湖南省郴州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷（解析版）

这是一份湖南省郴州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知抛物线，则抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的焦点坐标是.
故选：A.
2. 已知倾斜角为的直线的方向向量为，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又直线的方向向量为，所以.
故选：C.
3. 已知数列的前项和，则（ ）
A. 10B. 6C. 4D.
【答案】D
【解析】数列的前项和，
所以.
故选：D.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，则，
所以.
故选：A.
5. 在正项等比数列中，若为方程的两个实根，则（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 22
【答案】B
【解析】由为方程的两个实根，得，
在正项等比数列中，，，
所以.
故选：B.
6. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，，而，则，
在中，由余弦定理得，
所以.
故选：C.
7. 在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在平行六面体中，，
，
而，，
则，
，，
，
因此，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.

8. 已知双曲线的右焦点为，以点为圆心，半径为的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由对称性，不妨令渐近线为，右焦点，
则点到直线距离，
由，得，
所以该双曲线的离心率.
故选：D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 已知公差为的等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的为（ ）
A. B. 为等差数列
C. 当取得最小值时，D. 为递减数列
【答案】BC
【解析】在等差数列中，，
则，，公差，
对于A，，A错误；
对于B，，则，，
为等差数列，B正确；
对于D，由，得为递增数列，D错误；
对于C，数列前6项都为负，从第7项起都为正，因此当取得最小值时，，C正确.
故选：BC.
10. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 当直线与圆相切时，切线方程是
C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于
D. 圆上的一点到直线的最大距离是
【答案】ACD
【解析】对于A，直线恒过定点，A正确；
对于B，圆的圆心，半径，点到直线的距离为2，即直线过点与圆相切，因此直线可以是，B错误；
对于C，当时，直线，点到此直线距离为，
因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C正确；
对于D，点到直线距离的最大值为，
因此圆上的一点到直线的最大距离是，D正确.
故选：ACD.
11. 在棱长为2的正方体中，点是线段上的动点，点是线段的中点．则下列说法正确的是（ ）
A. 若点是的中点，则过、、三点的正方体的截面的周长是
B. 三棱锥的体积是定值
C. 直线与平面所成的线面角的正弦值是
D. 异面直线与所成的角的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于A：连接、，取的中点，连接、，
则且，所以四边形为平行四边形，所以，
又且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，所以四点共面，则截面周长为，故A正确；
对于B：，
即三棱锥的体积是定值，故B正确；
对于C、D：如图建立空间直角坐标系，则，，，
设，所以，
又平面的法向量为，设直线与平面所成的线面角为，
则，故C错误；
因为，，设异面直线与所成的角为，
则，
所以当时，，又，所以，
即异面直线与所成的角的最大值是，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为______．
【答案】
【解析】设两圆交点为Ax1,y1，Bx2,y2，
则两点坐标是方程组的解，
两式相减得，即，
所以两点坐标均满足此方程，
所以即为两圆的公共弦所在直线的方程，
故答案为：.
13. 已知抛物线，过抛物线焦点直线与抛物线交于两点，则______．
【答案】
【解析】直线过点，又抛物线的焦点坐标为，所以，解得，所以抛物线，设，，
由，消去可得，显然，
所以，则.
14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则______．
【答案】4725或4746
【解析】由，得，或，
若，则数列是周期数列，其周期为3，
因此；
若，则数列去掉前3项后是周期数列，其周期为3，
因此.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知圆经过三点．
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程．
解：（1）设圆的一般方程为，
将三点坐标代入得：，解得
所以圆的一般方程为：，
则圆的标准方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，
此时直线与圆有两个交点，则被圆截得的弦长为2，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 即：
由（1）圆心，圆心C到直线的距离为，
由得：，解之得
所以直线的方程为：，即：
综上所述，直线的方程为：或.
16. 已知函数（为常数）在处的切线与直线垂直．
（1）求的值；
（2）已知点是函数图象上的一点，求点到直线的距离的最小值．
解：（1）函数的定义域为，求导得，则，
由曲线在处的切线与直线垂直，得，
所以的值是2.
（2）由（1）知，，平移直线与函数的图象相切，设切点为，
则切线斜率，解得，切点为，
所以点到直线的距离的最小值为.
17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，点为线段上靠近的三等分点．

（1）求证：平面平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值．
（1）证明：在四棱锥中，，
由余弦定理，得，
则，而，则，，
由平面平面，得，
又平面，
因此平面，又平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，
显然平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面和平面夹角为，，
所以平面和平面夹角的余弦值.
18. 已知正项数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为．求证：．
解：（1）由题意，当时，，解得或，
因，所以，
由得，
两式相减得，
整理得，因为，所以，
所以数列是首项为6，公差为4的等差数列，
所以.
（2）由（1）可知，，
所以，
所以
因为，所以，
所以，即.
19. 已知双曲线为双曲线的左、右焦点，渐近线方程为，点为双曲线在第一象限上的一点，且的面积为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）、为双曲线的左右顶点，直线上一点，以为圆心，半径为的圆与直线交于两点，直线、与双曲线分别交于另一点、．
①证明：为定值；
②探究：直线是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
（1）解：双曲线的渐近线为，
设，由渐近线方程为，所以，则，
由，在中由余弦定理可得，
又点为双曲线在第一象限上的一点，所以，
即，所以，
又的面积为，即，所以，
又，解得，，
所以双曲线方程为；
（2）①证明：由（1）可得A-2,0、，
设，则，所以，，
所以，，
所以，即为定值；
②解：直线恒过定点，理由如下：
设，，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，
由，可得，
显然且，则，，
所以，
又，
，
所以，即，所以，
即直线的方程为，所以直线恒过点.