经典奥数专题：数与形训练 （试题）数学五年级上册人教版（含解析）

这是一份经典奥数专题：数与形训练 （试题）数学五年级上册人教版（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如下图，淘气用小棒摆图形，他摆一个五边形用了5根小棒，摆2个五边形用了9根小棒……，照这样摆下去，摆n个五边形需要（ ）根小棒。
A．5nB．4nC．5n－1D．4n＋1
2．按下图的规律画下去，第4幅图中有（ ）个◇。
A．12B．13C．16
3．小华利用小圆片摆出了如下的图案，按照这样的规律摆下去，第7个图形中有（ ）个小圆片。
A．42B．49C．56D．63
4．如图所示的图形都是由同样大小的“○”按一定规律组成的，其中第1个图中有5个“○”，第2个图中有12个“○”，第3个图中有21个“○”，以此规律，则第8个图中有（ ）个“○”。
A．77B．84C．92D．96
5．像这样摆下去，n个梯形需要的小棒根数是（ ）根。
A．B．C．
6．玩一个搭积木游戏，所搭成的积木形状如下图所示。根据规律，搭第20次，一共需要积木（ ）个。
A．57B．60C．63D．40
7．观察下列各图，它们是按一定规律排列的。
根据规律，第n个图形中五角星的个数是（ ）。
A．4nB．4n＋1C．3n＋1D．3n＋4
8．淘气用小棒摆正方形，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用8根小棒。他像这样继续摆下去：□□□……如果用一句话概括摆出的正方形个数与小棒根数之间的关系，下面哪种说法比较合理？（ ）
A．摆3个正方形用了12根小棒B．摆很多正方形用了很多根小棒
C．摆a个正方形用了b根小棒D．摆n个正方形用了4n根小棒
二、填空题
9．用小棒按照如下方式摆图形。
根据上面的摆放规律填表。
10．壮壮按照下图的方法用黑色和白色正方形摆图形。

当中间摆a个黑色的正方形时，四周共需要摆( )个白色正方形。
11．第9幅图中有( )个，第81幅图中有( )个。
12．阳阳在桌面上用小正方体按下图方式摆放。请找规律并填空。
13．生活中，我们经常把一些同样大小的圆柱捆扎起来。当圆柱管的放置方式是“单层平放”时，捆扎后的横截面如图所示：
……
假设每个圆柱管的横截面直径都是10厘米，捆扎一圈需要多长绳子呢？请你完成下面的表格。（结果可以保留）
14．观察下面每个图中圆的排列规律，再填空。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝( )＝( )×( )。
三、解答题
15．
（1）找规律，在横线上画出第四幅图。
（2）第12幅图中有（ ）个○，有（ ）个●。
16．淘气和笑笑用小棒按下图的顺序摆八边形。

（1）根据上图填表。
（2）如果摆成7个八边形，需要（ ）根小棒。
（3）当n＝20时，需要多少根小棒？用85根小棒能摆多少个八边形？
17．餐桌中的规律。
（1）根据摆放规律完成
（2）按照上面的摆放规律，28人聚餐，应摆放多少张桌子？
18．摆平行四边形。
（1）按照上面的方式摆平行四边形，完成表格。
（2）你发现了什么规律？
（3）像这样摆10个平行四边形需要多少根小棒？
（4）若接着摆下去，一共用了58根小棒，你知道摆了多少个平行四边吗？
19．下图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的。仔细观察后，请回答。
（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？
（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？
20．将小正方体按下图方式摆放在地上。
如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有多少个？如果露在外面的面是129个，那是有几个正方体如上图摆放？
参考答案：
1．D
【分析】看图，每多摆一个五边形，需要再加4根小棒。摆一个五边形需要1＋4×1＝5（根）小棒，摆2个五边形需要1＋4×2＝9（根）小棒，摆3个五边形需要1＋4×3＝13（根）小棒，那么可以推测，摆n个五边形需要（1＋4n）根小棒。
【详解】1＋4×n＝4n＋1
所以，照这样摆下去，摆n个五边形需要（4n＋1）根小棒。
故答案为：D
【点睛】本题考查了图形的变化规律，有一定观察总结能力是解题的关键。
2．B
【分析】观察可知：第1幅图有4个◇，第2幅图有7个◇，第3幅图有10个◇，发现往后每幅图都比前一幅多3个◇，因此第4幅图有13个◇，据此选择即可。
【详解】由分析可知：
4＋3＝7
7＋3＝10
10＋3＝13
所以第4幅图中有13个◇。
故答案为：B
【点睛】通过观察掌握图形的变化规律，并据此规律解题。
3．B
【分析】分析题目，第1个图形有1×1＝1（个）小圆片，第2个图形有2×2＝4（个）小圆片，第3个图形有3×3＝9（个）小圆片……则第n个图形有n×n＝n2（个）小圆片，据此解答。
【详解】7×7＝49（个）
第7个图形中有49个小圆片。
故答案为：B
【点睛】根据给出的图形总结出小圆片的个数和图形的个数之间的规律是解答本题的关键。
4．D
【分析】第一个图形是5个○，可以写成：1×（4＋1）；第二个图形是12个○，可以写成2×（4＋2），第三个图形是21个○，可写成3×（4＋3），由此可知，第n个图形是n×（4＋n）个○，由此求出当n＝8时，代入式子求解。
【详解】根据分析可知，第n图形中有○的个数：n×（4＋n）个○。
当n＝8时：8×（4＋8）
＝8×12
＝96（个）
如图所示的图形都是由同样大小的“○”按一定规律组成的，其中第1个图中有5个“○”，第2个图中有12个“○”，第3个图中有21个“○”，以此规律，则第8个图中96个“○”。
故答案为：D
【点睛】本题考查图形变化规律，根据题意，确定变化规律是解答本题的关键。
5．A
【分析】摆1个梯形需要4根小棒，摆2个梯形需要（4＋3）根小棒，摆3个梯形需要（4＋3×2）根小棒，摆4个梯形需要（4＋3×3）根小棒……每增加一个梯形增加3根小棒，摆n个梯形需要[4＋3×（n－1）]根小棒，据此解答。
【详解】分析可知，摆n个梯形需要小棒的数量为：4＋3×（n－1）
＝4＋3n－3
＝（3n＋1）根
所以，摆n个梯形需要（3n＋1）根小棒。
故答案为：A
【点睛】分析图形找出梯形个数与小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
6．B
【分析】第1次需要3个积木；第2次需要（3＋3）个积木；第3次需要（3＋3×2）个积木；第4次需要（3＋3×3）个积木……每次增加3个积木，那么第n次需要[3＋3×（n－1）]个积木，求出n＝20时式子的值即可。
【详解】分析可知，搭第n次需要积木的个数为：3＋3×（n－1）
＝3＋3n－3
＝3n（个）
当n＝20时，3n＝3×20＝60（个）
故答案为：B
【点睛】找出搭积木次数和需要积木个数的变化规律是解答题目的关键。
7．C
【分析】设第n个图形中五角星的个数为（n为正整数），根据各图形中五角星个数的变化，可找出变化规律“（n为正整数）”是解题的关键。
【详解】设第n个图形中五角星的个数为（n为正整数）。
观察图形可知：，，，，……
所以（n为正整数）。
故答案为：C
【点睛】根据各图形中五角星个数的变化找出变化规律是解题的关键。
8．D
【分析】根据“摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用8根小棒”可知，如果像这样继续摆下去，我们发现：所用小棒的根数是摆出的正方形个数的4倍，所以可以用“摆n个正方形用了4n根小棒”这句话概括摆出的正方形个数与小棒根数之间的关系。
【详解】根据分析可知，可以用“摆n个正方形用了4n根小棒”这句话概括摆出的正方形个数与小棒根数之间的关系。
故答案为：D
【点睛】要明确，每摆一个正方形用4根小棒，那么所用小棒的根数是摆出的正方形个数的4倍。
9．见详解
【分析】根据图示发现：摆1个八边形需要小棒：8根；摆2个八边形需要小棒（8＋7）根；摆3个八边形需要小棒（8＋7＋7）根；……摆n个八边形需要小棒的根数是8＋7（n－1）。据此解答。
【详解】摆1个八边形需要小棒：8根；
摆2个八边形需要小棒：8＋7＝15（根）
摆3个八边形需要小棒：8＋7＋7＝22（根）
摆4个八边形需要小棒：8＋7＋7＋7＝29（根）
摆n个八边形需要小棒：
8＋7（n－1）
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
如下表：
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
10．6＋2a
【分析】观察图形可发现，当中间摆1个黑色的正方形时，四周共需要摆8个白色正方形，中间摆2个黑色时，四周摆10个白色，中间摆3个黑色时，四周需要摆12个白色，可发现规律：中间一行只有2个白色正方形，剩下两行中每行的白色正方形的个数都等于黑色正方形的个数加2，再乘2即可求出上下两行白色正方形的个数，然后再加上黑色正方形左右的两个白色正方形，即当中间摆a个黑色的正方形时，四周共需要摆2（a＋2）＋2＝（6＋2a）个白色正方形。
【详解】2（a＋2）＋2＝2a＋2×2＋2＝2a＋4＋2＝（6＋2a）个
则当中间摆a个黑色的正方形时，四周共需要摆（6＋2a）个白色正方形。
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
11． 28 244
【分析】观察图形可知：
第1幅图中有4个，4＝3×1＋1；
第2幅图中有7个，7＝3×2＋1；
第3幅图中有10个，10＝3×3＋1；
……
规律：第n幅图中有（3n＋1）个。
按此规律解答。
【详解】规律：第n幅图中有（3n＋1）个。
当n＝9时
3n＋1
＝3×9＋1
＝27＋1
＝28（个）
当n＝81时
3n＋1
＝3×81＋1
＝243＋1
＝244（个）
第9幅图中有28个，第81幅图中有244个。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
12． 11 14 3n＋2
【分析】观察可知，露出的面数＝正方体个数×3＋2，据此分析。
【详解】3×3＋2
＝9＋2
＝11（个）
4×3＋2
＝12＋2
＝14（个）
n×3＋2＝（3n＋2）个
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
13．10＋60；10＋180；10＋20n－20
【分析】1个圆柱体时，绳子的长度就是底面圆的周长；
2个圆柱体时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（2－1）×2个圆的直径；
3个圆柱体时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（3－1）×2个圆的直径；
以此类推，每增加一个圆柱，就增加2个圆的直径，第n个圆柱，绳子长度为：一个底面圆的周长加上（n－1）×2个圆的直径，再根据圆的周长公式：C＝d据此答题即可。
【详解】由分析可得：
4个圆柱时绳子长度：
10＋（4－1）×2×10
＝10＋3×2×10
＝10＋6×10
＝（10＋60）厘米
10个圆柱时绳子长度：
10＋（10－1）×2×10
＝10＋9×2×10
＝10＋18×10
＝（10＋180）厘米
第n个圆柱绳子长度：
10＋（n－1）×2×10
＝10＋（n－1）×20
＝（10＋20n－20）厘米
【点睛】解决本题的关键是观察分析得到圆柱管的放置规律，以及圆周长的计算方法。
14． 49 7 7
【分析】第一幅图有1个圆，用1＝1×1表示；第二幅图有4个圆，由第一幅图加3个圆，用1＋3＝4＝2×2表示；第三幅图9个圆，由第二幅图加5个圆，用1＋3＋5＝9＝3×3表示……。由此可知，第n幅图有（n×n）个圆。根据加数的个数，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13是第7幅，有（7×7）个圆。
【详解】通过分析可得：第n幅图有（n×n）个圆，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13是第7幅，有（7×7）个圆。
则1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49＝7×7。
【点睛】本题考查数形结合问题。结合图形和算式，发现图形的序数与圆的个数之间的关系是解题的关键。
15．（1）见详解；
（2）52；144
【分析】（1）观察图形可知，第①幅图中一共有9个图形，表示为32，●有1个，表示为12；○有8个，表示为32－12；
第②幅图中一共有16个图形，表示为42，●有4个，表示为22；○有12个，表示为42－22；
第③幅图中一共有25个图形，表示为52，●有9个，表示为32；○有16个，表示为52－32；
由此可知，第n幅图●有n2，○有（n＋2）2－n2；第四幅图●有42＝16个，○有62－42＝20个，据此画出第④幅图；
（2）根据以上规律，第12幅图中，○个数有（12＋2）2－122个；●个数有122个，据此解答。
【详解】分析可知：
（1）
（2）○的个数：（12＋2）2－122
＝142－144
＝196－144
＝52（个）
●个数：122＝144（个）
第12幅图中有52个○，有144个●。
【点睛】本题主要考查数与形，关键是根据所给图形找出规律，并利用规律解答问题。
16．（1）见详解
（2）50
（3）141根；12个
【分析】（1）根据图分析，摆一个八边形用了8根小棒，摆两个八边形就多用了7根小棒，摆三个八边形就多了（7×2）根小棒，由此找到规律，据此填表；
（2）7个八边形，就是n＝7，将其代入规律计算即可；
（3）当n＝20时，将其代入规律计算即可；把85代入计算即可。
【详解】由分析可得：
（1）1个八边形小棒数量：8根
2个八边形小棒数量：
8＋7＝15（根）
3个八边形小棒数量：
8＋7×2
＝8＋14
＝22（根）
……
n个八边形小棒数量：
8＋7（n－1）
＝8＋7n－7
＝7n＋1
4个八边形，即n＝4，代入7n＋1：
7×4＋1
＝28＋1
＝29（根）
5个八边形，即n＝5，代入7n＋1：
7×5＋1
＝35＋1
＝36（根）
填表如下：
（2）7个八边形，就是n＝7，代入7n＋1
7×7＋1
＝49＋1
＝50（根）
如果摆成7个八边形，需要50根小棒。
（3）当n＝20时，代入7n＋1
7×20＋1
＝140＋1
＝141（根）
7n＋1＝85
7n＋1－1＝85－1
7n＝84
7n÷7＝84÷7
n＝12
答：当n＝20时，需要141根小棒，用85根小棒能摆12个八边形。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现图形个数的变化规律，再根据规律去解决问题。
17．（1）见详解
（2）12张
【分析】（1）观察上图找规律，每种摆法最左边都可坐2个人，最右边也可坐2个人，2＋2＝4（人），所以这4个位置固定不变，1张桌子可坐：4＋2×1＝6（人），每加一张桌子多坐2个人，2张桌子可坐：4＋2×2＝8（人），3张桌子可坐：4＋2×3＝10（人），4张桌子可坐：4＋2×4＝12（人）……，7张桌子可坐：4＋2×7＝18（人），n张桌子可坐：4＋2×n＝2n＋4（人），据此填写。
（2）由（1）可知，n张桌子可坐：4＋2×n＝2n＋4（人），按照上面的摆放规律，28人聚餐，所以2n＋4＝28，解出n的值即可。
【详解】由分析可知：
（1）
（2）2n＋4＝28
2n＋4－4＝28－4
2n＝24
2n÷2＝24÷2
n＝12
答：按照上面的摆放规律，28人聚餐，应摆放12张桌子。
【点睛】本题考查图形中的规律，根据上图规律找到n张桌子可坐的人数是关键。
18．（1）见详解
（2）每多一个平行四边形就多3根小棒。
（3）31根
（4）19个
【分析】（1）每摆一个平行四边形，需要增加3根小棒，所以2个平行四边形需要（4＋3）根，3个平行四边形需要（4＋3＋3）根，4个平行四边形需要（4＋3＋3＋3）根，据此答题；
（2）每多一个平行四边形就多3根小棒，据此写出规律；
（3）10个平行四边形，就是n＝10，据此代入上面求出的规律求值即可；
（4）58根小棒，据此代入上面求出的规律求值即可。
【详解】（1）第1个平行四边形小棒数量：4
第2个平行四边形小棒数量：4＋3＝7（根）
第3个平行四边形小棒数量：4＋3＋3＝10（根）
第4个平行四边形小棒数量：4＋3＋3＋3＝13（根）
填表如下：
（2）每多一个平行四边形就多3根小棒，可以写出规律：
4＋（n－1）×3
＝4＋3n－3
＝3n＋1
答：我发现了每多一个平行四边形就多3根小棒。
（3）10个平行四边形，也就是n＝10，代入3n＋1，得：
3×10＋1
＝30＋1
＝31（根）
答：像这样摆10个平行四边形需要31根小棒。
（4）一共用了58根小棒，即：
3n＋1＝58
3n＋1－1＝58－1
3n＝57
3n÷3＝57÷3
n＝19
答：摆了19个平行四边。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现小棒的变化规律，再根据规律去解决问题。
19．（1）9个
（2）25个
【分析】（1）根据图可知：第一个有1个三角形；1＝1×1；第二个有4个三角形，4＝2×2，底部是3个三角形；第三个有9个三角形，9＝3×3；底部有5个三角形；第四个有16个三角形；底部有7个三角形，由此可知后一个三角形的底部比前一个三角形的底部多了2个三角形。
（2）由于第n个图形就有n×n个三角形，则第五个图形的三角形的个数是：5×5，据此即可解答。
【详解】（1）由分析可知：
7＋2＝9（个）
答：五层的“宝塔”的最下层包含9个小三角形。
（2）5×5＝25（个）
整个五层“宝塔”一共包含25个小三角形。
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，关键是找准它的排列规律。
20．表格见详解；201个；32个
【分析】由题意可知，有1个小正方体露在外面的面数有5面，2个小正方体露在外面的面数有9个，3个小正方体露在外面的面数有13个，则有n个正方体，则露在外面的面有（4n＋1）个，据此解答即可。
【详解】当n＝4时
4n＋1＝4×4＋1
＝16＋1
＝17（个）
当n＝5时
4n＋1＝4×5＋1
＝20＋1
＝21（个）
当n＝6时
4n＋1＝4×6＋1
＝24＋1
＝25（个）
当n＝50时
4n＋1＝4×50＋1
＝200＋1
＝201（个）
解：设如果露在外面的面是129个，那是有x个正方体如上图摆放。
4n＋1＝129
4n＋1－1＝129－1
4n＝128
4n÷4＝128÷4
n＝32
则如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有201个，如果露在外面的面是129个，那是有32个正方体如上图摆放。
如图所示：
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
八边形个数
1
2
3
4
……
n
小棒根数
8
15
……
正方体个数\个
1
2
3
4
……
露出的面数\个
5
8
( )
( )
……
( )
圆柱管个数
1
2
3
4
…
10
…
n
绳子长度（厘米）
10
10＋20
10＋40
（ ）
…
（ ）
…
（ ）
八边形的数量
1
2
3
4
5
…
n
小棒的数量
8
15
22
（ ）
（ ）
…
（ ）
桌子张数
1
2
3
4
…
7
可坐人数
…
平行四边形个数
摆成的形状
小棒根数
1
4
2
（ ）
3
（ ）
4
（ ）
…
……
…
小正方体的个数
1
2
3
4
5
6
露在外面的面数
八边形个数
1
2
3
4
…
n
小棒根数
8
15
22
29
…
7n＋1
正方体个数\个
1
2
3
4
……
露出的面数\个
5
8
11
14
……
3n＋2
八边形的数量
1
2
3
4
5
…
n
小棒的数量
8
15
22
29
36
…
7n＋1
桌子张数
1
2
3
4
…
7
可坐人数
6
8
10
12
…
18
平行四边形个数
摆成的形状
小棒根数
1
4
2
7
3
10
4
13
…
……
…
小正方体的个数
1
2
3
4
5
6
露在外面的面数
5
9
13
17
21
25