湖南省邵东市第一中学2024_2025学年高三上学期第二次月考 数学试卷

这是一份湖南省邵东市第一中学2024_2025学年高三上学期第二次月考 数学试卷，共19页。试卷主要包含了已知集合，，则，若,且，则，已知，则“”是“”的，若为偶函数，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 总分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若,且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=
A．5B．C．2D．1
6．设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
8．已知函数f(x)＝ax＋ex－(1＋ln a)x(，a≠1)，对任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．[2，e]
C．[e，＋∞)D．(e，＋∞)
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则（ ）
A．的最大值为2
B．在上单调递增
C．在上有2个零点
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
10．已知函数和且，若两函数图象相交，则其交点的个数可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，f4−x=fx，则对于任意的，下列说法正确的是（ ）
A．都是的周期B．曲线y=gx关于点对称
C．曲线y=gx关于直线对称D．都是偶函数
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝ .
13．已知函数，若，且，则的取值范围是 .
14．设函数，若恒成立，则的最小值为 .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．已知，设函数.
(1)若，求函数在内的单调递增区间；
(2)试讨论函数在上的值域.
16．已知向量，，函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a＋4b的最小值．
17．一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？
18．已知，.
（1）求的最小值.
（2）设，若当时，有三个不同的零点，求的最小值.
（3）当x∈0,+∞时，恒成立，求的取值范围.
19．多元导数在微积分学中有重要的应用.设是由，，…等多个自变量唯一确定的因变量，则当变化为时，变化为，记为对的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则随着的增大而增大；反之，已知，则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（为自然对数的底数），
(1)写出和的表达式；
(2)已知方程有两实根，.
①求出的取值范围；
②证明，并写出随的变化趋势.
1．D
【分析】首先解对数不等式求出集合，再根据函数的定义求出集合，最后根据补集、并集的定义计算可得.
【详解】由，可得，所以，
即，
对于函数，则，解得或，
所以，
所以，
所以.
故选：D
2．B
【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解.
【详解】由得，当时，，此时，，故CD错误，
当时，，此时A错误，
综上可知，当时，则成立，故B正确，
故选:B.
3．B
【分析】先求出角的终边经过某点的的三角函数值，再化简即可.
【详解】因为角的终边经过点
所以，
所以，
故选：B.
4．A
【分析】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
【详解】若，，，则，充分性成立；
若，可能，，此时，所以必要性不成立．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
5．B
【详解】由面积公式得：，解得，所以或，当时，
由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.
考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.
6．B
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，求解即可．
【详解】依题意可得，
因为，所以，
要使函数在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，
又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：B
7．B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
8．C
【分析】先利用导数得到在是单调递增函数，对任意的，，不等式恒成立，转化为，再求出，，
所以，即，即，所以，解不等式即得解.
【详解】依题意，①
因为，
当时，对任意的，，，，恒有；
当时，，，，，恒有；
所以在是单调递增函数.
那么对任意的，，不等式恒成立，
只需，②
因为 ，，
所以，即，即，
所以，从而有，而当时，①显然成立.
故选:C
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
9．AC
【分析】根据诱导公式化简，则可判断A选项；整体代入法计算的范围可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项.
【详解】函数
．
选项A：，，故最大值为2，A正确；
选项B：时，，不单调递增，故B错误；
选项C：时，，可知当以及时，即以及时，在上有2个零点，故C正确；
选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，不关于原点对称，故D错误.
故选：AC．
10．ABC
【分析】结合指数函数和对数函数的图象，利用导数的知识判断这两个图象的交点个数．
【详解】（一）当时，函数和的图象呈现以下三种情况：
如图2，当函数和的图象只有一个公共点时，此公共点必在直线上，且函数图象在此公共点的切线即为直线，，
所以有，则，，所以，
即公共点为，
结合图象有以下结论：
（1）当时，函数和的图象没有公共点（如图1）；
（2）当函数和的图象只有一个公共点（如图2）；
（3）当函数和的图象有两个公共点（如图3）．
（二）当时，函数和的图象呈现以下三种情况（把图象适当放大）：
图5中，函数和的图象只有一个公共点，此公共点在直线上，且在该公共点处，有公切线，此公切线斜率为（与直线垂直），
所以，解得，即公共点为，
结合图象得以下结论：
（4）当时，函数和的图象有三个公共点（如图4）；
（5）当时，函数和的图象有一个公共点（如图5）；
（6）当时，函数和的图象有一个公共点（如图6）；
（5）（6）可合二为一：当时，函数和的图象有一个公共点．
综上，函数与的图象的交点个数可为0，1，2，3，
故选：ABC．
11．BC
【分析】结合题意，借助导数的运算可判断函数的对称性，借助赋值法，可得函数的周期性，利用所得函数的性质，结合选项逐项分析判断即可得.
【详解】由是奇函数，故有，即有，
故，则，即，故关于对称，
由f4−x=fx，则，即，
故关于2,0中心对称，
由，则，又，
故，即有，
则，故，
即，故，故周期为.
对A：当时，，故A错误；
对B：由周期为，故，
又，故，故，
故曲线y=gx关于点对称，故B正确；
对C：由周期为，故，
又，故，
故曲线y=gx关于直线对称，故C正确；
对D：由B得，故，又周期为，
故有，故，又，
即都是奇函数，故D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
12．
【分析】通过α，β，α－β的范围求出他们的正弦，余弦值，再通过sin β＝sin[α－(α－β)]可得sin β，进而可得β.
【详解】因为α，β均为锐角，所以－