辽宁省本溪市高级中学2024-2025学年高三下学期开学适应性考试数学试题（含答案解析）

这是一份辽宁省本溪市高级中学2024-2025学年高三下学期开学适应性考试数学试题（含答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)
1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
2. 抛物线的焦点坐标为（ ）
3. 已知，，，若，，三点共线，则（ ）
4. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）．
5. 已知，则的最小值为（ ）
6. 如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为，则该杯子的高度为（ ）
7. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ）
8. 已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

10. 已知数列满足，.则下列选项正确的是（ ）
11. 约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体（包括13种阿基米德多面体、无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔、平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知一组数据（）大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为＝______.
13. 在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线虚轴的上，下端点，动点满足面积的最大值为4.点在双曲线上，且关于原点对称，是双曲线上一点，直线和的斜率满足，则双曲线方程是__________；
14. 如果拉伸两个端头，下列绳子会打结的是？__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分)
15. 已知函数.
(1)若函数存在一条对称轴，求的值；
(2)求函数的单调区间.
16. 某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为，每次答题是否答对互不影响.
(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率．
(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为．
（ⅰ）求，，，并猜想当时，与之间的关系式；
（ⅱ）若，求n的最小值．
17. 已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
18. 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点.
(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
19. 模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测､种群数量变化和天体运动等等.假设在一个模糊数学系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.
(1)当时，若满足对，有，求；
(2)当时，判断中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在，说明理由.
(3)若，，记，证明：.
辽宁省本溪市高级中学2024-2025学年高三下学期开学适应性考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面解析几何、三角函数与解三角形、平面向量、函数与导数、数列、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．2
A．
B．5
C．
D．30
A．1
B．
C．2
D．
A．12cm
B．13cm
C．14cm
D．15cm
A．32
B．64
C．80
D．16
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．的图象与轴的交点坐标为
D．函数的图象关于直线对称
A．是等比数列
B．数列是单调递增数列
C．若，则
D．若，则
A．该台塔共有15条棱
B．平面
C．该台塔高为
D．该台塔外接球的体积为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
5
适中
6
较难
7
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
根据集合的包含关系求参数；解不含参数的一元二次不等式
2
0.94
根据抛物线方程求焦点或准线
3
0.65
已知弦（切）求切（弦）；由坐标解决三点共线问题；平面向量线性运算的坐标表示
4
0.85
对数的运算性质的应用；等比数列下标和性质及应用
5
0.85
利用函数单调性求最值或值域；对勾函数求最值
6
0.65
台体体积的有关计算
7
0.65
二项式的系数和；求指定项的系数；由二项展开式各项系数和求参数
8
0.4
函数周期性的应用；函数奇偶性的应用；函数对称性的应用；简单复合函数的导数
二、多选题
9
0.85
求正切（型）函数的周期；由图象确定正切（型）函数解析式；正切函数对称性的应用
10
0.4
由定义判定等比数列；裂项相消法求和；求等比数列前n项和
11
0.65
多面体与球体内切外接问题；证明线面平行；球的体积的有关计算
三、填空题
12
0.85
计算样本的中心点；根据样本中心点求参数
13
0.65
根据a、b、c求双曲线的标准方程；轨迹问题——圆
14
0.4
立体几何新定义
四、解答题
15
0.65
函数对称性的应用；含参分类讨论求函数的单调区间
16
0.4
求等差数列前n项和；求离散型随机变量的均值；求递推关系式；独立重复试验的概率问题
17
0.4
轨迹问题——椭圆；求椭圆中的最值问题；求平面轨迹方程；椭圆中向量点乘问题
18
0.4
立体几何新定义；空间线段点的存在性问题；证明面面垂直；空间位置关系的向量证明
19
0.4
数列新定义；数列不等式恒成立问题；由递推关系式求通项公式；等比数列的定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1,5
3
平面解析几何
2,13,17
4
三角函数与解三角形
3,9
5
平面向量
3
6
函数与导数
4,5,8,15
7
数列
4,10,16,19
8
空间向量与立体几何
6,11,14,18
9
计数原理与概率统计
7,12,16