人教版高考数学第二轮专项复习专题05 三点共线的充要条件 -高中数学经典二级结论解读与应用训练（原卷版）

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结论五：三点共线的充要条件
结
论
(1)设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OP=λOA+μOB,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,OP=12OA+12OB.
解
读
三点共线充要条件的这种表示法的得到可以看成是：的一个变形式，即(O为平面内任意一点)。
典
例
7．已知为的中线，点是的中点，过点的直线分别交边、于、两点．若，，则（ ）
A．B．C．D．
解
析
反
思
本题考查利用三点共线求参数，考查了结论“若、、三点在一条直线上，点在直线外，则存在实数、，使得，且”的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.本题中先证明出结论：若、、三点共线，且为直线外一点，，则.计算得出，由题意得出，以此可得出，利用三点共线的结论得出，进而可求得实数的值.
针对训练*举一反三
1．在三角形ABC中，E､F分别为AC､AB上的点，BE与CF交于点Q且，，AQ交BC于点D，，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，为的中点，，为的两个三等分点，交于点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点，若，，且，则下列说法正确的是( ),
A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上 D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上
5．（多选题）如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，
B．当P是线段的中点时，，
C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．的最大值为
6．已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为_______.
7．已知等差数列的前项和为，若（向量、不平行），、、共线，则_________．