浙江省2024_2025学年高一数学下学期3月质量检测试卷含解析

这是一份浙江省2024_2025学年高一数学下学期3月质量检测试卷含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题目要求的.
1. 已知 ， ， ，则实数 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据共线向量的坐标表示即可求得结果.
【详解】已知 ， ，所以 ，解得：
故选：B
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为 ，故 ，故
故选：C.
3. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】D
【解析】
【分析】选项 A：利用正弦定理判断；对于 B：由正弦定理判断；选项 C：两边之和大于第三边判断；选项
D：由正弦定理判断；
【详解】对于 A：因为 ，所以 ，三角形有两解，故 A 错误;
对于 B：因为 ，所以 ，
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且 ，所以 ,所以 或 ，故有两解，故 B 错误；
对于 C：因为 ，所以无解，故 C 错误；
对于 D：因为 ，所以 ,故 ，三角形只有一解，故 D 正
确.
故选：D
4. 已知正方形 的边长为 ，则 的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：建立如图平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示即可求解；方法二：利用平
面向量的线性运算和数量积的运算律计算即可求解.
【详解】方法一：如图所示，建立以 为原点的平面直角坐标系，
得 ，则 ，
故 ．
方法二： ，
故 ．
故选：A
5. 在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形
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C. 直角三角形 D. 钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 .
故选：C.
6. 向量 ， ，那么向量 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出 的坐标，再求出 ， ，最后根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 在 上的投影向量为 .
故选：A．
7. 已知平面向量 、 、 满足 ，且 对任意实数 恒成立，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】对于不等式 ，我们两边平方得到关于实数 的不等式，进而得到 ，再结
合向量的运算性质得到 ，最后利用绝对值三角不等式求解最值即可.
【详解】由 ，两边平方得
又 ，且 对任意实数 恒成立，
即 恒成立，故 ，
即 ，解得 ，即 ，且 ，
而 ，故 ，
则由绝对值三角不等式得 ，故 B 正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解题的关键先利用 对任意实数 恒成立，求得 ，再利用绝
对值三角不等式求解最值即可.
8. 在 中，点 ， 在边 上，且满足： ， ，若 ，
， ，则 的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为 ，则 M 为 BC 中点，两边平方化简得到 ；因为
，则 AN 为角平分线， ，化简得到 ．解出 ，代入面积
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公式即可.
【详解】如图，在 中，设 ,
因为 ，则 M 为 BC 中点，两边平方得到，
，
即 ，化简
因为 ，则 AN 为角平分线， ，
即 ，条件代入化简得，
，则 ，且 ，
联立解得 ，解得 (负值舍去).
所以 .
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 设复数 ，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由条件分别算出 ， ， ， ，通过 的值的规律得到 的值，然后分别判断各
个选项.
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【详解】 ，∴ ，
∴ ，A 选项错误；
，B 选项正确；
，C 选项正确；
∵ ， ， ， ，
，∴ ，
∴ ，D 选项错误.
故选：BC.
10. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，则以下
说法正确的是（ ）
A. B. 是钝角三角形
C. 若 ，则 外接圆半径为 D. 若 周长为 15，则内切圆半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件求得 三边关系；对 A：利用正弦定理即可直接求得；对 B：判断 为最大角，
根据余弦定理判断 的正负即可；对 C：根据正弦定理直接求解即可；对 D：根据等面积法，结合三角
形面积公式即可求得.
【详解】因为 ，由正弦定理可得： ，又 ，故可得 ，
设 ，则 ；
对 A： ，故 A 正确；
对 B：根据大边对大角， 为最大角，又 ，则 ，
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又 ，故 为锐角，则△ 为锐角三角形，故 B 错误；
对 C：由 B 知： ， 为锐角，故 ，
又 ，设 外接圆半径为 ，由正弦定理可得： ，则 ，故 C 正确；
对 D：若 周长为 15，即 ，则 ，故 ，
设 内切圆半径为 ，则 ，即 ，解得 ，
故 D 正确；
故选：ACD.
11. 已知锐角 三个内角 的对应边分别为 ，且 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A. 的取值范围为
B. 的最小值为
C. 的面积最大值为
D. 值可能为 3
【答案】AD
【解析】
【分析】先根据 为锐角三角形，求出 的范围，再根据正弦定理结合三角函数的性质求出 的
范围，则利用 的取值范围判断 A，利用平面向量数量积的定义结合余弦定理将数量积表示为一元函数，再
利用二次函数的性质求解最值判断 B，利用三角形面积公式判断 C，利用余弦定理求出 的范
围，再判断 D 即可.
【详解】对于 A，因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ，解得 ，
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同理可得 ，则 的取值范围为 ，故 A 正确，
对于 B，由余弦定理得 ，即 ，
则 ，而 ，
，
令 ，由正弦定理得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，得到 ，
则 ，而 ，得到 ，
由二次函数性质得 在 上单调递增，则 ，
即 的最小值不为 ，故 B 错误，
对于 C，由三角形面积公式得 ，
则 的面积最大值不为 ，故 C 错误，
对于 D，因为 ，所以 ，
因为 ，
而 ，所以 的值可能为 3，故 D 正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：解题关键是结合题意求出 的取值范围，然后利用平面向量数量积的定义结合余弦
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定理得到 ，再利用二次函数的性质得到所要求的最值即可．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设 z 为复数，若 =1，则 最大值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】设 ，由模长公式得到 .然后由模长公式得到 的代数式，由函数的单调
性可知，当 取最大值时 取得最大，由 求出 的最大值，从而得出结果.
【详解】设 ，则 ，即 ，
，∴ ，
∵ 在 上单调递增，
∵ ， ，
∴当 时， 取最大值 3.
故答案为：3.
13. 某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300 米和 500 米，测得灯塔 A 在观察站 C 北偏东 30°，灯塔 B
在观察站 C 南偏东 30°处，则两灯塔 A、B 间的距离为__．
【答案】700 米
【解析】
【分析】先求得 的值，然后利用余弦定理求得 两点间的距离.
【详解】依题意可知 ，由于 ，根据余弦定理得
，解得 米.
【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题，要注意的是，填空题要写单位.
14. 在边长为 4 的正方形 中， ，以 F 为圆心，1 为半径作半圆与 交于 M，
N 两点，如图所示．点 P 为弧 上任意一点，向量 最大值为______．
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【答案】
【解析】
【分析】过 作 交 于点 ，可知当 与半圆相切时， 最大，再利用三角函数求解即
可.
【详解】过 作 交 于点 ，根据投影向量的概念可得 ，
设 ，所以 ，
当 与半圆相切时， 取得最大值，此时 最大，
过 作 交 于点 ，连接 ，
当 取得最大值时， 且 ，
因为 ，正方形边长为 4，则 ， ，
所以 ，
所以 ，
则 ，所以 ，
得 ，所以 的最大值为 .
所以 最大值为 .
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故答案为：24.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数 为虚数单位)， z 在复平面上对应的点在第四象限，且满足 .
（1）求实数 b 的值；
（2）若复数 z 是关于 x 的方程 且 的一个复数根，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，可得 ，再由共轭复数及复数乘法计算求解.
（2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可.
【小问 1 详解】
依题点 在第四象限，则 ，由 ，得 ，即 ，所以 ,
【小问 2 详解】
由(1)知， ，由复数 z 是关于 x 的方程 的根，
得 ，
整理得 ，而 ，
因此 , 解得 所以
16. 在 中， 分别是角 所对的边，已知 ， ， ，且 ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直则数量积为 0 得到方程，解得 ，即可得到角 A 的大小；
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（2）由三角形面积公式求得 ，结合余弦定理得到 ，从而得到 ，即可求出 的值.
【小问 1 详解】
因为 且 ，
，
又因为 ，所以
【小问 2 详解】
由题意得 ，得 ，
又因为在三角形 ABC 中，
由余弦定理 得 ，
所以 ，
又因为 ， ，所以
17. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 的中点， ，BE 与 AC，AF 分别相交于 M，N 两点．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ，求 ；
（3）若 ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根据平面向量基本定理计算即可；
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(2)根据平面向量基本定理结合三点共线求出向量最后根据数量积求出模长；
(3)应用平面向量基本定理表示向量，再应用垂直计算结合基本不等式求出最值即可.
【小问 1 详解】
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 所以 .
【小问 2 详解】
因为 为 中点，四边形 为平行四边形，
所以 .
因为 ，所以 .
设 ，
则 ，
，
因为 共线， 共线，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 .
【小问 3 详解】
因为 ， ，
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，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 最小值为 .
【点睛】方法点睛：把向量用基底表示，再应用向量的数量积公式计算后结合基本不等式求出最值即可.
18. 已知 A、B、C、D 为平面四边形 的四个内角．
（1）若 ， ，求 ；
（2）如图，若 ， ， ， ，
①证明： ；
②求 的值．
【答案】（1）10 （2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用三角形全等得到 ，再利用余弦定理即可求得结果.
（2）①利用二倍角公式与同角三角函数的商数关系即可证明，
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②先对所求式子化简得到，原式即是求 的结果，再多次利用余弦定理即可求得结果.
【小问 1 详解】
易知四边形 是平行四边形
在 中，由余弦定理得
同理在三角形 得到： ,
因为 ， ，且有公共边 AC，所以 ,
所以 ,又 ,所以 ,即 ,
所以在平行四边形 中, ,
故 ，
【小问 2 详解】
证明：①等式左边= =右边
所以等式成立．
②由 ，得 ， ，
由①可知：
，
连结 BD，
在 中，由余弦定理有 ，
， ， ， ，
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在 中，由余弦定理有 ，
所以 ，
则：
又 ，可知 ，
于是 ，
连结 AC，同理可得： ，
又 ，可知 ，
于是
所以
19. 对于给定的正整数 n，记集合 ，其中元素 称为一个 n
维向量，特别地， 称为零向量.设 ， ， ，定
义 加 法 和 数 乘 ： ， .对 一 组 向 量 ， ， …，
，若存在一组不全为零的实数 ， ，…， ，使得 ，则称
这组向量线性相关，否则称为线性无关.
（1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
① ， ；
② ， ， ；
（2）已知 ， ， 线性无关，判断 ， ， 是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（3）已知 个向量 ， ，…， 线性相关，但其中任意 个都线性无关，证明：
①如果存在等式 ，则这些系数 ， ，…， 或者全为零，
或者全不为零；
②如果两个等式 ， 同时成
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立，其中 ，则 .
【答案】（1）①线性无关；②线性相关；理由见解析
（2）向量 ， ， 线性无关；理由见解析
（3）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可；
（2）设 ，则 ，然后由条件得到
即可判断；
（3）①如果某个 ， ，然后证明 ， ，……， ， ，……， 都等于 0 即可；
②由 可得 ，然后代入 根据题意证
明即可.
小问 1 详解】
对于①，设 ，
则可得 ，所以 ， 线性无关；
对于②设 ，
则可得 ，所以 ， ，
可取 不全为零，故 ， 线线性相关；
【小问 2 详解】
设 ，
则 ，
因为向量 ， ， 线性无关，
第 17页/共 18页
所以 ， ， ，
解得 ，
所以向量 ， ， 线性无关；
【小问 3 详解】
① ，
如果某个 ， ，2，……，m，
则 ，
因为任意 个都线性无关，
所以 ， ，……， ， ，……， 都等于 0，
所以这些系数 ， ，……， 或者全为零，或者全不为零，
②因为 ，所以 ， ，……， 全不为零，
所以由 ，
可得 ，
代入 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，……， ，
所以
【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给的线性相关的定义进行
运算判断.