2026届高考数学一轮总复习提能训练练案64二项式定理

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案64二项式定理，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2025·辽宁鞍山质检)在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x2)))10的展开式中，常数项为( )
A．180 B．270
C．360 D．540
[答案] A
[解析] 二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x2)))10的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\f(1,2)))10－r·(－2x－2)r＝(－2)rCeq \\al(r,10)·x5－eq \f(5,2)r，令5－eq \f(5,2)r＝0，解得r＝2，所以常数项为(－2)2Ceq \\al(2,10)＝180.故选A．
2．(2024·江苏镇江一中学情检测)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,\r(x))))8的展开式中含x5项的系数是( )
A．－112 B．112
C．－28 D．28
[答案] B
[解析] 由题意可得，其通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)x8－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,\r(x))))r＝(－2)rCeq \\al(r,8)x8－eq \f(3,2)r，0≤r≤8，r∈N，令8－eq \f(3,2)r＝5，可得r＝2，所以含x5项的系数是(－2)2Ceq \\al(2,8)＝112.故选B.
3．(2025·四川南充高级中学测试)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是( )
A．6 B．15
C．eq \f(6,x4) D．eq \f(15,x2)
[答案] D
[解析] 由题意得2n＝64，解得n＝6，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))n展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)x6－r·x－r＝Ceq \\al(r,6)x6－2r，第5项是T5＝Ceq \\al(4,6)x－2＝eq \f(15,x2).
4．(2024·山东新高考质检联盟联考)设(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)7＋(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8，则a2＝( )
A．84 B．56
C．36 D．28
[答案] A
[解析] 依题意，a2＝Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,8)＝Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,8)＝Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(2,4)＋…＋Ceq \\al(2,8)＝…＝Ceq \\al(3,8)＋Ceq \\al(2,8)＝Ceq \\al(3,9)＝84，故选A．
5．(2024·湖北武汉九所重点中学联考)多项式(ax＋1)6的x2项系数比x3项系数多35，则其各项系数之和为( )
A．1 B．243
C．64 D．0
[答案] D
[解析] ∵x2项系数比x3项系数多35，∴Ceq \\al(4,6)a2－Ceq \\al(3,6)a3＝35，即3a2－4a3＝7，解得：a＝－1.∴(－x＋1)6＝Ceq \\al(0,6)x6－Ceq \\al(1,6)x5＋Ceq \\al(2,6)x4－Ceq \\al(3,6)x3＋Ceq \\al(4,6)x2－Ceq \\al(5,6)x1＋Ceq \\al(6,6)，令x＝1可得各项系数之和为(－1＋1)6＝0.故选D.
6．(2025·浙江L16联盟联考)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))n存在常数项，且常数项是20a3，则n＝( )
A．4 B．6
C．8 D．10
[答案] B
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)·xn－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)))r＝Ceq \\al(r,n)·xn－2r·ar，r＝0,1,2，…，n，令n－2r＝0，得n＝2r，n∈N*，所以它的常数项为Ceq \\al(r,2r)·ar，又已知常数项是20a3，所以r＝3，n＝6，故选B.
7．(2025·湖北部分学校开学考)(2x2－n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))3的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为( )
A．2 B．8
C．－5 D．－17
[答案] D
[解析] 令x＝1，可得(2－n)(1－2)3＝3，n＝5，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))3的通项为Tr＋1＝(－2)rCeq \\al(r,3)x3－2r(r＝0,1,2,3)知(2x2－5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))3的展开式中x3的系数为2×Ceq \\al(1,3)×(－2)＋(－5)×1＝－17.故选D.
8．(2024·安徽屯溪一中模拟)已知f(x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则下列描述正确的是( )
A．a1＋a2＋…＋a8＝1
B．f(－1)除以5所得的余数是1
C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38
D．2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8
[答案] B
[解析] 令x＝1得：a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1；令x＝0，得a0＝28，a1＋a2＋…＋a8＝1－28，因此A错误；f(－1)＝38＝94＝(10－1)4＝104－Ceq \\al(1,4)103＋Ceq \\al(2,4)102－Ceq \\al(3,4)10＋1＝10×(103－Ceq \\al(1,4)102＋Ceq \\al(2,4)101－Ceq \\al(3,4))＋1，因此B正确；因为(2－x)8二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)28－r(－x)r＝(－1)rCeq \\al(r,8)28－rxr，由通项公式知，(2－x)8二项展开式中偶数项的系数为负数，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝－a1＋a2－a3＋…＋a8，由(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝0，得到a0＝28，令x＝－1，得到a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，因此C错误；对原表达式的两边同时对x求导，得到－8×(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，令x＝1，得到a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，令x＝0，得a1＝－8×27，所以2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8＋8×27＝8(27－1)，所以选项D错误．故选B.
9．(2024·湖北宜荆荆随恩联考)若(4x－m)(x－2)5的展开式中的x3的系数为－600，则实数m＝( )
A．8 B．7
C．9 D．10
[答案] B
[解析] 由题意知，(x－2)5展开式的通项公式为Ceq \\al(r,5)x5－r(－2)r，故x3的系数为4×Ceq \\al(3,5)(－2)3－mCeq \\al(2,5)(－2)2＝－320－40m＝－600，解得m＝7.故选B.
二、多选题
10．(2025·江苏苏州开学测试)已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,\r(x))))6的展开式，则( )
A．二项式系数最大的项为第3项
B．常数项为第5项
C．展开式中含x3的项为60x3
D．展开式中所有项的系数和为64
[答案] BC
[解析] 由于n＝6，故二项式系数最大为Ceq \\al(3,6)，为第4项，A错误；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,\r(x))))6的展开式的通项为2rCeq \\al(r,6)x6－rx－eq \f(1,2)r＝2rCeq \\al(r,6)x6－eq \f(3,2)r，r＝0,1,2,3,4,5,6，令6－eq \f(3,2)r＝0，解得r＝4，故常数项为第5项，B正确；令6－eq \f(3,2)r＝3，则r＝2，故含x3的项为22Ceq \\al(2,6)x3＝60x3，C正确；在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,\r(x))))6中，令x＝1，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,\r(1))))6＝36＝729，D错误．故选BC.
11．(2025·福建泉州模拟)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2\r(x))))n(n∈N*)展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))8
C．系数最大项为第2项
D．有理项共有4项
[答案] AD
[解析] 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2\r(x))))n的展开式共有8项，所以n＝7.故所有项的二项式系数和为27＝128，故A正确；令x＝1，可得所有项的系数和为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))7≠eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))8，故B错误；因为二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,7)·x7－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2\r(x))))r＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))r·Ceq \\al(r,7)·x7－eq \f(3r,2).r＝0,1,2，…，7；当r∈N*,1≤r≤6，设Tr＋1项系数最大，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))r·C\\al(r,7)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))r－1·C\\al(r－1,7)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))r·C\\al(r,7)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))r＋1·C\\al(r＋1,7)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r≤\f(8,3)，,r≥\f(5,3)，))则r＝2，且T3＝Ceq \\al(2,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x4＝eq \f(21,4)x4，第3项系数为eq \f(21,4).当r＝0时，T1＝x7，系数为1；当r＝7时，T8＝Ceq \\al(7,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))7x－eq \f(7,2)＝eq \f(1,128)x－eq \f(7,2)，系数为eq \f(1,128)；由eq \f(1,128)