江浙皖高中[县中]发展共同体2024_2025学年高三上学期10月联考 数学试卷[附解析]

2024学年第一学期江浙皖高中（县中）发展共同体高三年级10月联考数学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟：2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，1.集合，则集合中的元素个数有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.若复数满足，则的虚部是（ ）A. B.2 C. D.3.某校一个数学兴趣小组四位学生参加一次竞赛中，最高分为280分，最低分为220分，且四位学生得分的中位数与平均数相同，则4位学生的平均成绩为（ ）A.240 B.250 C.260 D.2704.设，且，则（ ）A. B. C. D.5.如图，在正四棱柱中，已知，则四面体的体积是（ ）A.12 B.15 C.18 D.216.分别是椭圆的左，右焦点，过作直线交椭圆于两点.若，则的面积为（ ）A. B. C. D.7.已知向量满足，则的最小值是（ ）A.0 B.2 C. D.58.已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（ ）A.651 B.676 C.1226 D.1275二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（ ）A.随机变量的标准差为 B.随机变量C. D.10.已知函数，则（ ）A.在上单调递增B.是的极值点C.在上有3个零点D.是周期函数11.在平面直角坐标系中，为抛物线上的三点，为拋物线的焦点，且，则（ ）A.B.C.存在三点，使分别为一个三角形的三条边长D.三､填空题：本题共3小题，每5分，共15分.12.在展开式中的系数为，则的值为__________.13.2024年巴黎奥运会女子乒乓球决赛，中国选手陈梦与孙颖莎奉献了一场精彩绝伦的巅峰对决，她们技艺精湛，顽强拼搏，展现国球风采，为观众带来了视觉盛宴.现甲､乙两名乒乓球选手进行一场七局四胜的比赛，即谁先赢4局的比赛，谁就获胜，比赛结束.已知每一局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且第一局乙获胜，则甲最终以4比2获胜的概率为__________.14.设是与的差的绝对值最小的整数，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）已知锐角的三个内角所对边为.若.（1）求的值；（2）若的外接圆半径，求的面积的取值范围.16.（本题满分15分）如图，在正三棱柱中，是中点，在棱上，且.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.17.（本题满分15分）已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点.（1）若直线过点，且向量与向量共线，求直线的方程；（2）若，且抛物线在点处的两条切线相交于点，求的轨迹方程.18.（本题满分17分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若是的两个零点，①求的取值范围；②求证：（为函数的导函数）.19.（本题满分17分）设数列的各项均为正数，对于给定的正整数对任意都成立，则称数列是“数列”.（1）已知数列是“数列”，且，求和；（2）设甲：是正项等比数列，乙：是“数列”，证明：甲是乙的充分不必要条件；（3）若既是“数列”，又是“数列”，证明：是等比数列.2024学年第一学期江浙皖高中（县中）发展共同体高三年级10月联考数学参考答案一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.【答案】C【解析】由题设得：，所以，故答案选C2.【答案】A【解析】由，得，故的虚部是.3.【答案】B【解析】设另两位学生的成绩为，则，得，故答案选B.4.【答案】C.【解析】由题设可知，，所以.5.【答案】A【解析】.6.【答案】B.【解析】法一：，设直线方程为：，代入整理得：，由弦长公式及得，故直线的倾斜角为或，所以.法二：设，则，由余弦定理得：，化简得：，即，同理可得：，解得，所以或.7.【答案】D【解析】不妨设，则可设，则.当.8.【答案】A【解析】由，所以，即，所以.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.【答案】BC【解析】由题设可知，随机变量，故标准差为，答案A错误，答案B正确；，答案C正确；，答案D错误.10.【答案】AC【解析】因为，所以在上单调递增，答案A正确；当时，，所以不是的极值点，答案B错误；当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减.又因为，所以在上有3个零点，答案C正确；当时，，所以不是周期函数，答案D错误.11.【答案】ABD【解析】由题设可知，，所以，且，故A正确；，所以，，同理可得，，故B正确；不妨设，则，代入，得，所以，故C不正确；由，故D正确.三､填空题（本题共3小题，每5分，共15分.）12.【答案】【解析】设项为项，则，解得，其系数为，故.13.【答案】【解析】甲最终以4比2获胜，即甲在第2，3，4，5局比赛中胜3局，且第6局获胜，其概率为：14.【答案】390【解析】，则，故有个，使，所以.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.（本题满分13分）解：（1）因为，由余弦定理得：整理得：，又，所以.（2）因为是锐角三角形，所以，所以，，即，所以.16.（本题满分15分）（1）证明：设的中点为，过作分别交于，则分别为的中点，所以，由，得，即，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为是的中点，为正三角形，所以，由正三棱柱的性质得，底面，且底面，所以所以平面.又因为，所以平面，平面，所以平面平面.（2）以中点为原点，为中点）分别为轴，轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，易得平面的一个法向量，设向量为平面一个法向量，，则由，得，令，得，设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.（本题满分15分）解：（1）抛物线的焦点.由题意可知，直线的斜率存在并设为，故直线方程为：，代入整理得：.设，则，，，因为向量与向量共线，所以，解得，故所求直线的方程为：.（2）不妨设，当时，，从而点处的切线斜率为，同理，，因为，所以，即又点处的切线方程为，点处的切线方程为，设交点的坐标为，则，从而和方程的两个解所以，即，所以点的轨迹方程为.18.（本题满分17分）解：（1）的定义域为.当时，，所以在上单调递减；当时，时，时，，所以，在上单调递增，在上单调递减.（2）①因为是的两个零点，由（1）可知，且，解得：.而当时，，所以，有两个零点.故的取值范围是.②因为是的两个零点，所以，，，令，代入上式得：.令，，所以在上单调减，且，所以，所以在上单调减，且，所以，所以.又因为.在上是减函数，且，所以，.19.（本题满分17分）【解】（1）因为是“数列”，所以，解得，又，所以.（2）首先证明甲是乙的充分条件，设等比数列的公比为，则，所以时，，所以当时，，所以是“数列”，即甲是乙的充分条件.下证甲是乙的不必要条件，设数列是“数列”，，定义数列满足：，则数列是“数列”，但不是等比数列.综上，甲是乙的充分不必要条件.（3）因为是“数列”，所以时，，即①因为是“数列”，所以时，，即，②由①得，当时，，将上述两式代入②得，，整理得，因为的各项均为正数，所以，所以数列从第3项开始为等比数列，设公比为，则，在（1）中令得，即；令得，即，所以，所以为常数，所以是等比数