2024-2025学年四川省成都市石室中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都市石室中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=1，则|z|=( )
A. 2B. 1C. 22D. 12
2.已知不重合的直线m、n、l和平面α，下列命题中真命题是( )
A. 如果l不平行于α，则α内的所有直线均与l异面
B. 如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C. 如果m⊂α，n//α，m、n共面，那么m//n
D. 如果m//n，那么m平行于经过n的任何平面
3.如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF=3FE，记a=BA，b=BC，则CF=( )
A. 23a+13bB. 23a−13bC. −14a+38bD. 34a−58b
4.“α∈[0,2π]，点P(sinα−csα,tanα)在第二象限”的一个充分不必要条件是α∈( )
A. (π2,3π4)∪(π,5π4)B. (0,π6)∪(5π4,3π2)
C. (π2,3π4)∪(5π4,3π2)D. (0,π4)∪(5π4,3π2)
5.学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了600m到达B点(A,B,P,Q在同一个平面内)，在B处测得山顶P的仰角为60°，则青城山的山高PQ为( )
A. 300( 6+ 2)mB. 300( 6− 2)m
C. 600( 3+1)mD. 600( 3−1)m
6.已知实数x，y满足x2+y2=1，则|x+ 3y−7|+|8−x− 3y|的最大值为( )
A. 15B. 17C. 19D. 21
7.△ABC中，sin∠ABC2= 33，点D在线段AC上，且AD=3DC，BD=3，则△ABC面积最大值为( )
A. 4 2B. 6 2C. 6 3D. 4 3
8.如图，在棱长为6正方体中，点P为棱AB的中点，点Q为棱A1D1的中点，点M为棱CC1上靠近点C的三等分点，则经过P，Q，M三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面CDD1C1的交线长度分别为( )
A. 五边形，2 1815
B. 六边形，2 1815
C. 五边形，2 1835
D. 六边形，2 1835
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(csx,sinx),b=(−1, 3)，( )
A. 若a⊥b，则x=π6+kπ(k∈Z)
B. 若a//b，则x=−π3+kπ2(k∈Z)
C. 若|a+b|取得最大值，则x=2π3+kπ(k∈Z)
D. 若x=−π6，则a在b上的投影向量为( 34,−34)
10.已知复数z1，z2，则下列说法不正确的是( )
A. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
B. 若z1−z2>0，则z1>z2
C. z1z2∈R是z1=z2−的充分不必要条件
D. |z1|=1，|z2|=1，|z1−z2|=1，则|z1+z2|= 3
11.已知函数f(x)=a(sinx+csx)+b|sinx−csx|，其中a>0，b>0，则下列说法中正确的有( )
A. f(x)的最小值为− 2a
B. f(x)的最大值为 2a2+2b2
C. f(x)= 2a方程在[−3π4,5π4]上有三个解
D. f(x)在(π2,3π2)上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为6，6，6，其外接球的表面积为______．
13.已知向量a,b,c的模长分别为2，1，1，且a⋅b=0，则|a+b−c|的最大值为______．
14.在△ABC中，若9tanA+8tanB=5tanC，则csC的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，G分别为A1C1，BC的中点．
(1)证明：C1G//平面ABE；
(2)求三棱锥C−ABE的体积．
16.(本小题15分)
设△ABC是边长为3的正三角形，点D、E三等分线段BC(如图所示)．
(1)求AB⋅AD+AD⋅AE的值；
(2)F在线段BC的何处时，FA⋅FC取得最小值，并求出此最小值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a−c=2bcsC．
(1)求角B；
(2)若△ABC是锐角三角形，求b+ca的取值范围．
18.(本小题17分)
定义向量OM=(a,b)的“相关函数”为f(x)=asinx+bcsx；函数f(x)=asinx+bcsx的“相关向量”为OM=(a,b)．
(1)求函数f(x)=2sin2(x2+π3)−1的“相关向量”OM的模长；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数ℎ(x)的“相关向量”为OM=(0,1)，且已知a=4,ℎ(A)=35．
①求△ABC周长的最大值；
②求|AB+AC|−AB⋅AC的取值范围．
19.(本小题17分)
在Rt△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知csAa=csB+csCb+c．
(1)求角A；
(2)已知c≠2b，a=2 3，点P，Q是边AC上的两个动点(P,Q不重合)，记∠PBQ=θ．
①当θ=π6时，设△PBQ的面积为S，求S的最小值；
②记∠BPQ=α，∠BQP=β.问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=4ksinαsinβ成立？若存在，求出θ和k的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.A
6.C
7.B
8.B
9.AD
10.ABC
11.ABC
12.108π
13. 5+1
14.6 211
15.解：(1)证明：取AB的中点H，连接EH，HG，

∵G为BC的中点，∴HG//12AC，且HG=12AC，
∵E为A1C1的中点，∴EC1//12AC，且EC1=12AC，
∴HG//EC1，且HG=EC1，∴四边形EHGC1为平行四边形，
∴C1G//EH.又C1G⊄平面ABE，EH⊂平面ABE，
∴C1G/​/平面ABE；
(2)∵AB⊥BC，AC=2，BC=1，∴AB= 3，
∴S△ABC=12×1× 3= 32．
∵A1C1//平面ABC，
∴点E到面ABC的距离等于点A1到面ABC的距离，
∴VE−ABC=VA1−ABC，又A A1⊥平面ABC，
∴VC−ABE=VE−ABC=VA1−ABC=13S△ABC×AA1= 33．
16.解：(1)如图所示，

设AB=a，AC=b，
则|a|=|b|=3，且=π3，
∵点D、E三等分线段BC，
∴AD=23a+13b，AE=13a+23b，
∴AB⋅AD+AD⋅AE=(AB+AE)⋅AD=(43a+23b)⋅(23a+13b)=89a2+89a⋅b+29b2=89×9+89×3×3×12+29×9=14；
(2)以线段BC所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线为y轴，建系如图：

则A(0,3 32)，C(32,0)，
又F在线段BC上，设F(a,0)，a∈[−32,32]，
∴FA=(−a,3 32)，FC=(32−a,0)，
∴FA⋅FC=−a(32−a)=a2−32a=(a−34)2−916，
∴当a=34时，FA⋅FC取得最小值−916．
17.(1)因为2a−c=2bcsC，
所以2sinA−sinC=2sinBcsC，
可得2sin(B+C)−sinC=2sinBcsC，
可得2sinBcsC+2csBsinC−sinC=2sinBcsC，
可得2csBsinC=sinC，
又sinC≠0，
可得csB=12，
又因为B∈(0,π)，
所以B=π3；
(2)由题意可得0