高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆当堂达标检测题

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\l "_Tc13794" 【题型1 点与椭圆的位置关系】 PAGEREF _Tc13794 \h 1
\l "_Tc22693" 【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 PAGEREF _Tc22693 \h 3
\l "_Tc21957" 【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 PAGEREF _Tc21957 \h 3
\l "_Tc6679" 【题型4 椭圆的弦长问题】 PAGEREF _Tc6679 \h 5
\l "_Tc5693" 【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 PAGEREF _Tc5693 \h 6
\l "_Tc4583" 【题型6 椭圆中的面积问题】 PAGEREF _Tc4583 \h 7
\l "_Tc11336" 【题型7 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 PAGEREF _Tc11336 \h 10
\l "_Tc23550" 【题型8 椭圆中的最值问题】 PAGEREF _Tc23550 \h 12
【知识点1 点与椭圆的位置关系】
1．点与椭圆的位置关系
(1)点与椭圆的位置关系：

(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：
点在椭圆外+>1;
点在椭圆内+0)，若点Ac,62c不在椭圆C的外部，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．33,1 B．0,33 C．63,1 D．0,63
【知识点2 直线与椭圆的位置关系】
1．直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.
(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：
>0直线与椭圆相交有两个公共点;
=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;
b>0)于，两点，
则或.
2．“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根
与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系.
设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，
得，①-②可得+=0，
设线段AB的中点为，当时，有+=0.
因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标
为，则弦AB所在直线的斜率为，即.
【题型4 椭圆的弦长问题】
【例4】已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y23=1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A．207B．227C．247D．267
【变式4-1】过椭圆x29+y2=1的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且AB=23，则这样直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式4-2】斜率为1的直线l与椭圆x22+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B．233C．263D．433
【题型5 椭圆的“中点弦”问题】
【例5】若椭圆x24+y23=1的弦AB被点M−1,1平分.则直线AB的方程为（ ）
A．3x−4y+7=0 B．3x+4y−1=0
C．4x−3y+7=0 D．4x+3y+1=0
【变式5-1】若椭圆x29+y24=1的弦AB被点P1,1平分，则AB所在直线的方程为（ ）
A．4x+9y−13=0B．9x+4y−13=0
C．x+2y−3=0 D．x+3y−4=0
【变式5-2】已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F4,0，过点F且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为3,−1，则E的方程为（ ）
A．x245+y229=1B．x236+y220=1
C．x232+y216=1D．x224+y28=1
【题型6 椭圆中的面积问题】
【例6】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦点坐标为F1−1,0、F21,0，点A1,22为椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点F2且倾斜角为45∘的直线l与椭圆C相交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积.
【变式6-1】已知点M1,1为椭圆C:x24+y2b2=l(0b>0) 上.
(1)求椭圆M的方程；
(2)直线l与椭圆M交于C,D两个不同的点（异于A,B），过C作x轴的垂线分别交直线AB,AD于点P,Q，当P是CQ中点时，证明．直线l过定点.
【变式7-1】已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，且椭圆E上的点到焦点的距离的最大值为3．
(1)求椭圆E的方程．
(2)设A、B是椭圆E上关于x轴对称的不同两点，P在椭圆E上，且点P异于A、B两点，O为原点，直线AP交x轴于点M，直线BP交x轴于点N，试问OM⋅ON是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
【知识点4 椭圆中的最值问题】
1．椭圆中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型8 椭圆中的最值问题】
【例8】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，椭圆C的中心O关于直线2x−y−5=0的对称点落在直线x=a2上，且椭圆C过点M1,62.
(1)求椭圆C的方程；
(2)P,Q为椭圆C上两个动点，且直线AP与AQ的斜率之积为−16,MD⊥PQ,D为垂足，求AD的最大值.
【变式8-1】已知点A是圆E:x−12+y2=16上的任意一点，点F−1,0，线段AF的垂直平分线交AE于点P.
(1)求动点P的轨迹Γ的方程；
(2)若过点F的直线交轨迹Γ于M、N两点，B是FM的中点，点O是坐标原点，记△MEB与△ONF的面积之和为S，求S的最大值.
随堂检测
1.点P(4csα，23sinα)(α∈R)与椭圆C：x24＋y23＝1的位置关系是（ ）
A．点P在椭圆C上B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关
C．点P在椭圆C内D．点P在椭圆C外
2.已知直线l：kx+y+1=0，曲线C：x216+y24=1，则直线l与曲线C的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
3.若直线y=mx+2与焦点在x轴上的椭圆x29+y2n=1总有公共点，则n的取值范围是（ ）
A．0,4B．4,9C．4,9D．4,9∪9,+∞
4.已知椭圆x22+y2=1与直线y=x+m交于A，B两点，且AB=423，则实数m的值为（ ）
A．±1 B．±12 C．2 D．±2
5.已知直线l交椭圆x24+y22=1于A，B两点，且线段AB的中点为−1,1，则直线l的斜率为（ ）
A．-2B．−12C．2D．12
6.已知F1,F2分别为椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点，直线l1过点F2与椭圆交于A,B两点，且△AF1F2的周长为2+2a.
(1)求椭圆M的离心率；
(2)直线l2过点F2，且与l1垂直，l2交椭圆M于C,D两点，若a=2，求四边形ACBD面积的范围.