经典奥数专题：数与形训练-数学六年级上册人教版（含解析）

这是一份经典奥数专题：数与形训练-数学六年级上册人教版（含解析），共18页。试卷主要包含了规定，如图摆放餐桌和椅子等内容，欢迎下载使用。

2．同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。
这两种方法都是求的阴影部分的面积，
因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。
仔细观察这个等式，想一想：是不是
任意两个数都具有这样的特征呢？
（1）请举2个例子验证：
①102－62＝（ ）×（ ） ②
（2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为：
a2－b2＝（ ）×（ ）
（3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（ ）
3．下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？
照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？
4．在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。
（1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释的算理。
（2）玲玲在解决“12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋342＋…”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。
①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。
②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝（ ）×（ ）
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（ ）×（ ）
③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是（ ）。
5．规定：如图1中，方格里的数表示在其周围8个方格中共有多少个△。即以“1”为中心，在它的四周8个方格中只能有1个△；以“2”为中心，在它的四周8个方格中只能有2个△；以“3”为中心，在它的四周8个方格中只能有3个△；依此类推。
按上述规定，在如图2中一共可以画12个△。现在已经画好了其中的2个，请你在合适的空格中补上其余的10个。
6．有一座四层楼房，每个窗户的4块玻璃分别涂上红色和白色，每个窗户代表一个数字，每层楼有三个窗户，由左向右表示一个三位数，四个楼层表示的三位数有：791、275、362、612。问：第二层楼表示哪个三位数？
7．观察下面点图与算式的关系，找到规律后解答问题。
（1）按点子增加的规律给第⑤个点图补画上9个点，并在（ ）里写出点的总数。
（2）根据上面图中点的总数的变化规律，第n个点图里一共有（ ）个点（用含有n的式子表示）。
8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．请写出第5个图形的算式．

4=1+3 9=3+6 16=6+10
9．将自然数1、2、3、…按下图排列，照样子用一个方框框出九个数，这九个数的和能否等于2015？1998？如果能，请写出框中的最大数与最小数。
10．如图摆放餐桌和椅子．
(1)1张餐桌可以坐6人，2张餐桌可以坐10，5张餐桌可以坐多少人？
(2)照此摆下去，x张桌子可以坐多少人？当x＝20时，可以坐多少人？
11．张林带着他心爱的小狗去外婆家．他步行的速度是每分钟80米，小狗以每分钟200米的速度奔向了外婆家．小狗过了8分钟到达外婆家后又立刻返回，路上遇见张林后它又返回奔向外婆家…… 就这样它不停来回跑．当张林到达外婆家时，小狗总共跑了多少米？
12．下面是由长为2cm、宽为lcm的长方形组成的图形．
（1）根据上图与数的规律想一想，第8个图形所对应的数是多少？
（2）第3个图形的周长是多少？第n个图形呢？
13．云星艺术团为联络方便，设计了一种联络方式．一旦有事，先由教练同时通知两位同学，这两位同学再分别同时通知另两名同学，依此类推，每人再同时通知两个人．每同时通知两人共需1分．（如下表）
①把左边的表格填完整．②用7分能把所有人都通知完，通知到的人数有几人？只列式，不计算：
14．小明用面积为1cm2的正方形卡纸拼摆图形．
（1）像这样拼下去，第（5）个图形要用多少张小正方形卡纸？
（2）如果要在第n个图形的外围用铁丝镶上一圈边框，至少需要多少厘米铁丝？
15．下图依次排列着5盏灯，用不同位置上亮灯和灭灯表示一个具体的数（亮灯用表示，灭灯用表示）。请根据下面前四种状况所表示的数，完成下列问题。
（1）写出图⑤表示的数。
（2）在图⑥中画出亮灯和灭灯的状况。
①1 ②3
③④1+9+81=91
⑤（ ） ⑥93
16．下图是由三角形构成的．
(1)填写下表．
(2)照这样的规律画下去，第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形？
17．如图两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，……那么，11条直线相交最多有多少个交点？
18．我们把分子为1的分数叫做单位分数。如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝，＝，＝，…
（1）根据对上述式子的观察，你会发现＝＋，请写出□，○所表示的数。
（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝＋，请写出△，☆所表示的式。
19．观察如图，要想得到200个直角三角形，应画多少个正方形？
……
20．社区公园要铺设一条人行走道，走道长80米，宽1.6米。现在用边长都是0.4米的红、黄两种正方形地砖铺设（下图是铺设的局部图示）。
（1）铺设这条人行走道一共需要多少块地砖？（不计损耗）
（2）铺设这条人行走道一共需要多少块红色地砖？（不计损耗）
21．在数学学习中，我们常常这样去探究：“观察——猜测——论证——应用。”学习加法结合律、三角形的内角和等知识时就是按这样的过程去探究的。
请你利用这种数学方法，来找找两个数的平方差中所蕴含的规律吧！
我有发现：观察下面的算式，找到规律后在括号里填上合适的数。
72－32＝（7＋3）×（7－3）＝10×4＝40
102－62＝（10＋6）×（10－6）＝16×4＝64
752－252＝（ ）×（ ）
我来猜测：两个数a和b的平方差有下面这样的规律。
a 2－b2＝（ ）×（ ）
我来验证：如下图，两个正方形的边长分别是a和b。请你用下面的图来证明上面的规律是正确的。
（1）选一选：a2表示（ ），b2表示（ ）。
A．大正方形的面积 B．小正方形的面积 C．大正方形的周长 D．小正方形的周长
（2）请你用斜线涂出a2－b2所表示的部分。
（3）请你用所学面积计算的知识来证明上面规律是正确的。
参考答案：
1．144米；32米
【分析】把绳子三折来量，井外余16米，也就是绳长比井深的3倍还多16×3＝48米；把绳子四折来量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多4×4＝16米。根据盈亏问题公式可知，井深为（48－16）÷（4－3）＝32米，则绳长为（32＋16）×3＝144米。
【详解】井深为：
（48－16）÷（4－3）
＝32÷1
＝32（米）
绳长为：
（32＋16）×3
＝48×3
＝144（米）
答：绳长为144米，井深为32米。
【点睛】本题为两次都有余的盈亏问题，公式为：（大盈－小盈）÷（两次分配的差）＝分配数量。
2．（1）①（10－6）×（10＋6）
②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）
（2）（a－b）×（a＋b）
（3）
【分析】已知在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，求剩余部分的面积（阴影部分的面积）；
方法1：阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，则阴影部分的面积列式为52－32；
方法2：把阴影部分转化成一个长（5＋3）厘米，宽（5－3）厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，则阴影部分的面积列式为（5－3）×（5＋3）；
由此得出52－32＝（5－3）×（5＋3）；
发现规律：两个数的平方差等于这两个数的差与这两个数的和的乘积，据此规律解答。
【详解】（1）①102－62＝100－36＝64
（10－6）×（10＋6）＝4×16＝64
所以，102－62＝（10－6）×（10＋6）
②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39
（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39
所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）
（答案不唯一）
（2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b）
（3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]
＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）
＝×××××
＝
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
3．绿色6个；蓝色18个；绿色10个；蓝色26个；见详解
【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8＝2×1＋6；
第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10＝2×2＋6；
第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12＝2×3＋6；
第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14＝2×4＋6；
……
规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形；据此解答。
【详解】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
当n＝6时，有6个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×6＋6
＝12＋6
＝18（个）
当n＝10时，有10个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×10＋6
＝20＋6
＝26（个）
答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。
道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
4．见详解
【分析】（1）先将长方形一分为二，取其中的一份，再将其一分为四，取其中的3份，据此表示的积；
（2）①看图，每次多加的正方形的边长是上两个多加正方形的边长的和，2＋3＝5，所以应多加一个边长为5的正方形，算式上多加一个52；
②每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，据此填空；
③根据①和②的规律，下个算式为：21×34，再下个算式是34×55，检验发现，34×55＝1870，据此填空。
【详解】（1）可表示为：
；
（2）①
②将算式补充完整：
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝5×8
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21
③有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是34×55。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。
5．见详解
【分析】根据题意，“1”的四周8个方格中只能有1个△；“2”的四周8个方格中只能有2个△；“3”的四周8个方格中只能有3个△，由此根据图中的两个三角形，进而画出其它的三角形。
【详解】如图：
【点睛】关键是根据题意得出规律，再由规律解决问题。
6．612
【分析】给出的四个数中362和612的个位数字相同，第二和第四层右边窗户符号也相同，可以肯定这两层分别代表362和612。这两个数中又有数字6是一样的，对照第二层和第四层的窗户，可以确定第二层代表612。
【详解】第二层代表612，因为362和612的个位数字相同，又有数字6是一样的，对照第二层和第四层的窗户，所以第二层代表612。
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是根据数字的特征找到图形规律。
7．（1）25；
（2）n2
【分析】观察发现，每一层的点的个数依次为1、3、5、7、9、11……，第5层点的数量是9个；观察每幅图点的数量的总和，第一幅图1个，可以表示为12，第二幅图4个，可以表示为22，第三幅图9个，可以表示为32，第四幅图16个，可以表示为42，依此类推。
【详解】（1）如图所示：
（个）
第⑤个点图总共有25个点。
（2）第n个点图里一共有n2个点。
【点睛】从1开始的连续的n个奇数相乘，结果可以表示为n2，概括为“天下无双，个数平方”。
8．36=15+21
【详解】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果 .
9．因为图中框出的九个数的和是中间数18的9倍，所以这样框出的数都是9的倍数．而2015不是9的倍数，所以框不出和等于2015的。1998是9的222倍，所以可以框出且中间一个就是222，最大的是230最小的是214。
【详解】略
10．(1)22人
(2)（4x＋2）人 82人
【详解】(1)5×4+2=22（人）答：5张餐桌可以坐22人．
(2)当x＝20时，4x＋2＝4×20+2=82（人） 答：可以坐82人．
11．200×8÷80×200＝4000（米）
【解析】略
12．（1）36
（2）18cm,6ncm
【解析】略
13．16 ； 2+4+8+16+32 ； 2+4+8+16+32+64+128
【详解】本题考查的是规律的探索与应用，从题目中的信息，可以看出，每过一分钟，通知到的同学都是前一分钟的2倍，由此可列出算式．
14．（1）16张；（2）(10+2n)厘米．
【详解】（1）由图可知：第（1）个图形的小正方形卡纸个数为3×3-1，第（2）个图形的个数为3×4-2，第（3）个图形的个数为3×5-3，像这样拼下去，第（5）个图形用3×7-5=16张小正方形卡纸．
（2）第n个图形周长=（3+2+n）×2=10+2n（厘米）
15．117；
【详解】略
16．(1)
(2) 45个 55个
【详解】(2)白色三角形：0＋1＋2＋…＋9＝45(个)
黑色三角形：1＋2＋3＋…＋10＝55(个)
17．55个
【分析】三条直线交点最多为1＋2＝3个；
四条直线交点最多为1＋2＋3＝6个；
五条直线交点最多为1＋2＋3＋4＝10个；
则11条直线交点最多为10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）。
【详解】10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）
【点睛】先从相交直线条数较少的开始分析，发现其一般规律，并应用到11条直线相交的情况中。
18．（1）□表示6；○表示30；
（2）△表示n＋1；☆表示n（n＋1）
【分析】（1）通过观察发现：＝中2＋1＝3，2×3＝6；＝中3＋1＝4，3×4＝12；＝中4＋1＝5，4×5＝20，依次类推得出＝＋；
（2）根据（1）的分析可知单位分数等于单位分数的分母加1分之一加单位分数的分母乘（单位分数的分母加1）分之一，据此解答。
【详解】（1）因为5＋1＝6，5×6＝30，所以＝，所以□表示6，○表示30；
（2）根据分析：单位分数（n是不小于2的正整数）＝＋，所以△表示n＋1，☆表示n（n＋1）。
【点睛】此题考查的是分数的变形，考查学生的观察力与思考能力。
19．51个
【分析】第1个正方体中有0个直角三角形；第2个正方体中有4个直角三角形；第3个正方体中有8个直角三角形；第4个正方体中有12个直角三角形。由此得出规律，三角形的个数都是4的倍数，然后得出假设第n个正方体，就有（n－1）×4个直角三角形。
【详解】根据图中的数据可得：1个正方形有0个三角形，可以写成（1－1）×4个；
2个正方形有4个三角形，可以写成（2－1）×4个；
3个正方形有8个三角形，可以写成（3－1）×4个；
4个正方形有12个三角形，可以写成（4－1）×4个；
所以当正方形的个数为a时，三角形的个数可以写成：（a－1）×4个；
设需要画a个正方形才得到200个直角三角形，则根据上面的结论可得：
（a－1）×4＝200
a－1＝200÷4
a－1＝50
a＝51
答：应画51个正方形。
【点睛】本题的关键是根据图形发现规律：第1个正方体就有0×4个直角三角形；第2个正方体就有（2－1）×4个直角三角形，然后以此类推。
20．（1）800块
（2）200块
【详解】（1）80×1.6÷（0.4×0.4）=800（块）
（2）800÷16×4=200（块）
21．＝；＝；△；☆；○；a；b；c；
75＋25；75－25；
a＋b；a－b；
（1）A；B；
（2）（3）见详解
【分析】加法结合律：三个数相加时，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，则（△＋☆）＋○也可以加小括号先计算（☆＋○），（a＋b）＋c也可以加小括号先计算（b＋c）；
两个数的平方差：由题意可知，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积；
（1）大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，正方形的面积＝边长×边长，则a2表示大正方形的面积，b2表示小正方形的面积；
（2）把大正方形里面除了小正方形以外的部分涂为斜线部分即可；
（3）如图所示，上面的小长方形放在大长方形的右侧，把不规则图形转化为基本图形，利用“长方形的面积＝长×宽”表示出阴影部分的面积，据此解答。
【详解】加法结合律：（△＋☆）＋○＝△＋（☆＋○），（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
两个数的平方差：752－252＝（75＋25）×（75－25）＝100×50＝5000
a 2－b2＝（a＋b）×（a－b）
（1）分析可知，a2表示大正方形的面积，b2表示小正方形的面积。
（2）分析可知：
（3）
由图可知，（2）中斜线部分的面积等于大长方形的面积，大长方形的长为（a＋b），大长方形的宽为（a－b）。
所以，斜线部分的面积＝（a＋b）×（a－b）＝a 2－b2。
【点睛】本题主要考查平方差公式的推导过程，用图形的面积推导公式的过程中把不规则图形的面积转化为基本图形是解答题目的关键。
序号
1
2
3
4
……
图形
……
算式
12＋12
12＋12＋22
12＋12＋22＋32
……
时间/分
示意图
通知到的同学数
1
2
2
2+4
3
2+4+8
4
略
2+4+8+
5
略

图号
①
②
③
④
白色三角形个数
黑色三角形个数
三角形的内角
画几个不同类型的三角形，量一量，算一算。三角形的3个内角的和各是多少度。
先把一个三角形的三个角剪下来，再拼一拼，看一看，拼成一个什么角。
比较下面的两组算式，你发现了什么？
（69＋176）＋28○69＋（176＋28）
155＋（145＋207）○（155＋145）＋207
你能用符号表示加法结合律吗？
（△＋☆）＋○＝____＋（____＋____）
（a＋b）＋c＝____＋（____＋____）
序号
1
2
3
4
……
图形
……
算式
12＋12
12＋12＋22
12＋12＋22＋32
12＋12＋22＋32＋52
……
图号
①
②
③
④
白色三角形个数
0
1
3
6
黑色三角形个数
1
3
6
10