2024-2025学年江苏省无锡市市北高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市市北高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=2，则|z|=( )
A. 2B. 1C. 22D. 12
2.用符号表示“点A在直线上l，直线l在平面α外”，正确的是( )
A. A∈l，l∉αB. A∈l，l⊄αC. A⊂l，l⊄αD. A⊂l，l∉α
3.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，A′B′=B′C′=1，则平面图形ABCD的面积为( )
A. 1
B. 32
C. 3 34
D. 3
4.若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. πB. 2πC. 3πD. 4π
5.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,−2)B. e1=(−1,2)，e2=(5,7)
C. e1=(3,5)，e2=(6,10)D. e1=(2,−3)，e2=(12,−34)
6.已知平面向量a,b是两个单位向量，a在b上的投影向量为12b，则a⋅(a+b)=( )
A. 1B. 32C. 2D. 3
7.如图，在△OCB中，A是边BC的中点，D是边OB上靠近点O的三等分点，设OA=a，OB=b，则DC=( )
A. 2a−53b
B. 2a+53b
C. 2a−43b
D. −2a+43b
8.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB=( )
A. s⋅tanθsinβsin(α+β)
B. s⋅tanθsin(α+β)sinβ
C. s⋅sinθsin(α+β)sinβ
D. s⋅sinθsinβsin(α+β)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 复数z=1+2i1−i的虚部为32i
B. 复数z=12−12i在复平面内对应的点位于第四象限
C. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
D. 若复数z满足1z∈R，则z∈R
10.若直线a不平行于平面α，则下列结论不成立的有( )
A. α内的所有直线均与a异面B. α内不存在与a平行的直线
C. α内直线均与a相交D. 直线a与平面α有公共点
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，则下列结论正确的是( )
A. sinA：sinB：sinC=4：5：6
B. △ABC是钝角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍
D. 若c=6，则△ABC外接圆半径为8 77
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平行四边形ABCD的顶点A(−1,−2)，B(3,−1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为______．
13.已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为______．
14.已知复数z满足|z−(2+i)|=3，则|z|的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若复数z=(m2−2m−3)+(m2−5m+6)i(m∈R)，i为虚数单位．
(1)当复数z为纯虚数时，求实数m的值；
(2)当m=1时，z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．
16.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acsC+ 3asinC−b−c=0
(1)求A；
(2)若a=2，△ABC的面积为 3；求b，c．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求中线AM的长；
(2)求∠MPN的余弦值．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，ABCD是平行四边形，M是PC的中点．
(1)若AB的中点为N，求证：MN//平面APD；
(2)在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，H在BD上，证明：AP//GH．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(tanA+tanB)=2ctanB．
(1)求A的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，求bc的取值范围；
(3)若△ABC为锐角三角形，且△ABC的面积为S，求a2+b2+c2S的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.B
6.B
7.C
8.A
9.BD
10.ABC
11.ACD
12.(1,5)
13. 22
14. 5− 3
15.(1)复数z为纯虚数，则m2−2m−3=0m2−5m+6≠0，解得m=−1；
(2)当m=1时，z=−4+2i，
z是方程2x2+px+q=0的一个根，则z−=−4−2i是方程2x2+px+q=0的一个根，
则z+z−=−p2z⋅z−=q2，即−p2=−8q2=20，
解得p=16，q=40．
16.解：(1)∵在△ABC中，acsC+ 3asinC−b−c=0，
利用正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入上式并约去2R得：
sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
而sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∴sinAcsC+ 3sinAsinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∴ 3sinAsinC=sinCcsA+sinC，
∵C为三角形内角，∴0°