2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高二（下）期末数学试卷（A卷）（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高二（下）期末数学试卷（A卷）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={−1,0,2}，B={x|x(x−1)=0}，则A∩B=( )
A. {0}B. {−1}C. {−1,0}D. {−1,0,2}
2.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4=4a3−4a2，则S4a1+a2=( )
A. 5B. 9C. −9D. −5
3.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，其准线与双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点M、N，若△MNF为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为( )
A. 5B. 2C. 3D. 2
4.设(1−mx)5=a0+a1x+⋯+a5x5，若a0+a1+a2+a3+a4+a5=32，则m=( )
A. 1B. −3C. 3D. −1
5.已知角α∈R，则“α为第二象限角”是“csαℎ(x)
D. 若方程f(x)+(g(x))2=0无解，则a的取值范围是(−∞,1+ln22]
11.已知过原点O的直线l交圆C：(x−a)2+(y−2)2=4于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A. 若直线l的方程为y=2x，且|AB|=4，则a=1
B. 若M，N为圆C上的任意两点，当a=2 3时，∠MON的最大值为90°
C. 若原点O在圆C外，则|OA||OB|=a2
D. 当a=2时，AB中点的轨迹长度为 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量X服从两点分布，若P(X=1)−P(X=0)=0.2，则P(X=1)=______，E(X)=______．
13.在△ABC中，AC=3,∠BAC=π3,AC⋅BC=3，则|AB|= ______；若BD=AC，点E在线段BD上，则AE⋅EC的最大值为______．
14.已知函数f(x)=ex+sinx，f′(x)为f(x)的导函数，给出下列三个结论：
①f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
②f(x)在区间(−π,0)上有极小值；
③f′(x)在区间(−π,+∞)上有两个零点．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)满足2f(x)−f(−x)=x2−6x+1，函数g(x)=f(x)x．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若存在x∈[2,8]，使得不等式g(lg2x)−klg2x≥0成立，求实数k的取值范围．
16.(本小题15分)
近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量(单位：辆)进行调查.统计结果如下：
(Ⅰ)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率；
(Ⅱ)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为X，求X的分布列和数学期望；
(Ⅲ)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为S12和S22.试比较S12和S22的大小.(结论不要求证明)
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且侧面PAD⊥底面ABCD，AD=4，E为侧棱PD的中点．
(1)求证：PB//平面EAC；
(2)求三棱锥A−PDC的体积．
18.(本小题17分)
已知在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，a2=b2≠1，等差数列{an}的前n项和为Sn，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列{an}和{bn}存在，并解答下列问题．
条件①：S7=7b3；
条件②：a2，a3，b3成等差数列；
条件③：a1，b2，a2成等比数列．
(Ⅰ)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{cn}的通项公式为cn=2an−17，求数列{cn}的前n项和的最小值，以及此时数列{bn}的前n项和的值．
19.(本小题17分)
已知直线l：y=kx+b与圆O：x2+y2=1相切．
(1)求k2−b2的值；
(2)已知椭圆E：x24+y23=1在点P(x0,y0)处的切线方程为x0x4+y0y3=1，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程；
(3)是否存在这样的二次曲线F：λx2+μy2=1，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有OM⊥ON？若存在，求出λ+μ的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.D
5.A
6.D
7.D
8.D
9.ABD
10.AC
11.ACD
12.0.6 0.6
13.4 −10
14.①②
15.(1)根据题意，函数f(x)满足2f(x)−f(−x)=x2−6x+1，①，
用−x换x，可得2f(−x)−f(x)=x2+6x+1，②
①×2+②得f(x)=x2−2x+1，
所以g(x)=f(x)x=x2−2x+1x=x+1x−2．
(2)根据题意，若存在x∈[2,8]，使得不等式g(lg2x)−klg2x≥0成立，
设t=lg2x，
若x∈[2,8]，则t∈[1,3]，
则存在t∈[1,3]，使g(t)−kt≥0，即t+1t−2−kt≥0，变形可得k≤1+1t2−2t=(1t−1)2，
因为t∈[1,3]，所以1t∈[13,1]，
当1t=13时，(1t−1)2取得最大值49，
所以k≤49，即k的取值范围是(−∞,49]．
16.(Ⅰ)由题可知：8家门店中新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，分别是：门店3，门店4，
所以若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率P=28=14；
(Ⅱ)12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数为3，分别是：门店4，门店5，门店7，
从样本门店中随机抽取3个，12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为X，
则X的所有可能取值为：0，1，2，3，
所以P(X=0)=C53C83=528，P(X=1)=C31C52C83=1528，P(X=2)=C32C51C83=1556，P(X=3)=C33C50C83=156，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=6356=98；
(Ⅲ)新能源汽车销售量的样本平均数为10+8+16+23+20+18+22+118=16，
新能源汽车销售量的样本方差s12=18×[(10−16)2+(8−16)2+(16−16)2+(23−16)2+(20−16)2+(18−16)2+(22−16)2+(11−16)2]=1154，
燃油汽车销售量的样本平均数为14+11+13+19+21+25+23+268=19，
燃油汽车销售量的样本方差s22=18×[(14−19)2+(11−19)2+(13−19)2+(19−19)2+(21−19)2+(25−19)2+(23−19)2+(26−19)2]=1154，
所以s12=s22．
17.(1)证明：如图，连接BD交AC于O，连接EO，
因为底面ABCD是正方形，所以O为BD中点，又E为侧棱PD的中点，
所以EO//PB，又EO⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，
所以PB//平面EAC；
(2)取AD的中点为F，连接PF，
易知PF⊥AD，且PF=2 3，
又平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
所以PF⊥平面ABCD，
所以三棱锥A−PDC的体积为：
VA−PDC=VP−ADC=13⋅SΔADC⋅PF=13×12×4×4×2 3=16 33．
18.(Ⅰ)选择条件①：
设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
S7=7(a1+a7)2=7a4，∴a4=b3，
∴a1+3d=b1q2a1+d=b1q，即1+3d=q21+d=q，
解得d=1q=2或d=0q=1(舍去)，
an=n，∴bn=2n−1．
选择条件②：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由题可得：2a3=a2+b3，
∴2(a1+2d)=a1+d+b1q2a1+d=b1q，
即2(1+2d)=1+d+q21+d=q，
即1+3d=q21+d=q，
解得d=1q=2或d=0q=1(舍去)，
an=n，∴bn=2n−1．
选择条件③：
设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由题可得：b22=a1⋅a2，
∴(b1q)2=a1⋅(a1+d)a1+d=b1q，
即q2=1+d1+d=q，
解得d=−1q=0，(舍去)或d=0q=1(舍去)，
故选择条件③时，不存在满足条件的数列{an}和{bn}；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知cn=2an−17=2n−17．
设{bn}的前n项和为Tn，{cn}的前n项和为Qn，
则Tn=1−2n1−2=2n−1，
Qn=n(−15+2n−17)2=n2−16n，
由二次函数的性质可知：当n=8时，Qn的最小值为82−16×8=−64，
数列{bn}的前8项和为28−1=255．
19.解：(1)因为直线l与圆O相切，
所以圆心O到直线l的距离d=|b| 1+k2=1，
则k2−b2=−1；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x0,y0)，
可得椭圆E在点A(x1,y1)处的切线AQ方程为x1x4+y1y3=1，
因为点Q(x0,y0)在切线AQ上，
所以x1x04+y1y03=1，①
同理得x2x04+y2y03=1，②
由①②得A(x1,y1)，B(x2,y2)都在直线x0x4+y0y3=1上，
所以直线AB方程为x0x4+y0y3=1，③
因为圆O与直线AB相切，
所以点O到直线AB的距离d=1 (x04)2+(y03)2=1，
所以x0216+y029=1，
因为点Q(x0,y0)具有任意性，
则点Q的轨迹方程为x216+y29=1(y≠0)；
(3)假设存在曲线F满足条件，设M(x3,y3)，N(x4,y4)，
联立y=kx+bλx2+μy2=1，消去y并整理得(λ+μk2)x2+2kbμy+μb2−1=0，
此时Δ>0，
由韦达定理得x3+x4=−2kbμλ+μk2,x3x4=μb2−1λ+μk2．
因为OM⊥ON，
所以OM⋅ON=x3x4+y3y4=x3x4+(kx3+b)(kx4+b)
=(k2+1)x3x4+kb(x3+x4)+b2=(k2+1)μb2−1λ+μk2−kb2kbμλ+μk2+b2
=(k2+1)x3x4+kb(x3+x4)+b2=b2(λ+μ)−(k2+1)λ+μk2=(k2+1)(λ+μ−1)λ+μk2=0恒成立．
故所以存在曲线F，且λ+μ=1． 日落云里走
后半夜天气
总计
下雨
未下雨
出现
25
5
30
未出现
25
45
70
总计
50
50
100
1店
2店
3店
4店
5店
6店
7店
8店
新能源汽车销售量
10
8
16
23
20
18
22
11
燃油汽车销售量
14
11
13
19
21
25
23
26
X
0
1
2
3
P
528
1528
1556
156