【数学】贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期12月期末统考试题（解析版）

这是一份【数学】贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期12月期末统考试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 过点和点的直线的斜率为（ ）
A. 7B. C. D. 3
【答案】B
【解析】由题意，直线的斜率.
故选：B.
2. 英文单词mang所有字母组成的集合记为，英文单词banana所有字母组成的集合记为，则的元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
【答案】B
【解析】因为，所以.
故选：B.
3. 复数的模为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】.
所以复数的模为.
故选：D.
4. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的图象向右平移个单位后，
得到的图象，
所以.
故选：A.
5. 青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（ ）
A. 立方米B. 立方米
C. 立方米D. 立方米
【答案】B
【解析】由题意可知，圆柱的底面半径和高均为米，且半球的半径为米，
因此，此鼎的容积为立方米.
故选：B.
6. 设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A. 20B. 24C. 18D. 28
【答案】B
【解析】由已知可得，，，
所以，
根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设Ax0,y0，.
且，
当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点，.
故选：B.
7. 已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（ ）
A. 12B. C. D.
【答案】D
【解析】因为四点共面，所以共面，
则存在唯一实数对，使得，
即，
所以，解得，所以，
向量在上的投影向量的模即为向量在上的投影长度，
所以向量在上的投影向量的模为.
故选：D.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，位于第一象限的为该双曲线的一条渐近线上一点，直线为该双曲线的左支上一点，若的周长的最小值为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题，渐近线的方程为，
则点到渐近线的距离，

则由题，
由双曲线的定义，所以，
所以的周长为，
当且仅当三点共线时等号成立，
又的周长的最小值为，
所以，所以，
所以该双曲线的离心率.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知点在圆的外部，则的值可能为（ ）
A. 0B. 4C. 2D.
【答案】ABD
【解析】化为，
所以圆心半径，
在圆的外部，
所以，解得或，
综上所述，的取值范围是.
因为，
故选：ABD.
10. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为3，且，则（ ）

A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
【答案】ACD
【解析】因为O0,0,0，，，，，
，
则，则，故选项A正确；
因为，
所以，故选项B错误；
因为，， ，
所以，故选项C正确；
因为，
所以，
，
点到直线的距离为，
故选项D正确
故选：ACD.
11. 已知定义在上的函数不是奇函数，且，则（ ）
A.
B.
C. 的解析式可以是
D. 的解析式可以是
【答案】BCD
【解析】对于A，因为函数不是奇函数，且，
所以无法判断是否成立，故A错误；
对于B，因为函数不是奇函数，所以，故B正确；
对于C，假设，则，
即，解得，所以，
又，所以函数不是奇函数，
所以的解析式可以是，故C正确；
对于D，假设，
因为，所以函数不是奇函数，
又因为，则，
所以的解析式可以是，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线与直线平行，则________．
【答案】
【解析】因为直线与直线平行，
所以，解得，
经检验，符合题意，所以.
13. 随机敲击电脑键盘上的1，2，3这三个数字键两次（每次只敲击其中一个数字键），得到的两个数字恰好都是奇数的概率为________．
【答案】
【解析】由题意，所有的结果有共种，
符合题意的有共种，
所有所求概率为.
14. 如图，正八面体的每条棱长均为与交于点为正八面体内部或表面上的动点.若，则的最小值为______.
【答案】
【解析】连接CE，由正八面体性质得两两互相垂直，故以O为坐标原点，
分别以所在直线为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
由正八面体的各棱长均为，根据正八面体的对称性，
可得，
则，
又，所以，，
设点，则，
因为，所以，
即，又，
所以
，
故当，，即时，取到最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 当为何值时，方程表示下列曲线：
（1）圆；
（2）椭圆；
（3）双曲线．
解：（1）因为方程表示圆，
所以，解得；
（2）因为方程表示椭圆
所以，解得且，
所以的范围为；
（3）因为方程表示双曲线，
所以，解得或.
16. 已知直线，圆．
（1）若，求直线被圆所截得的弦长；
（2）已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程．
解：（1）圆的圆心，半径，
，圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截得的弦长为；
（2）直线变形得，
令，则，所以直线过定点，
当直线斜率不存在时，方程为，
此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意；
当直线的斜率存在时，设方程为，即，
则圆心到切线的距离为，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述所求直线方程为或.
17. 如图，在四边形中，，且．
（1）求的长；
（2）求的长；
（3）求．
解：（1）因为
所以，
，即；
（2），且，
，
，
；
（3）
18. 如图，在三棱柱中，平面．
（1）证明：．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：平面，
平面，，
又，，平面，
平面，
又平面，；
（2）解：由（1）知平面，平面，，
以原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，
，
设平面的法向量为，
则，，
设平面的法向量为，
则，，
设平面与平面夹角为，
则.
19. 已知椭圆的长轴长为，且经过点．椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，且的离心率与的离心率相等，的短轴长与的长轴长相等．
（1）求椭圆与的标准方程．
（2）若为上的点，过点作的切线，设切点分别为，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）若（异于的左、右顶点）为椭圆上的点，直线与交于点，直线与交于点，求的值．
解：（1）对椭圆：因为椭圆长轴长为，所以，
又椭圆过点，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为：，
且离心率.
对椭圆：（）.
由，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）如图：
因为点在椭圆上，所以，
又因为，，所以过点向椭圆做的切线一定存在斜率，且不为0.
设切线方程为：，即，
代入椭圆的方程：，
得：，
整理得：.
由
整理得：，
化成.
设直线，斜率分别为，，
则.
所以直线，的斜率之积为定值.
（3）因为点是椭圆上异于左、右顶点、的点，
所以直线、的斜率存在且不为0，分别设为、.
则直线：，
由得：
.
设，则.
同理可得：.
所以.
由得：.
设，，则，.
所以，
所以.
同理，
所以.