2024-2025学年辽宁省鞍山二十四中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省鞍山二十四中高二（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列计算正确的是( )
A. (2x)′=x⋅2x−1B. (lgx)′=1x
C. (e2x)′=2e2xD. [cs(3x+π4)]′=−sin(3x+π4)
2.等差数列{an}中，d=−2，a7=24，则S10的值为( )
A. 270B. 540C. 536D. 274
3.已知x与y成对数据如下，且y关于x的回归直线方程为y =b x+0.287，则b​为( )
A. 0.43B. 0.55C. 0.50D. 0.30
4.f′(x)为f(x)的一阶导数，且f(x)在R上可导，则“f(x)是奇函数”是“f′(x)是偶函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.正项等比数列{an}前n项和为Sn，S5=6，S15=78，则S20=( )
A. 144B. 78 13C. 162D. 240
6.已知函数f(x)=13x3−32x2+2x+14，则函数y=f(x)的图像对称中心是( )
A. (1,1312)B. (2,1112)C. (32,1)D. (54,2524)
7.一给定函数y=f(x)的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+10时，f′(x)−f(x)>x−1，则下列说法中正确的是( )
A. 令函数F(x)=f(x)−xex，则F(x)在(0,+∞)上单调递增
B. ef(1)−f(2)0，f(1x)−(m+1)x≥1，求m的取值范围．
19.(本小题17分)
极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，limx→01x2=∞.如果当x→x0(或x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限(x→∞)x→x0limf(x)g(x)叫作未定式，并分别简记为00或∞∞.当x→x0(或x→∞)，极限(x→∞)x→x0limf(x)g(x)为未定式且f′(x)、g′(x)、(x→∞)x→x0limf′(x)g′(x)存在(g′(x)≠0)时，有：(x→∞)x→x0limf(x)g(x)=(x→∞)x→x0limf′(x)g′(x).这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则(L′Hpital′s rull)．
(1)使用洛必达法则，求极限；
①limx→1x3+2x2−3lnx；②limx→0x+sinxx；③limx→0(x+1)ex−x2−2x−1x2；
(2)求极限(选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分)：
①limx→∞ex+e−xex−e−x；②limx→∞ 1+x2x；③limx→∞x+sinxx；
(3)Γ′(x)=(x+1)ex−1且Γ(1)=e−1，∀x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，ax20，又nx2≥0，所以1+(n+1)x+nx2≥1+(n+1)x，
所以(1+x)n+1≥1+(n+1)x．
综上，对任意实数x>−1，有(1+x)t≥1+tx(t∈N∗).
(2)当n=1时，左式=32>右式 2，得证；
假设当n=m时，不等式成立，即 mk=1(1+12k)> m+1，
则当n=m+1时， m+1k=1(1+12k)=( mk=1(1+12k))(1+12(m+1))，
根据归纳假设，左边大于 m+1⋅(1+12(m+1))，故只需证明： m+1⋅(1+12(m+1))> m+2，
即需证(m+1)⋅(1+1m+1+14(m+1)2)>m+2，
而因(m+1)⋅(1+1m+1+14(m+1)2)=(m+1)+1+14(m+1)=m+2+14(m+1)>m+2显然成立，因此不等式成立，归纳得证．
18.(1)当a=1时，f(x)=1+1−lnxx，
∴f(1)=1+1−ln11=2，f′(x)=lnx−2x2，
∴f′(1)=ln1−212=−2．
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−2=−2(x−1)，即2x+y−4=0．
(2)当a=0时，f(x)=1−lnxx，
∴f′(x)=lnx−2x2．
令f′(x)>0，解得x>e2；令f′(x)0恒成立，
∴m≤[e1x+xlnx−1x]min．
设g(x)=e1x+xlnx−1x，
则g′(x)=(x−e1x)(x+1)x3．
∵x>0，∴x3>0，x+1>0．
令ℎ(x)=x−e1x，x>0，则ℎ′(x)=1+1x2e1x>0，
∴ℎ(x)=x−e1x在(0,+∞)上单调递增．
又ℎ(1)=1−e0，
∴由零点存在性定理可知：∃x0∈(1,2)，使得ℎ(x0)=x0−e1x0=0，即x0=e1x0，
∴x∈(0,x0)时，ℎ(x)0，g(x)在(x0,+∞)上单调递增．
∴当x=x0时，g(x)取得最小值g(x)min=g(x0)=e1x0+x0lnx0−1x0=x0+x0lne1x0−1x0=x0+x0⋅1x0−1x0=1．
∴m≤1，即m的取值范围为(−∞,1]．
19.(1)①对于x→1limx3+2x2−3lnx，当x=1时，分子x3+2x2−3=0，分母lnx=0，属于00型，
∴x→1limx3+2x2−3lnx=x→1lim(x3+2x2−3)′(lnx)′=x→1lim3x2+4x1x=7；
②对于x→0limx+sinxx，属于00型，
∴x→0limx+sinxx=x→0lim(x+sinx)′x=x→0lim(1+csx)=2；
③对于x→0lim(x+1)ex−x2−2x−1x2，属于00型，
∴x→0lim(x+1)ex−x2−2x−1x2=x→0lim[(x+1)ex−x2−2x−1]′(x2)′=x→0lim(x+2)ex−2x−22x
=x→0lim[(x+2)ex−2x−2]′(2x)′=x→0lim(x+3)ex−22=12．
(2)①x→∞limex+e−xex−e−x=x→∞lime2x+1e2x−1ex=x→∞lime2x+1e2x−1=x→∞lime2xe2x=1；
②x→∞lim 1+x2x=x→∞lim 1+1x= 1+0=1；
③x→∞limx+sinxx=x→∞lim(1+sinxx)=1+0=1．
(3)①由Γ(x)=(x+1)ex−1，则Γ(x)=xex−x+c，又F(1)=e−1，
∴e−1+c=e−1，得c=0，∴Γ(x)=xex−x．
②对∀x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，ax20，
所以当x∈(−∞,0)和x∈(0,1)时，ℎ(x)0，
即ℎ(x)在(−∞,0)和(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
又ℎ(1)=e−2，x→0limℎ(x)=x→0limex−1−x2x=x→0lim(ex−1−x2)′(x)′=x→0lim(ex−2x)=1，
∴a