2024-2025学年甘肃省甘南州高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省甘南州高二（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若随机变量X～N(1,σ2)，且P(X≤a)=P(X≥b)，则a+b的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
2.已知函数f(x)=ex+x2，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A. y=xB. y=x+1C. y=2xD. y=3x−2
3.过圆O：x2+y2=1外的点P(3,3)作O的一条切线，切点为A，则|AP|=( )
A. 2 2B. 17C. 3 2D. 5
4.已知随机变量X的分布列为
则数学期望E(X)=( )
A. mB. 2C. 1D. 34
5.下列说法正确的个数为( )
①根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y​=b​x+a​，若b =2，x−=1，y−=3，则a =1；
②分类变量A与B的统计量χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越小；
③一元线性回归模型中，如果相关系数r=0.98，表明两个变量的相关程度很强．
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn=2an+n，则a10=( )
A. −1023B. −100C. 513D. 2036
7.设O为坐标原点，F1，F2为双曲线C：x24−y25=1的两个焦点，点P在C上，cs∠F1PF2=16，则|OP|=( )
A. 11B. 3C. 3 22D. 917
8.设函数f(x)=ex(x−1)−2ax+a，若f(x0)b>0)上两点．
(1)求C的方程；
(2)点P在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线AP交y轴于点Q，F1，F2为椭圆C的左、右焦点，若△F1PQ的面积是△F2PA面积的3倍，求直线PQ的方程．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=xex．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：f(x)x>x+1；
(3)若f(x)>asinx对于x∈(0,π)恒成立，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
现有A，B两个盒子，A，B两盒子中各装有1个黑球和2个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n(n∈N∗)次这样的操作后，记A盒子中黑球的个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
(1)求p1，p2，q1，q2的值；
(2)求证：2pn+qn是定值；
(3)求Xn的数学期望E(Xn).
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：已知随机变量X～N(1,σ2)，则该正态曲线关于x=1对称，
由P(X≤a)=P(X≥b)，a与b关于X=1对称，
则a+b2=1，则a+b=2．
故选：C．
利用正态分布曲线的对称性即可求解．
本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题．
2.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=ex+x2，所以f′(x)=ex+2x，
所以f(0)=1，f′(0)=1，
所以所求切线方程为y−1=x−0，即y=x+1．
故选：B．
求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合点斜式直线方程求解即可．
本题考查函数的切线的求解，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=1，其圆心为O(0,0)，半径r=1，
过点P(3,3)作O的一条切线，切点为A，
则有|AP|2=|OP|2−r2=18−1=17，即|AP|= 17．
故选：B．
根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据分布列的性质可知12+m+14=1，得m=14，
根据期望公式可得E(X)=0×12+1×14+2×14=34．
故选：D．
先根据分布列的性质求得m=14，然后根据期望公式求解即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：对于①，因为回归直线方程y​=b​x+a​必过(x−,y−)，
所以3=2×1+a ，解得a =1，故①正确；
对于②，由独立性检验的性质可知，χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大，故②错误；
对于③，由相关系数的性质可知，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，
所以如果相关系数r=0.98，表明两个变量的相关程度很强，故③正确，
所以说法正确的个数为2个．
故选：C．
根据回归直线的性质判断①，根据χ2的意义判断②，根据相关系数的概念判断③．
本题主要考查了回归直线方程的性质，考查了独立性检验的性质，以及相关系数的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：当n=1时，由Sn=2an+n得，a1=2a1+1，解得a1=−1，
由Sn=2an+n，可得Sn+1=2an+1+n+1，
两式相减可得an+1=Sn+1−Sn=2(an+1−an)+1，
整理可得an+1=2an−1，
则an+1−1=2(an−1)，
所以{an−1}是首项为−2，公比为2的等比数列，
则an−1=−2n，所以an=1−2n，
∴a10=1−210=1−1024=−1023．
故选：A．
由an与Sn的关系即可求出an，进而求得a10．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义与通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由O为坐标原点，F1，F2为双曲线C：x24−y25=1的两个焦点，点P在C上，cs∠F1PF2=16，
可得c= a2+b2= 4+5=3，
故|F1F2|=6，||PF1|−|PF2||=2a=4，所以|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|=16①，
在△F1PF2中，由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cs∠F1PF2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2−13|PF1||PF2|=36②，联立①②，解得|PF1|2+|PF2|2=40，
因为cs∠POF1+cs∠POF2=0，
所以在△POF1和△POF2中，由余弦定理，得|OP|2+|OF1|2−|PF1|22|OP||OF1|+|OP|2+|OF2|2−|PF2|22|OP||OF2|=0，
结合|F1F2|=2|OF1|=2|OF2|，可得2|OP|2+2|OF1|2−(|PF1|2+|PF2|2)2|OP||OF1|=0，
所以2|OP|2+2|OF1|2−(|PF1|2+|PF2|2)=0，
所以4|OP|2+4|OF1|2=2(|PF1|2+|PF2|2)=80，
所以4|OP|2+(2|OF1|)2=80，得4|OP|2+|F1F2|2=80，
所以4|OP|2+36=80，
所以|OP|2=11，解得|OP|= 11．
故选：A．
结合双曲线的定义和余弦定理得|PF1|2+|PF2|2=40，在△POF1和△POF2中，由余弦定理得(2|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+|PF2|2)=80，求解即可．
本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=ex(x−1)−2ax+a，f(x0)0时，g′(x)>0，当xx+1(x≠0)，
即f(x)x>x+1；
(3)令ℎ(x)=xex−asinx，ℎ′(x)=(x+1)ex−acsx，
令m(x)=ℎ′(x)，则m′(x)=(x+2)ex+asinx，
由x∈(0,π)时，sinx>0，所以，
①当a≤0时，得xex>0，−asinx≥0，得ℎ(x)>0，满足题意，
②当a>0时，得(x+2)ex>0，asinx>0，
因此m′(x)>0，则ℎ′(x)在(0,π)上单调递增，
若0ℎ′(0)=1−a≥0，
则ℎ(x)在(0,π)上单调递增，
所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，满足题意；
若a>1，则ℎ′(0)0，
因此ℎ′(x)在(0,π)存在唯一的零点x0，
且x0∈(0,π2)，
当0