人教版高考数学第二轮专项练习专题12 多面体的外接球和内切球（解析版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题12 多面体的外接球和内切球（解析版），共16页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，可求出.
类型二 球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）

②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；
②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；
③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.
4、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥中：
①选定底面，定外接圆圆心
②选定面，定外接圆圆心
③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.
二、典型例题
1．（2022·山西吕梁·一模（文））在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，，，则鳖臑内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
解：因为四面体四个面都为直角三角形，平面，，所以，，，，设四面体内切球的球心为，则，
所以，
因为四面体的表面积为，
又因为四面体的体积，
所以，所以，
故选：B
【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法.
2．（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））在三棱锥P－ABC中，，，两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
将三棱锥P－ABC补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，则，所以球的表面积为．
故选：D．
【反思】由题意，，两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用长方体求外接球.
3．（2021·全国·高一课时练习）已知三棱锥，在底面中，，，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设的外接圆半径为R，因为，，由正弦定理得：，所以的外接圆半径为1，设的外接圆圆心为，过点做的平行线，则球心一定在该直线上，设为，因为面，，由于，故，由勾股定理得：，即此三棱锥的外接球的半径为2，故外接球表面积为.
故选：D
【反思】此题典型的单面定球心求外接球的问题，先确定的外接圆圆心，再过做的平行线，则可确定球心在该直线上，进而通过计算求出外接球半径.
4.三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .
【解析】:由于是正三角形，并且边长为2，所以的外接圆圆心为,则,,同理可得的外接圆圆心为，可得到，,分别过做面的垂线，过做面的垂线交于，因为平面平面，所以四边形为正方形，且,利用勾股定理：，所以.
【反思】此题典型的双面定球心，由于选定的面，都是正三角形，故其外心都是中心，如果是普通三角形，可以采用正弦定理定外心.
三、针对训练 举一反三
一、单选题
1．（2021·湖北黄冈·高一期末）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
如下图组合体的轴截面，设圆锥半径为，圆锥高为，则，，，由得,代入得①，
由“该圆锥体积是球体积两倍”可知，即②，联立两式得.
故选:B
2．（2021·青海·海南藏族自治州高级中学高三开学考试（理））如图正四棱柱中，底面面积为36，的面积为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
设正四棱柱的高为，
因为正方形的面积为36，所以，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，,
因为的面积为，
所以，解得，
依题意，三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球，
其半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为．
故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体中，平面，，，且，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：如图所示：
在中，，
又且，
故解得：，
由余弦定理得：，
即，
故，
设的外接圆半径为，
则，
设的外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，
则，
四面体的外接球的表面积为：.
故选：B.
4．（2021·江苏·金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，
设母线为，则，可得：，
由扇形的弧长公式可得：，所以，
圆锥的高，
由，解得：，
所以球的表面积等于，
故选：A
5．（2021·云南·弥勒市一中高二阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，，，则此直三棱柱的高是（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【详解】
设，
三角形外接圆的半径为，直三棱柱外接球的半径为.
因为，所以，
于是，，.
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以.
在中，由，得，.
所以球的体积，解得.
于是直三棱柱的高是.
故选：B.
6．（2021·重庆·西南大学附中高一期末）已知正方形中，，是边的中点，现以为折痕将折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：过D作于，设点为的外心，为的中点，连接，
因为正方形中，，是边的中点，
所以,则，，,
所以,，,
所以,
所以,
设棱锥的外接球球心为，半径为，则平面，设，
因为的面积为定值，所当高最大时，三棱锥的体积最大，
此时平面平面，
因为，平面平面，
所以平面，
所以,
所以，
所以，
所以，解得，
所以的外心为三棱锥外接球的球心，
所以
所以三棱锥外接球的表面积为
故选：C
7．（2021·广西·柳铁一中高三阶段练习（理））在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图，
由，，得，∴，
由，，，得，∴，
又，∴平面，设的外心为G，过G作底面的垂线，
使，则O为三棱锥外接球的球心，
在中，由，，得，
，设的外接圆的半径为r，
则，，
∴.
∴三棱锥外接球的表面积为.
故选：D.
8．（2021·江西省南丰县第二中学高一学业考试）已知四棱锥，平面，，，，，二面角的大小为.若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为，，所以，所以，
所以外接圆的圆心为的中点，记为，过作直线使得平面，
取中点，过作垂足为，则，
所以为四面体外接球的球心，
因为，所以平面，，
又，所以二面角的平面角为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以四面体外接球的体积为，
故选：A.
二、填空题
9．（2022·河南焦作·一模（理））已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且是底边长为，面积为的等腰三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【详解】
三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，如图，
设，，长方体交于一个顶点的三条棱长为，，，则，解得.
由题得，
，，
解之得，，.
所以该三棱锥的外接球的半径为，
所以该三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
10．（2022·河南驻马店·高三期末（文））在三棱锥中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】##
【详解】
如图，取的中点，连接，．由题意可得，
因为，所以，
因为，所以，所以，所以，
即．因为，所以平面，
设三棱锥外接球的球心为，
由题意易得三棱锥外接球的球心在线段上，如下图
则三棱锥外接球的半径满足，
解得，所以，；
若三棱锥外接球的球心在线段的延长线上，如下图，
则三棱锥外接球的半径满足，
，无解；
所以，
三棱锥外接球的表面积．
故答案为：.
11．（2022·全国·模拟预测（理））已知A、B、C、D为空间不共面的四个点，且，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．
【答案】
【详解】
当BA、BC、BD两两垂直时，如图三棱锥的底面的面积和高同时取得最大值，则三棱锥的体积最大，
此时将三棱锥补形为一个长宽高分别为，，的长方体，
长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
球的半径，表面积为．
故答案为：.
12．（2022·安徽马鞍山·一模（理））三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为______
【答案】
【详解】
等边三角形的高为，
等边三角形的外接圆半径为
三角形的外接圆半径为，
设分别是等边三角形、等边三角形的中心，
设是三棱锥的外接球的球心，是外接球的半径，
则，
所以外接球的体积为.
故答案为：
13．（2021·湖北荆州·高一期中）如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【详解】
设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，，，
如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，则N在PM上，
且，设球的半径为R，则，
∵，∴，则，，∴，
设球与球相切于点Q，则，
设球的半径为r，同理可得，∴，
故小球的表面积.
故答案为：