
③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确；
D、▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误．
故选：A．
【点睛】此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
7．D
【分析】先过点C做出轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．
【详解】
如图过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴ ，
则 ,
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，
故答案选D
【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键．
8．C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库和每间仓库存放43件货物，则有1件货物不能入库分别表示出对应的货物总数和仓库数，进而分别建立方程即可得到答案．
【详解】解：∵每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库，
∴货物总数为件，仓库总数为间，
∵每间仓库存放43件货物，则有1件货物不能入库，
∴货物总数为件，仓库总数为间
∴，，
∴符合题意的有②③，
故选：C．
9．D
【分析】根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积÷长方形的面积＝小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为（m2），
设不规则图案的面积为，
则，
解得：，
不规则图案的面积约为28m2，
故选：D．
【点睛】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35．
10．C
【分析】根据正方形的性质可得，，再根据旋转的性质可得，，从而证得，得到，即可求得，可判断①正确；根据正方形的性质可得的长，再根据可得的长，再利用勾股定理可得，可判断②正确；根据题意列出关于面积的一元二次方程，求得有且只有一个实数，使得，可判断③正确；连接，作于点，可得，由，点为的中点，可得，则，从而求得，可判断④错误；即可解题．
【详解】解：四边形是正方形，为对角线，
∴，，，
∵线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
又∵，，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故①正确；
∵正方形边长为，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故②正确；
由题可知：，
要，则，
整理得：，
解得：，
∴有且只有一个实数，使得，故③正确；
如图，连接，作于点，
则，
∴，
∴与的边上的高相等，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的面积不随着的变化而变化，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，直角三角形性质，综合运用以上知识是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
原方程化为：，
，
或，
．
12．3（x+3）（x﹣3）
【详解】解：原式==3（x+3）（x﹣3），
故答案为3（x+3）（x﹣3）．
13．
【分析】本题考查了正多边形的内角问题、多边形的内角和，根据多边形的内角和公式及五边形为正五边形得，再根据四边形中多边形的内角和得，进而可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：五边形为正五边形，
，
，
，
四边形中，，
，
故答案为：．
14．3
【分析】由抛物线的性质先求三点坐标，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，利用等边三角形与相似三角形的性质求解的坐标，利用两点间距离公式建立与之间的函数关系式，利用函数性质求的最小值．
【详解】解：
令，则或

如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，
∵△ACD为等边三角形，则点E为AC的中点，
则点，AE=CE=ED，
∵∠CEF+∠FCE=90°，∠CEF+∠DEG=90°，
∴∠DEG=∠ECF，
∴△CFE∽△EGD，
∴
为中点，轴，

解得：GE=，DG=
故点，
故当时，的最小值
的最小值为（负根舍去）
故答案为：

【点睛】本题考查二次函数的性质，等边三角形的性质与相似三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，掌握以上知识点是解题关键．
15．
【分析】要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果．
本题考查了数字类规律探索，准确计算、发现规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，，故数组，
，，，
故数组，
，，，
故数组，
，，，
故数组，
故每3次变换一个循环，
且，，，
，
由，
故的值为．
故答案为：．
16．（1）；（2），
【分析】（1）根据整式的混合运算法则，和特殊角的三角函数值即可求出答案；
（2）根据分式的混合运算法则计算，再代入即可求得．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
当时，原式．
【点睛】本题考查整式和分式的混合运算，熟练掌握整式及分式的运算法则，并熟练记得特殊角三角函数值是解此题的关键．
17．（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元
【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
【详解】解：（1）由题意可知：
，
解得：x=16，
经检验：x=16是原方程的解；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，
由题意可知：
y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
∴m≥3（100-m），
解得：m≥75，即75≤m＜100，
在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小，
∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元，
∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．
【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
18．(1)200，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了列表法与树状图法，统计图．
（1）用B组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用D组人数所占的百分比乘以得到在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角；
（2）先求出C组人数，再计算出A组人数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示12种等可能的结果，再找出一名男同学和一名女同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：调查的总人数为（人），
在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角为；
故答案为：200，36；
（2）解：∵C组人数为（人），
∴A组人数为（人），
条形统计图补充为：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种，
所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率=．
19．(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔每个售价应定为50元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得（不合题意，舍去）
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
20．(1)米
(2)25米
【分析】（1）过点D作于点J，得到，后计算解答即可；
（2）先求，，，根据，解答即可．
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，仰角的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：过点D作于点J，
根据题意，得， ，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如上图所示，根据题意，得四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，，，
由，，，．
∴，
，，
∴
由，得，
∴，
∴，
答：辽上京南塔的高度约为25米．
21．(1)见解析
(2)15
【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出，再证出，即，即可得出是的切线；；
（2）连接，证明，得，可得，在中，根据，计算即可．
【详解】（1）证明：如图1中，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图2所示：

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵是的直径，
∴，
∵的半径为10，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
22．（1）证明见解析 ；（2）① 证明见解析；②，理由见解析；（3） ．
【分析】（1）利用旋转的性质可证得结论；
（2）①利用等腰直角三角形的性质和旋转的性质即可证得结论；②作于点F，只要证得，再利用余弦函数即可求解；
（3）延长AC交BD于点E，证得，进一步得到，利用勾股定理求得，可求．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得，，
∴为等边三角形，
∴．
（2）①∵和都为等腰直角三角形
∴，
∴．
②，理由如下：作于点F，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：延长AC交BD于点E．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴
∴，
∴
设，，则，，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用以及勾股定理的知识，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．
23．(1)
(2)①；②或3
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式，新定义等，分类求解是解题的关键．
（1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解；
（2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入得：，即可求解；
②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则舍去或3，即；当或时，同理可解．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
将代入得：，
∴；
（2）①∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
将代入得：，
∴；
②由①知，抛物线的表达式为：，顶点坐标为：，
当时，，
当时，同理可得：，
当，即：时，则抛物线在时，取得最小值，
即，则舍去或3，即；
当，即：时，则抛物线在顶点，取得最小值，
即，则；
当，即：时，时，函数取得最小值，
即，无解，
综上，或
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
A
C
A
D
C
D
C