2026届高考数学一轮总复习提能训练练案36等差数列及其前n项和

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案36等差数列及其前n项和，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2024·陕西商洛模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且满足a2＝4，S4＝22，则S5＝( )
A．65 B．55
C．45 D．35
[答案] D
[解析] 设数列的公差为d，则S4＝(4－d)＋4＋(4＋d)＋(4＋2d)＝22，∴d＝3，∴a3＝a2＋d＝7，S5＝eq \f(5a1＋a5,2)＝5a3＝35.故选D．
2．(2023·湖北咸宁联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S5＝10，则{an}的公差为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
[答案] C
[解析] 由题意知a1＋a2＝3①，S5＝eq \f(5a1＋a5,2)＝10，即a1＋a5＝4②，②－①得3d＝1，∴d＝eq \f(1,3)，故选C．
3．(2024·九省联考试题)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝( )
A．120 B．140
C．160 D．180
[答案] C
[解析] ∵a3＋a7＝2a5，∴a5＝3，∴a5＋a12＝20，又∵a1＋a16＝a5＋a12，∴S16＝eq \f(16a1＋a16,2)＝160.故选C．
4．(2025·四川眉山一中期中)在等差数列{an}中，a6＝3，则a5＋a8－eq \f(1,3)a9＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 因为a6＝3，令{an}的公差为d，则a5＋a8－eq \f(1,3)a9＝a6－d＋a6＋2d－eq \f(1,3)(a6＋3d)＝eq \f(5,3)a6＝5，故选D．
5．(2025·山东青岛部分学校质检)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13的值为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
[答案] D
[解析] 由题设a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100⇒a7＝20，所以a1＋a13＝2a7＝40.故选D．
6．(2024·全国甲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝( )
A．－2 B．eq \f(7,3)
C．1 D．eq \f(2,9)
[答案] D
[解析] 解法一：由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝9a1＋eq \f(9×8,2)d＝1⇔9a1＋36d＝1，又a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝eq \f(2,9)(9a1＋36d)＝eq \f(2,9).故选D．
解法二：根据等差数列的性质，a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝eq \f(9a1＋a9,2)＝eq \f(9a3＋a7,2)＝1，故a3＋a7＝eq \f(2,9).故选D．
7．(2025·浙江名校新高考研究联盟联考)已知等差数列{an}前n项和为Sn，若eq \f(a7,a5)＝eq \f(12,13)，则eq \f(S13,S9)＝( )
A．eq \f(9,13) B．eq \f(12,13)
C．eq \f(7,5) D．eq \f(4,3)
[答案] D
[解析] 在等差数列{an}中，由eq \f(a7,a5)＝eq \f(12,13)，得eq \f(S13,S9)＝eq \f(\f(13a1＋a13,2),\f(9a1＋a9,2))＝eq \f(13a7,9a5)＝eq \f(13,9)×eq \f(12,13)＝eq \f(4,3).故选D．
8．(2025·山东新高考联合质量测评)已知{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若S90，则当Sn取得最小值时，n＝( )
A．3 B．6
C．7 D．8
[答案] C
[解析] 因为{an}为等差数列，若S90，则S9－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a70，故公差d＝a8－a7>0，当Sn取得最小值时，n＝7.故选C．
二、多选题
9．在等差数列{an}中，其前n项的和是Sn，若a1＝－9，d＝3，则( )
A．{an}是递增数列
B．其通项公式是an＝3n－12
C．当Sn取最小值时，n的值只能是3
D．Sn的最小值是－18
[答案] ABD
[解析] 由d＝3>0，可知等差数列{an}为递增数列，A正确；由题设，an＝a1＋(n－1)d＝－9＋3(n－1)＝3n－12，B正确；Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(3n2－21n,2)＝eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))2－\f(147,4),2)，故当n＝3或4时，Sn取最小值且为－18，故C错误，D正确．故选ABD．
10．(2025·江西赣州十八县期中联考改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a5＝26，S5＝45，则下列说法正确的是( )
A．nan的最小值为1
B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n2)))为递减数列
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为递增数列
D．nSn的最小值为1
[答案] ACD
[解析] 设数列{an}的公差为d，
由S5＝eq \f(5a1＋a5,2)＝5a3＝45，所以a3＝9.
又a3＋a5＝2a4＝26，a4＝13，所以d＝4，a1＝1，
所以an＝4n－3，Sn＝n(2n－1)．
nan＝n(4n－3)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(3,8)))2－eq \f(9,16)，所以当n＝1时，
nan的最小值为1，A正确；
eq \f(an,n2)＝－eq \f(3,n2)＋eq \f(4,n)，因为eq \f(a1,12)＝1，eq \f(a2,22)＝eq \f(5,4)，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n2)))不是递减数列，B错误；
eq \f(Sn,n)＝2n－1，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为递增数列，C正确；
nSn＝n2(2n－1)，令f(x)＝2x3－x2，所以f′(x)＝6x2－2x，令f′(x)>0，得xeq \f(1,3)，
所以f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))上单调递增，
所以当n＝1时，nSn取得最小值1，D正确．故选ACD．
三、填空题
11．(2025·浙江金华模拟)已知数列{an}为等差数列，a1＝1，a2＋a3＝8，则a6＝________.
[答案] 11
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝1，所以a2＋a3＝2a1＋3d＝2＋3d＝8，
解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝1＋5×2＝11.
12．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.
[答案] 25
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，
则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.
解得d＝1.
所以S10＝10×(－2)＋eq \f(10×9,2)×1＝25.
13．(2025·湖南郴州模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＋S7＝24，则19a3＋a11＝________.
[答案] 48
[解析] 由数列前n项和的性质可知：S3＋S7＝3a2＋7a4＝10a1＋24d＝24，即5a1＋12d＝12，则19a3＋a11＝20a1＋48d＝4(5a1＋12d)＝48.
四、解答题
14．(2025·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足an·Sn＝(Sn－1)2.
(1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn－1)))为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)证明：当n＝1时，由an·Sn＝(Sn－1)2得a1＝S1＝eq \f(1,2)，
当n≥2时，由an·Sn＝(Sn－1)2有(Sn－Sn－1)·Sn＝(Sn－1)2，
所以Sn＝eq \f(1,2－Sn－1)，则eq \f(1,Sn－1)－eq \f(1,Sn－1－1)＝eq \f(1,\f(1,2－Sn－1)－1)－eq \f(1,Sn－1－1)＝eq \f(2－Sn－1,Sn－1－1)－eq \f(1,Sn－1－1)＝eq \f(1－Sn－1,Sn－1－1)＝－1，
又eq \f(1,S1－1)＝－2.
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn－1)))是以－2为首项，以－1为公差的等差数列．
(2)由(1)知eq \f(1,Sn－1)＝－2－(n－1)＝－n－1，
所以Sn＝eq \f(n,n＋1).
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(n,n＋1)－eq \f(n－1,n)＝eq \f(1,nn＋1).
当n＝1时，a1＝eq \f(1,2)也满足an＝eq \f(1,nn＋1).
所以数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,nn＋1).
B组能力提升
1．(2025·黑龙江龙东地区联考)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若2a1＋3a11＝20，则S13＝( )
A．39 B．52
C．65 D．78
[答案] B
[解析] 设{an}公差为d，由2a1＋3a11＝20＝5a7，所以a7＝4.∴S13＝eq \f(13a1＋a13,2)＝eq \f(13×2a7,2)＝13a7＝52，故选B．
2．(2025·安徽六校测评)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝4，eq \f(S11,11)－eq \f(S7,7)＝－8，则当Sn取得最大值时，n的值为( )
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
[答案] C
[解析] eq \f(S11,11)－eq \f(S7,7)＝eq \f(\f(11×a1＋a11,2),11)－eq \f(\f(7×a1＋a7,2),7)＝eq \f(a11－a7,2)＝2d＝－8，则d＝－4，由于a5＝4，所以an＝4＋(n－5)×(－4)＝－4n＋24，则等差数列{an}是首项为正的单调递减数列，令an＝0，解得n＝6，所以当n＝5或6时，Sn取得最大值．故选C．
3．(多选题)(2025·山东济宁期中)设数列{an}前n项和为Sn，满足(an－1)2＝4(100－Sn)，n∈N*且a1>0，an＋an－1≠0(n≥2)，则下列选项正确的是( )
A．an＝2n－23
B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列
C．当n＝10时，Sn有最大值
D．设bn＝anan＋1an＋2，则当n＝8或n＝10时，数列{bn}的前n项和取最大值
[答案] BCD
[解析] 当n＝1时，(a1－1)2＝4(100－a1)，
解得a1＝19或a1＝－21，因为a1>0，所以a1＝19，
当n≥2时，由(an－1)2＝4(100－Sn)，n∈N*
得(an－1－1)2＝4(100－Sn－1)，n∈N*，
所以(an－1)2－(an－1－1)2＝4(100－Sn)－4(100－Sn－1)，
整理得(an＋an－1)(an－an－1＋2)＝0，
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＋2＝0，
即an－an－1＝－2，
所以数列{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，故A错误；
由an＝－2n＋21可知，
Sn＝19n＋eq \f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋20n，
所以eq \f(Sn,n)＝eq \f(－n2＋20n,n)＝－n＋20，
所以eq \f(Sn＋1,n＋1)－eq \f(Sn,n)＝－(n＋1)＋20－(－n＋20)＝－1，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是首项为19，公差为－1的等差数列，故B正确；
因为Sn＝－n2＋20n＝－(n－10)2＋100，n∈N*，
所以当n＝10时，Sn取得最大值，故C正确；
由an＝－2n＋21>0，得1≤n≤10，n∈N*，
由an＝－2n＋210，
当n＝9时，b9＝a9a10a110，
当n≥11时，n∈N*时，bn＝anan＋1an＋20，cn单调递增，当n≥3时，cn＋1－cn0，c5＝60－26＝60－640，当n≥5时，cn