2024-2025学年新疆兵团第三师图木舒克一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年新疆兵团第三师图木舒克一中高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.矩形的直观图是( )
A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 平行四边形
2.已知向量a=(2,t)，b=(t+3,2)，且a//b，则实数t=( )
A. 1或4B. 1或−4C. 14或1D. −14或1
3.下列说法中正确的是( )
A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B. 在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性
C. 随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率
D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
4.如表记录了上海某个月连续8天的空气质量指数(AQI)：
则这些空气质量指数的75%分位数为( )
A. 35B. 35.5C. 36D. 37
5.已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. 16 2πB. 16 2π3C. 32 2πD. 32 2π3
6.欧拉恒等式eiπ+1=0(i为虚数单位，e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式eix=csx+isinx的特例：当自变量x=π时，eix=csπ+isinπ=−1，得eiπ+1=0根据欧拉公式，复数z=e3i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.已知数据1，2，3，5，m(m为整数)的平均数是极差的34倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为( )
A. 25B. 310C. 35D. 12
8.如图，在正四面体ABCD中，点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为( )
A. 3 1326
B. 1313
C. 1326
D. 3 1313
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，复数z1=1+2i，z2=2−i，则( )
A. z1的共轭复数为−1+2iB. |z1|=|z2|
C. z1+z2为实数D. z1⋅z2在复平面内对应的点在第一象限
10.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m//α，α//β，则m//β
B. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
C. 若α//β，β//γ，则α//γ
D. 若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n
11.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A=“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的两球不同色”，则( )
A. P(C)=13B. A与B相互独立
C. A与C相互独立D. P(A)+P(D)=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a与b的夹角为π3，|a|=1，|b|=2，则|a+b|= ______．
13.已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为______．
14.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinA=sinBcsC，tanA=13，则tanC= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知OA=(1,2)，OB=(m,−2)，OC=(−3,1)，O为坐标原点．
(1)若AB⊥AC，求实数m的值；
(2)在(1)的条件下，求OA与OB所成角的余弦值．
16.(本小题15分)
为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本(成绩均在[80,150]内)，将所得成绩分成7组：[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，整理得到样本频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；(同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1)
(2)从样本内数学分数在[130,140)，[140,150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在[140,150]中的概率．
17.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱CC1，DD1的中点．
(1)求证：D1B⊥AC；
(2)求证：平面BED1//平面ACF．
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且满足4S+bc⋅tan(B+C)=0．
(1)求角A的大小；
(2)若a=4，求△ABC周长的最大值．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PBD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB//CD，BC⊥CD,BC=CD=2AB=2 2,E是棱PA上的一点．
(1)若PE=2EA，求证：PC//平面EBD；
(2)若PA⊥平面EBD，且PA=4，求直线BC与平面EBD所成角的正弦值．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.B
5.B
6.B
7.A
8.A
9.BD
10.BC
11.BCD
12. 7

14.1或12
15.解：(1)根据题意，OA=(1,2)，OB=(m,−2)，OC=(−3,1)，
则AB=OB−OA=(m−1,−4)，AC=OC−OA=(−4,−1)，
又由AB⊥AC，则AB⋅AC=(−4)(m−1)+(−4)×(−1)=0，
解可得：m=2；
(2)由(1)的结论，m=2，则OB=(2,−2)，
则|OA|= 1+4= 5，|OB|= 4+4=2 2，
OA⋅OB=1×2+2×(−2)=−2，
则cs=OA⋅OB|OA||OB|=−2 5×2 2=− 1010．
16.解：(1)由题意知(0.012+0.028+0.022+0.018+0.010+a+0.002)×10=1，
解得a=0.008，
数学成绩的平均数为：
x−=85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.10+135×0.08+145×0.02=107.4，
由频率分布直方图知，分数在区间[80,100)、[80,110)内的频率分别为0.34，0.62，
所以该校数学成绩的中位数m∈[100,110)，
则(m−100)×0.028+0.34=0.5，解得m=7407≈105.7；
(2)抽取的5人中，分数在[130,140)内的有+0.02×5=4人，
在[140,150]内的有1人，
记在[130,140)内的4人为a，b，c，d，在[140,150]内的1人为A，
从5人中任取3人，有(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,A)，(a,c,d)，(a,c,A)，(a,d,A)，(b,c,d)，(b,c,A)，(b,d,A)，(c,d,A)共10种，
选出的3人中恰有一人成绩在[140,150]中，有(a,b,A)，(a,c,A)，(a,d,A)，(b,c,A)，(b,d,A)，(c,d,A)，共6种，
故所求概率为P=610=35．
17.证明：(1)连接BD，在正方体中，AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，
所以DD1⊥AC，
又因为DD1∩BD=D，
所以AC⊥平面BDD1，
又因为BD1⊂平面BDD1，
所以AC⊥BD1；
(2)设BD∩AC=O，连接OF，
因为E，F分别为棱CC1，DD1的中点，
易证得OF//BD1，CF//D1E，
BD1⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，
所以BD1//平面ACF，
同理可证得D1E//平面ACF，
而BD1∩D1E=D1，
所以平面BED1//平面ACF．
18.解：(1)由4S+bc⋅tan(B+C)=0，可得4S=−bctan(B+C)=−bctan(π−A)=bctanA，
∴2bcsinA=bcsinAcsA，又∵sinA≠0，∴csA=12，
又∵A∈(0,π)，∴A=π3；
(2)∵a=4，A=π3，∴由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12，
∴b2+c2−16=bc，∴(b+c)2=16+3bc，∴(b+c)2−16=3bc≤3(b+c)24(当且仅当b=c=4时取“=”)，
∴14(b+c)2≤16，b+c≤8，
∴b+c的最大值为8，a+b+c的最大值为12，∴△ABC周长的最大值为12．
19.(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，如图所示，
因为AB//CD，所以△OAB∼△OCD，所以OAOC=ABCD=12，
又PE=2EA，所以OE//PC，
因为OE⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，
所以PC//平面EBD．
(2)解：取CD中点M，连接AM，交BD于点N，连接EN，则AB/​/CM，且AB=CM，
所以四边形ABCM是平行四边形，所以AM/​/BC，AM=BC，
因为BC⊥CD，所以四边形ABCM是矩形，
因为AB//DM，AB=DM，所以四边形ABMD是平行四边形，
所以N为BD中点，AN=12BC= 2，所以△ABN是等腰直角三角形，
因为PA⊥平面EBD，
所以∠ANE是直线AM与平面EBD所成的角，也是直线BC与平面EBD所成的角，
过点A作AG⊥BD，垂足为G，连接AG，GP，则AG=1，
因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，AG⊂平面ABCD，
所以AG⊥平面PBD，
又PG⊂平面PBD，所以AG⊥PG，
由射影定理知，AG2=AE⋅AP，
所以AE=AG2AP=14，
在Rt△ANE中，sin∠ANE=AEAN=14 2= 28，
所以直线BC与平面EBD所成角的正弦值为 28． 时间
1
2
3
4
5
6
7
8
空气质量指数(AQI)
20
28
24
33
31
35
36
38