2024-2025学年安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a=(−2,4)，b=(x,−2)，且a//b，则x等于( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
2.复数z=42+i的虚部是( )
A. iB. 1C. −45iD. −45
3.某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取( )
A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人
4.甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是( )
A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517
B. 甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483
C. 抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5
D. 甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517
5.《九章算术⋅商功》中将正四面形棱台(即正四棱台)建筑物称为方亭.现有一方亭ABCD−A1B1C1D1，已知AB=1，且该方亭的高为6，体积为26，则A1B1=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.下列4个命题：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+(B)+P(C)=1；
④若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件，
其中错误的有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD为正方形，则此四棱锥的各面中互相垂直的面有( )
A. 3对
B. 4对
C. 5对
D. 6对
8.某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为13，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若他三个社团考核都通过的概率为130，三个社团考核都没有通过的概率为415，则m+n=( )
A. 45B. 710C. 23D. 35
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=8sinA，则( )
A. b=8sinBB. c=8sinC
C. △ABC的外接圆半径为8D. △ABC的外接圆半径为4
10.甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲：68 71 72 72 82
乙：66 70 72 78 79
则( )
A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C. 甲组数据的众数等于乙组数据的中位数
D. 甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A. 直线A1G与直线DC所成角的正切值为12
B. 直线A1G与平面AEF不平行
C. 点C与点G到平面AEF的距离相等
D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为98
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某种心脏手术，成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为______．
13.平行四边形ABCD中，|AB|=6，|AD|=4，若点M，N满足：BM=3MC，DN=2NC，则AM⋅NM= ．
14.现有一个底面圆半径为3的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为3的小球，往盒子中不断地放入小球，若此盒子最多只能装下6个这样的小球(盒子的盖子能封上)，那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
平面内给定三个向量a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1)．
(1)求a与b+c的夹角的余弦值；
(2)求满足a=mb−nc的实数m，n．
16.(本小题15分)
某厂引进一种生产新能源汽车关键部件的设备，为了解该设备生产的关键部件的某项指标的情况，随机抽取了100件关键部件的该项指标数据，按[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求m的值；
(2)估计样本中指标数据的80%分位数．
17.(本小题15分)
如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD//BC，∠BAD=90°，AB=AD=12BC．
(1)求证：平面DCE⊥平面ABCD；
(2)求直线BE与平面DCE所成角的正切值．
18.(本小题17分)
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．
(Ⅰ)写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A发生的概率；
(Ⅱ)求事件B发生的概率；
(Ⅲ)事件A与事件C至少有一个发生的概率．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足b2+acac=sinAsinC+sinCsinA，c=12．
(1)求B；
(2)若D为线段BC上一点，且满足AD=BD，AC= 189，求CD的长；
(3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的范围．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.B
5.B
6.D
7.C
8.B
9.ABD
10.ABC
11.AD
12.0.8
13.9
14.[9,212)
15.(1)因为a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1)，
所以b+c=(3,3)，
所以cs〈a,b+c〉=a⋅(b+c)|a||b+c|=15 13× 18=5 2626；
(2)因为a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1)，
由a=mb−nc，可得(3,2)=(−m−4n,2m−n)，
即−m−4n=32m−n=2，解得m=59,n=−89．
16.解：(1)由题意可知0.02×5+0.03×5+m×5+0.08×5+0.02×5=1，
解得m=0.05；
(2)由题意[10,15)的频率为0.02×5=0.1，[15,20)的频率为0.03×5=0.15，
[20,25)的频率为0.05×5=0.25，[25,30)的频率为0.08×5=0.4，
故80%分位数在区间[25,30)内，设为x，
则0.1+0.15+0.25+(x−20)×0.08=0.8，
解得x=23.75，
故样本中指标数据的80%分位数为23.75．
17.解：(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，
又因为ED⊂平面DCE，
所以平面DCE⊥平面ABCD．
(2)连接BD，设AB=1．
因为∠BAD=90°,AB=AD=12BC．
所以BD= 2,∠ADB=45°,BC=2，
又因为AD//BC，所以∠DBC=45°．
所以DC2=BD2+BC2−2BD×BC×cs45°=( 2)2+22−2× 2×2× 22=2，
所以DC= 2，
所以DC2+BD2=BC2，即BD⊥DC，
由(1)知ED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则BD⊥ED，
而DE∩DC=D，DE，DC⊂平面DCE，
所以BD⊥平面DCE，
所以∠BED就是直线BE与平面DCE所成的角，
在Rt△BDE中，tan∠BED=BDDE= 2，
所以直线BE与平面DCE所成角的正切值为 2．
18.解：(I)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共有36个基本事件，
事件A：“两数之和为8”，事件A包含的基本事件有：
(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个基本事件，
∴事件A发生的概率为P(A)=536．
(II)事件B：“两数之和是3的倍数”，
事件B包含的基本事件有12个，分别为：
(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，
∴事件B发生的概率P(B)=1236=13．
(III)事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：
(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，
∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P(A∪C)=1136．
19.(1)由题意，结合正弦定理可得b2+acac=ac+ca，
化简得b2=a2+c2−ac，所以csB=a2+c2−b22ac=12，结合B∈(0,π)，可得B=π3；
(2)D为线段BC上一点，且满足AD=BD，B=π3，可得△ABD为等边三角形，
所以∠ADC=π−∠ADB=2π3，
设CD=x，在△ADC中，AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcs∠ADC，
即189=x2+122−2x⋅12×(−12)，整理得x2+12x−45=0，解得x=3(舍负)，即CD=3；
(3)在△ABC中，AB=12，
由正弦定理得BC=12sinAsinC=12sin(2π3−C)sinC=12( 32csC+12sinC)sinC=12(12+ 32⋅1tanC)，
所以S△ABC=12⋅BA⋅BC⋅sinB=36 3⋅(12+ 32⋅1tanC)，
根据△ABC是锐角三角形，可得0