北师版七年级数学上册 3.1 代数式（第三章 整式及其加减 学习、上课课件）

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用字母表示数用字母表示运算律、公式代数式代数式的值整式单项式的系数和次数多项式的项和次数
1. 用字母表示数 可以用字母或含有字母的式子表示数或数量关系 . 在用字母表示数时，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来 .
特别提醒★同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示.★用字母可以表示任意数或式子.用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义.
2. 用含有字母的式子表示数量关系的书写规定(1)数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号省略不写；数与字母相乘时，通常把数写在前面；(2)当因数是 1 或 － 1 时，“1”常省略不写；(3)带分数与字母相乘时要将带分数化成假分数；(4)除法运算要写成分数形式，除号改为分数线；(5)若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应用小括号括起来 .
填空： (1)买单价为 6 元的钢笔 a 支，共需_____元；(2) 一台电视机的标价为 a 元，则打七 折后的售价为______元；(3) 温度由 30 ℃下降 t ℃后是 _______℃.(4)大圆的半径为 R cm，小圆的半径为 r cm，则圆环的面积是__________ cm2.
解题秘方：用字母表示数量关系与用具体数表示数量关系类似 .
1-1. [ 模拟· 临沂 ] 雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张 20 元，儿童票每张 10 元．若购买 m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 __________元．
[母题 教材 P78 随堂练习T2 ]填空：(1)若 m 为整数， 则 2m 为______数， 2m－1为______数；(填“奇”或“偶”)(2)三个连续偶数，若中间一个数为 2n，则其余两个数分别为 ______________；(3) 若 k 为整数，以被 4 除作为分类标准，则 整数 可 分为 _________________________ 4 类 .(4)若一个两位数，其个位数字为 a，十位数字为 b，则这个两位数为_______ .
4k、 4k+1、 4k+2、 4k+3
解题秘方：扣住各类数的特征，用字母表示这些特征数 .
2-1. x 表示一个两位数，把 6 写到 x 的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是(     )A.6x B.10x+6C.100x+6 D.600+x
用字母表示运算律、公式
素养点拨用字母表示运算律、公式是对现实世界或数学问题中数量关系的抽象，是从具体问题中概括的一般结论.
[母题 教材 P78 随堂练习 T1(2)] 如图 3.1-1，有一块长为 18 m，宽为 10 m 的长方形土地，现将三面留出宽都是 x(0”“ =”，不是代数式；③④⑤⑥均符合代数式的定义，是代数式 .
解：②③④⑤是代数式，①⑥不是代数式．
[母题 教材 P82 习题 T1(1)(2)]用代数式表示：(1) a 的平方与 b 的 2 倍的差；(2)m 与 n 的和的平方与 m 与 n 的积的和；(3) x 的 2 倍的三分之一与y的一半的差；(4)比 a 除以 b 的商的 2 倍小 4 的数 .
(m+n) 2+mn.
解题秘方：紧扣题目中的数量关系，弄清运算顺序，用题目中的字母和数表示出数量关系 .
某市的出租车收费标准是：乘车里程不超过 3 千米的，收起步价加出租车燃油附加费，共 8 元；乘车里程超过3 千米的，除了照收 8 元以外，超过部分每千米加收 1.5 元(不足 1 千米按 1 千米算) .(1) 若某人的乘车里程为 15 千米，则他应支付多少元？(2) 若某人的乘车里程为 x(x>3，且 x 为整数) 千米，用含 x的式子表示他应支付的费用 .
(1) 若某人的乘车里程为 15 千米，则他应支付多少元？(2) 若某人的乘车里程为 x(x>3，且 x 为整数) 千米，用含 x的式子表示他应支付的费用 .
解题秘方：紧扣实际问题中各个量之间的数量关系列代数式.
解：他应支付8+(15－3)× 1.5=26(元) .
他应支付的费用为8+[1.5(x－3) ] (元) .
方法点拨：用代数式表示实际问题中的数量关系时，应注意式子中字母的取值并不是任意的 . 字母的取值首先要使式子本身有意义，其次要使实际问题有意义 .
6-1.郑开马拉松于2024 年 3 月 31 日鸣枪开跑，某同学参加了 5 公里欢乐跑项目，他从 起点开 始以平均每分钟 x 公里的速度跑了 10 分钟，此时他离欢乐跑终点的路 程为________ 公里．(用含 x 的代数式表示)
1. 代数式的值  一般地，用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫作代数式的值 .
2. 求代数式的值的一般步骤(1) 代入： 用指定的字母的数值代替代数式里的字母，其他的运算符号和原来的数都不能改变；(2) 计算： 按照代数式指明的运算，根据有理数的运算法则进行计算 .
特别提醒代入数值时应注意：1.字母用负数代替时，要给它添上括号；2.乘方运算中，底数的字母用负数或分数代替时，要添上括号；3.字母用数代替时，中间要用“x”号连接，如代数式 3a 中的 a用2代替时，3和2之间“x”号连接 ..
3. 一般地，代数式的值不是固定不变的，它随着代数式中字母取值的变化而变化 .
当 a=2， b=－1 时，求下列含字母的式子的值： (1)(a－b) 2；(2)(a+b)(a－b) ；
解：当 a=2， b=－1 时，(a－b) 2=［ 2－(－1)］2=32=9.
解题秘方：把 a、 b 的值直接代入式子中求值 .
当 a=2， b=－1 时，(a+b)(a－b) =［ 2+(－1）］ ×［ 2－(－1)］ =1× 3=3.
(3)( a+b) 2.
当 a=2， b=－1 时，( a+b) 2=[2+(－1) ] 2=1 2=1.
7-1.已知 | a|=5， |b|=3，且 |a－b|=b－a，则 b－2a=_________ .
3. 整式    单项式和多项式统称整式 .4. 代数式、整式、单项式、多项式之间的关系其关系如图 3.1-2 所示 . 整式是代数式的一种类型 .
特别解读1.单项式是整式.2.多项式是整式.3.多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念.4.如果一个式子既不是单项式又不是多项式，那么它一定不是整式.
解题秘方：利用单项式及多项式的概念识别整式中的单项式和多项式.
方法点拨：判断一个式子是单项式还是多项式的方法：首先判断它是不是整式，若分母中含字母，则一定不是整式，也不可能是单项式或多项式 . 单项式与多项式的区别在于是否含有加减运算，整式中一般含加减运算的是多项式，不含加减运算的是单项式 .
2. 单项式的次数： 一个单项式 中， 所有字母的指数和叫作这个单项式的次数，如 － 5x 2y3z 的次数是 2+3+1=6.
特别提醒(1)若单项式中的某个字母没有写指数，则这个字母的指数是 1，而不是 0，如 x 的指数是1；(2)单独一个非零常数的次数为 0，如 3 的次数是0.
已知 2kx2yn是关于 x、 y 的一个单项式，且系数是 7，次数是 5，那么 k=______， n= ______.
解题秘方：根据单项式的次数和系数的确定方法求值.
9-2.已知(a － 1) x2ya+1是关于 x， y 的五次单项式，则这个单项式的系数是(     )A.1 B.2C.3 D.0
1. 多项式的项： 在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项 .2. 多项式的次数： 一个多项式中， 次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数 .
3. 多项式的项数： 多项式中单项式的个数叫作多项式的项数，例如， x2－3x+2 的项数是 3，项分别为 x2， －3x，2；2a2+3b－1的项数是 3，项分别为 2a2，3b， －1.几次几项式
一个多项式最高次项的次数是几、含有几项就叫几次几项式，如 －3x2+x－6 的项分别是 －3x2， x， －6，共三项，最高次项的次数是 2，所以 －3x2+x － 6 是二次三项式，注意这里的“二”“三”不要用阿拉伯数字 .
特别提醒单项式与多项式的次数确定方法不一样，二者不能混淆.多项式的每一项都是单项式且每一项都包括它前面的符号，特别注意项的符号为负号时，一定不要漏掉该项的符号.
解题秘方：利用多项式的项和次数的概念进行辨析 .
10-1.如果多项式xn－2－3x+2 是关于 x 的三次三项式，那么 n 等于( )A.3 B.4 C.5 D.6
已知关于 x 的多项式 3x4－ (m+5) x3+(n－1) x2－5x+3 不含 x3项和 x2项，求 m， n 的值 .
解题秘方：根据多项式中不含某项的特征，结合相关概念，求出待定字母的值.
解：因为关于 x 的多项式 3x 4－(m+5) x 3+(n－1) x 2－5x+3 不含 x3 项和 x2 项，所以 － (m+5) =0， n－1=0，即 m=－5， n=1.
不含某一项，说明这一项的系数为 0