人教版（2024）八年级上册（2024）13.3.1 三角形的内角教案

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）13.3.1 三角形的内角教案，共18页。教案主要包含了三角形内角和等于180°，三角形内角和定理的验证，三角形外角和等内容，欢迎下载使用。
分课时教学设计
13.3.1三角形内角和
课型
新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
三角形内角和定理是八年级上册第十一章的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础.它从“角”的角度刻画了三角形的特征.三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时说明了证明的必要性.
三角形内角和定理的证明以平行线的相关知识为基础.定理的验证方法从剪拼图的实验活动中获得添加辅助线的思路和方法，定理的证明思路是不同位置的三个内角转化为平角或同旁内角.
学习者分析
学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生认识了三角形掌握了平行线的性质、判定等知识的基础上展开的，因此，学生具有良好的知识基础.
教学目标
1．探索并掌握三角形内角和定理
2．会用三角形内角和进行角度的计算
3．能证明三角形的内角和定理及其推论
4.能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题。
教学重点
三角形的内角和定理及其运用.
教学难点
三角形内角和定理的推理过程
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：引入新课
教师活动1：
在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？
这些操作都是存在一定的误差，怎样才能准确地得到三角形内角和的度数呢？
学生活动1：
学生思考，回答问题
度量
剪拼
折叠
活动意图说明：设置疑问，巧设悬念，激发起学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率
环节二：新知探究
教师活动2：
如何通过推理的方法证明：任意一个三角形的内角和一定等于180°？
直线l与△ABC的边BC有什么关系？
由此，你能想出证明方法吗？
你能写出证明过程吗？
学生活动2：
学生动手操作、同桌合作，由于学生剪拼角的位置不同，可能会出现多种剪拼方法，但通过分析，都可以归纳为剪下的两个角拼在第三个角的同侧或异侧。

活动意图说明：通过动手操作，使学生从中体验学习数学的乐趣.从丰富的拼图活动中发展数学思维的灵活性，创造性。对比剪拼的探索过程，让学生发现实验观测得到的结果有误差，而且不能进行一一验证，进一步让学生了解到证明的必要性。而剪拼活动的开展，也为下一步利用推理证明三角形内角和定理提供思路和方法。
环节三：新知讲解
教师活动3：
从剪拼过程中得到启示，发现三角形内角和证法一：
证明：过点A 作直线l ，使l ∥BC
∵ l ∥BC ，
∴∠1 = ∠B，∠2 = ∠C
（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）
∴∠3+∠B+∠C=180°（等量代换）
在前面剪拼的时候，我们发现还可以将两个角拼接到第三个角的同侧，你能不能从这种方法中得到启示，类比证法一，完成证法二？
证法二：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠3=180°.
归纳：
三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°
即 ∠A+∠B+∠C=180°
几何语言：
∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)
学生活动3：
学生通过观察与思考，在老师的引导下，完成三角形内角和定理证法一，并规范书写。
学生完成证法二。
学生完成学案，规范书写格式
活动意图说明：通过问题引导，找到证明的切入点，有意识地培养学生的逻辑推理能力、语言表达能力以及一题多解的创新精神，让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中渗透初中阶段一个重要数学思想――转化思想，为学好初中数学打下坚实的基础。
环节四：典例精析
教师活动4：
例1.如图，△ABC中，∠B=62°，∠C=55°，DE//BA，求∠DEC等于多少度?
例2.如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？
学生活动4：
学生独立完成，规范书写格式。
解：由∠BAC=40°, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD=12∠BAC=20°.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
解：∠CAB=∠BAD-∠CAD
=80°-50°=30°
由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°
所以 ∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°
在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30°=90°
活动意图说明：通过例题学习，使学生能够灵活运用三角形内角和定理来解决问题，达到活用知识的目的。既巩固了三角形内角和定理，又规范了几何书写。通过练习也可以反馈学生知识掌握的情况。
环节五：新知讲解
教师活动5：
你能把下列推理补充完整吗？
如图，在△ABC中，
∠A +∠B +∠C =_____( )
∵ ∠C = 90°( )
∴ ∠A +∠B =_____
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC.
定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°.
学生活动5：
学生思考并回答
180° 三角形内角和180°
已知， 90°
学生归纳直角三角形的性质，并注意书写规范
活动意图说明：根据已有知识来得到直角三角形的两个内角之间的数量关系，让学生体会知识之间的内在联系，学会用旧知引发新知生成。
环节六：典例精析
教师活动6：
例3、如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？
学生活动6：
学生独立完成，规范书写格式。
解：∠CAE=∠DBE，理由如下：
在Rt△ACE中，
∠CAE=90°-∠AEC.
在Rt△BDE中,
∠DBE=90°-∠BED
∵ ∠AEC=∠BED，
∴ ∠CAE=∠DBE.
活动意图说明：通过例题学习，使学生能够灵活运用直角三角形性质来解决问题，达到活用知识的目的。既巩固了直角三角形性质，又规范了几何书写。通过练习也可以反馈学生知识掌握的情况。
环节七：新知讲解
教师活动7：
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗?请你说说理由.
问题：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
归纳总结
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
几何语言：
在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形.
学生活动7：
学生思考，回答问题
解： △ABC是Rt△，理由如下：
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°
∴△ABC是直角三角形.
学生归纳总结直角三角形的判定
活动意图说明：根据已有知识来得到直角三角形的判定方法，让学生体会知识之间的内在联系，学会用旧知引发新知生成。
板书设计
一、三角形内角和等于180°
二、三角形内角和定理的验证
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图，点B、C、D在同一直线上，AB∥CE，若∠A＝55°，∠ACB＝65°，则∠1的值为（ ）
A．80°B．65°C．60°D．55°
2.如图四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处，若∠1=∠2=44°，则∠B为( )．
A．66° B．104°C．114° D．124°
3.如图，在△ABC 中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的度数为_________.
4.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______.
选做题：
5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F．
(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
(2)试说明：∠AEF＝∠AFE．
6.如图，BD∥EF ,AE与BD交于C,∠B=36°,∠A=72°,∠DEF=13∠CEF,
判断AB与DE是否平行，并说明理由．
【综合拓展类作业】
7.如图所示，有一个三角尺DEF(足够大),其中∠EDF=90°,把直角三角尺DEF放置在锐角△ABC上,三角尺DEF的两边DE,DF恰好分别经过点B，C．
(1)若∠A=35°，则∠ABC+∠ACB=_______°，∠DBC+∠DCB= ________°，∠ABD+∠ACD=_________°；
(2)若∠A=60°，求∠ABD+∠ACD的度数；
(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系，并说明理由．
课堂总结
直角三角形的两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.已知Rt△ABC的一个锐角为25°,则另一个锐角为______.
2.三角形的两个锐角分别为35°和55°，则它是_____三角形.
3.已知等腰三角形的顶角是底角的2倍，则这个三角形的顶角为_____，它是____________三角形.
4.如图，已知∠1=20°，∠2=25°,∠A=35°，则∠BDC为______.
选做题：
5.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1:2，则这个等腰三角形的顶角为___________.
6.在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°,则∠A=____.
【综合拓展类作业】
7.如图，在△ABC中,CD为∠ACB的角平分线，DE∥BC,∠A=65°,∠B=35°,求∠EDC的度数．
教学反思
本节课设置疑问，巧设悬念，激发起学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率.然后让学生自主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想.在教学中，教师通过必要的提示指明了学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时，教师注意让学生上台演示自己的操作活动和说明自己的想法，这样更有助于学生接受三角形的内角和是180°这一结论. 证明直角三角形两锐角互余这个定理并不难，教学中应该加强学生应用三角形内角和定理、直角三角形两内角互余定理解诀一些简单的实际间题的能力.
第五课时《13.3.2三角形外角》教学设计
课型
新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本节课内容是在学生学习三角形的内角和的相关知识后进行学习的。三角形的内角和外角互为邻补角，本节课研究三角形的外角概念、性质和性质的应用，是对三角形认识的扩展和深化。
学习者分析
八年级学生已经学习了三角形及边、角概念，三角形有关线段，三角形内角和等知识，初步掌握了简单的逻辑推理，能在教师的启发下独立解决一些简单问题。
教学目标
1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出外角.
2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和．
3.会利用三角形的外角性质解决有关问题
教学重点
证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
教学难点
运用外角的性质解决简单问题。
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：引入新课
教师活动1：
发现懒羊羊独自在O处游玩后,灰太狼打算用迂回的方式,先从A前进到C处,然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路,红太狼则直接在A处拦截懒羊羊,已知∠BAC=40º,∠ABC=70º灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
利用“三角形的内角和为180º”来求∠BCD,你会吗?
【思考】像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
学生活动1：
学生思考，回答问题
由三角形内角和得∠BCA=180-∠A-∠CBA=70º，
∴∠BCD=180º-∠BCA=110º.
活动意图说明：通过创设足球射门情境，来激发学生学习热情，为新知学习做好铺垫。
环节二：新知探究
教师活动2：
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
画一个△ABC，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试. 同时想一想外角与相邻内角有什么特殊关系？
1.每个外角是相邻内角的邻补角；
2.每一个顶点相对应的外角都有２个；
3.每一个三角形都有６个外角.
三角形的外角具备什么特征？
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一条边；
③另外一条边是三角形某条边的延长线.
学生活动2：
学生动手操作、同桌合作，由于学生剪拼角的位置不同，可能会出现多种剪拼方法，但通过分析，都可以归纳为剪下的两个角拼在第三个角的同侧或异侧。
学生动手操作，试着回答问题
学生思考并回答

活动意图说明：通过辨析外角的定义，从而引导学生发现外角的个数。通过设置问题链的方式，由浅入深。
环节三：新知讲解
教师活动3：
如图，△ABC中，∠ACD与∠ABC有怎样的位置关系？∠ACD与∠ABC有怎样的数量关系？

如图，在△ABC 中，∠A =75°，∠B =40°，∠ACD等于多少度呢？你能猜想出∠ACD 与∠A，∠B 有怎样的关系吗？请于你的同伴进行谈论。
任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
已知：如图，△ABC，
求证：∠ACD=∠A+∠B.
归纳总结：
三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD =∠A +∠B.
如图①,试比较∠2、∠1的大小；
如图②,试比较∠3、∠2、∠1的大小.
你能得出什么结论？
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
学生活动3：
教师引导学生弄清位置关系与数量关系的区别。学生回答：位置关系：相邻；数量关系：互补。
学生独立解答，计算出∠ACD=115°
学生猜想并与小组为单位进行谈论，完成请小组代表来黑板进行展示
∠ACD=∠A+∠B。
学生证明此题，注意书写规范
由三角形的内角和可知
∠A+∠B+∠ACB=180°
由邻补角的定义可知
∠BCD +∠ACB=180°
∴∠BCD =∠A+∠B .
学生观察图，试着比较大小
(1)解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
(2) 解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
学生总结
活动意图说明：通过小组合作的方式培养学生的团队合作意识；通过具体实例引导学生猜想出三角形外角与内角之间的关系，并要求学生证明，培养学生做事有理有据的习惯；要求学生多种方式解决问题，培养学生的发散思维。
环节四：典例精析
教师活动4：
例1.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
归纳：三角形的外角和是360°
学生活动4：
有思路的同学独立解答，没有思路的同学小组讨论。并请一位同学汇报结果。
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角和，得
∠BAE=∠2+∠3，
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠1+∠2
所以 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3) ,
由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=
2×180°=360°.
活动意图说明：类比于旧知的学习过程，让学生知道新知应该从哪些方面就行研究，培养学生的逻辑思维能力。通过规范学生的书写过程，使学生意识到学习数学需要有严谨的态度。更进一步培养学生做事有理有据的习惯。
板书设计
一、三角形内角定义
二、三角形内角的性质
三、三角形外角和
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图,AB∥CD,∠A＝37º,∠C＝63º，那么∠F等于( )
A.26º B.63º C.37º D.60º
2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为( )
A.62° B.68° C.37° D.60°
3.如图，CE⊥AF于E，若∠F=40°，∠C=50°，则∠DBC=_____.
4.如图，AB//CD，∠A=38°，∠C=80°，则∠M=_____.
选做题：
5.如图所示，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC=∠B+2∠E.
6.如图，在五角星的图中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
【综合拓展类作业】
7.如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数．
课堂总结
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.三角形的三个内角之比分别是1:2:3，则此三角形的最大外角为______度.
2.等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_________.
3.(1)如图，∠BDC 是_______的外角，也是 的外角；
(2)若∠B = 45°， ∠BAE = 36°， ∠BCE = 20°，则∠AEC 的度数为 .
选做题：
4.如图,D是△ABC的BC边上,∠B=∠BAD,∠ADC=80º,∠BAC=70º,
求：(1)∠B 的度数；(2)∠C的度数.
【综合拓展类作业】
5.如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线,BD、CD交于D，试探索∠A与∠D的关系.
教学反思
本节的知识内容很突出，要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，应让学生自主探索，利用多种方法进行研究. 同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力. 在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究、发现和创新能力.