上海市嘉定区2024-2025学年高二下学期期末质量调研数学试卷（含答案解析）

这是一份上海市嘉定区2024-2025学年高二下学期期末质量调研数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1. 两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．
2. 圆上有10个不同的点，以其中任意3个点为顶点，可以组成______个不同的三角形．
3. 某高中二年级共有学生425名，其中男生204名，女生221名，为了解该校高二年级学生的身高情况，从中抽取50名学生测量身高，若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为______．
4. 在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为______．
5. 已知等比数列的前项和为，则__________.
6. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据在7~12cm之间，其茎叶图如图所示（整数部分作为茎，小数部分作为叶），则该样本数据的第75百分位数是______．
7. 在的二项展开式中，系数最大的项是______．
8. 已知抛物线上的一点P到焦点的距离为9．且点P在第一象限内，则点P的坐标为______．
9. 函数​的最小值为_____.
10. 在相距2000m的两个观察站A、B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s，根据以上信息，爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线上，该双曲线的离心率是______．
11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______．
12. 甲抛掷2枚硬币，乙抛掷3枚硬币，则甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率是______．
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. 平面截正方体所得的截面不可能是（ ）
14. 命题p：从一副去掉大小王的52张克牌中随机抽取1张牌，事件A表示“取得的牌面数是10”，事件B表示“取得的牌的花色是红桃”，事件是独立的．
命题q：掷一颗骰子，事件A表示“结果是偶数”，事件B表示“结果是奇数”，事件是独立的．以下判断正确的是（ ）
15. 图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则空气质量指数方差最大的连续三天是（ ）
16. 对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 如图，在正四棱锥中，O为底面的中心，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的大小．
18. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．
(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和小于8的概率；
(2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，再放回后再抽取1张卡片，求这三次抽取的卡片上的数字的极差大于2的概率．
19. 某数学兴趣小组对某饮料生产商的某种易拉罐通过数学建模进行研究．
(1)基于以下假设：
①易拉罐近似看成一个圆柱体，体积一定（记为V）；
②罐体各部分所用材料相同：
③易拉罐接口处的所用材料忽略不计；
④易拉罐的上、下罐顶厚度是其它部分的2倍，其余部分厚度均相同，厚度远小于易拉罐的高或底面半径；
⑤假设易拉罐本身（不含饮料）的质量与材料成本成正比；
⑥在满足体积要求的情况下，饮料生产商希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．
求易拉罐的高与底边直径的比．
(2)设易拉罐的中心纵断面（经过易拉罐上、下罐顶的圆心，且与上、下罐顶所在圆面垂直的截面）如图所示，即上面部分是一个圆台，下面部分是一个圆柱体．尺寸如表中如示：
推导圆台的体积公式，并求该易拉罐的体积．
20. 如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S．
(1)当，时，求S；
(2)当，时，求直线AB的方程；
(3)求S的最大值．
21. “绣曲线”指的是由多条线段构成的看似曲线的图案．如：在一个角的两边各取一些点（如图1），将这些点两两连成线段（如图2），就得到由线段构成的“绣曲线”．
“绣曲线”与直线族及其包络有关，直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程，当k取定时，表示一条直线；当k变化时，表示过点的直线（除y轴外）的直线族．直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
已知：在直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是．当实数a变化时，动直线AB组成的直线族记为．
(1)判断点是否在中的某条直线上，并说明理由；
(2)点不在中的任意一条直线上，求的取值范围；
(3)写出的包络的方程，并给出证明．
上海市嘉定区2024-2025学年高二下学期期末质量调研数学试卷
整体难度：适中
考试范围：空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、数列、平面解析几何、函数与导数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
A．p、q都是真命题
B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题
D．p、q都是假命题
A．3日、4日、5日
B．4日、5日、6日
C．5日、6日、7日
D．6日、7日、8日
A．0
B．1
C．2
D．无穷多
圆台
上底半径
r
下底半径
R
高度
h
圆柱
半径
R
高度
H
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
4
较易
8
适中
7
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.85
球的体积的有关计算；球的表面积的有关计算
2
0.94
组合数的计算
3
0.94
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
4
0.65
空间向量的加减运算；用空间基底表示向量
5
0.85
前n项和与通项关系；利用an与sn关系求通项或项；写出等比数列的通项公式
6
0.85
观察茎叶图比较数据的特征；总体百分位数的估计
7
0.65
求系数最大（小）的项
8
0.85
抛物线的焦半径公式
9
0.85
由导数求函数的最值（不含参）
10
0.85
双曲线定义的理解；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
11
0.65
求异面直线所成的角；求空间向量的数量积
12
0.65
独立事件的乘法公式；计算古典概型问题的概率
二、单选题
13
0.94
判断正方体的截面形状
14
0.85
独立事件的判断；计算古典概型问题的概率
15
0.94
根据折线统计图解决实际问题；计算几个数据的极差、方差、标准差
16
0.4
构造法求数列通项；根据数列的单调性求参数
三、解答题
17
0.65
求二面角；线面垂直证明线线垂直
18
0.85
计算古典概型问题的概率
19
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；锥体体积的有关计算；柱体体积的有关计算
20
0.65
椭圆中三角形（四边形）的面积；求椭圆中的最值问题；抛物线中的三角形或四边形面积问题；根据韦达定理求参数
21
0.4
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；直线两点式方程及辨析；导数的运算法则；直线的点斜式方程及辨析
序号
知识点
对应题号
1
空间向量与立体几何
1,4,11,13,17,19
2
计数原理与概率统计
2,3,6,7,12,14,15,18
3
数列
5,16
4
平面解析几何
8,10,20,21
5
函数与导数
9,19,21