2024-2025学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数a+i1+i是实数(i是虚数单位)，则实数a的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
2.在△ABC中，M为AB边上的中点，则CM=( )
A. 12CB+12CAB. −12CB−12CAC. 12CB+CAD. −CB+12CA
3.4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.6，则4人都没中靶的概率为( )
A. 0.256B. 0.016C. 0.0256D. 0.036
4.已知向量a=(1,−3)，b=(2,1)，则a在b上的投影向量为( )
A. (−15,−110)B. (15,110)C. (−25,−15)D. (25,15)
5.中国古代数学名著《九章算术》的商功章记载了圆锥型几何体的体积公式，“水曰：下周自乘，以高乘之三十六而一”，其意思是：已知圆锥的底面周长C，高ℎ，那么圆锥的体积公式是V=112πC2ℎ，若一圆锥的轴截面是边长为2 2的等边三角形，据依所给公式计算其体积为( )
A. 2 33πB. 2 3πC. 2 63πD. 2 6π
6.甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是( )
甲同学：中位数为22，众数为20
乙同学：中位数为25，平均数为22
丙同学：第40百分位数为22，极差为2
丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcsA+acsB=csinC，则△ABC为( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
8.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且PD=PA=3 2，AB=6，则四棱锥P−ABCD的外接球的体积为( )
A. 72 2πB. 27 6πC. 2432πD. 45 52π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件.则下列说法中不正确的是( )
A. 事件C发生的概率为110B. 事件C发生的频率为110
C. 事件C发生的概率接近110D. 每抽10台电视机，必有1台次品
10.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若复数z∈R，则z−∈R
B. 若复数z2∈R，则z∈R
C. 若复数m2+3m−4+(m2−2m−24)i=0，则实数m=1或m=−4
D. 若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z+1|=|z−i|，则x+y=0
11.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AA1=2，点P为CC1的中点，动点Q在侧面DCC1D1内(包含边界)，则下列结论正确的是( )
A. BD⊥AC1
B. 若点Q在线段D1C上，则四面体A1BPQ的体积为定值
C. 若A1Q= 7，则点Q轨迹的长度为π3
D. 若点E在直线A1B上，则AE+EP的最小值为 9+2 10
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为______分.
13.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则a+b>5的概率为______．
14.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为 3的正方形，PA=2 3，PA⊥平面ABCD，M为线段PA的中点，若空间中存在平面α满足BD//α，MC⊂α，记平面α与直线PD，PB分别交于点E，F，则PEED= ______，四边形MECF的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,3)，b=(1,−2)．
(1)求向量a，b的夹角的余弦值；
(2)若c=(3,t)，且2a−3b与c的夹角为钝角，求t的取值范围．
16.(本小题15分)
某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为10mg/片.由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．
(1)计算样本的平均数x−和方差s2；
(2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标(若|x−−10|>3.25 s210，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标)
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=1，BC=2，PB= 3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFFC=12．
(Ⅰ)求证：PA⊥平面ABCD；
(Ⅱ)在棱BP上是否存在点G，使得点G到平面AEF的距离为 39，若存在求出点G的位置，不存在请说明理由．
18.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，DC=2AD=4 2，∠BAD=π2，∠BDC=π6．
(1)若cs∠ABD= 53，求△ABD的面积；
(2)若∠C=∠ADC，求BC．
19.(本小题17分)
我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对(z1,z2)(z1,z2∈C)视为一个向量，记作α=(z1,z2).类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量α=(z1,z2)，β=(z3,z4)的数量积记作α⋅β，定义为α⋅β=z1z3−+z2z4−；复向量α的模定义为|α|= α⋅α．
(1)设α=(3,4)，β=(1−i,i)，求复向量α与β的模；
(2)已知对任意的实向量α与β，都有|α⋅β|≤|α||β|，当且仅当α与β平行时取等；
①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式|ac+bd|≤ a2+b2⋅ c2+d2成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量α与β，不等式|α⋅β|≤|α||β|仍然成立；
(3)当|α⋅β|=|α||β|时，称复向量α与β平行.设α=(1+i,2−i)，β=(i,z)，z∈C，若复向量α与β平行，求复数z的值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：a+i1+i=(a+i)(1−i)(1+i)(1−i)
=a+i−ai−i22
=a+12+1−a2i，
∵复数a+i1+i是实数(i是虚数单位)，
∴1−a2=0，解得a=1．
故选：C．
利用复数的代数形式的乘除运算，求出a+i1+i=a+12+1−a2i，再由复数a+i1+i是实数，能求出实数a的值．
本题考查复数的代数形式的乘除运算，解题时要认真审题，仔细解答．
2.【答案】A
【解析】解：如图，在△ABC中，M为AB边上的中点，则：
CM=12CB+12CA．
故选：A．
根据向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可得解．
本题考查了向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：每人中靶的概率都是0.6，
则每人不中靶的概率都是1−0.6=0.4，
故4人都没中靶的概率为0.44=0.0256．
故选：C．
根据对立事件和相互独立事件的概率公式即可求解．
本题主要考查对立事件和相互独立事件的概率公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】因为a=(1,−3)，b=(2,1)，
则a⋅b=2−3=−1,|b|= 5，
所以a在b上的投影向量为：
a⋅b|b|⋅b|b|=−15b=(−25,−15)．
故选：C．
根据条件，利用投影向量的定义，即可求解．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
由圆锥的轴截面为2 2的等边三角形，可得圆锥的底面圆半径和高，再代入体积公式即可．
本题以数学文化为载体考查圆锥的体积的求法，考查圆锥底面周长、圆周率、侧面积、轴截面面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：圆锥的轴截面是边长为2 2的等边三角形，
则其底面直径为2 2，半径为 2，
周长C=2 2π，
圆锥的高ℎ= 8−2= 6，
故其体积V=112πC2ℎ=112π×8π2 6=2 63π，
故选：C．
6.【答案】C
【解析】解：甲同学的5个数据的众数为20，中位数为22，则数据中必有20，20，22三个数，
余下两个数据都大于22且不相等，所有数据一定都不小于20；
乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，
当5个数据分别为16，18，25，25，26时，满足中位数为25，平均数为22，
但其中有两个小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20；
丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，
则5个数据由小到大排列后第二和第三个数只可能是22，22或21，23，
由极差为2知，所有数据一定都不小于20；
丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为x1，x2，x3，x4，
则方差s2=15[36+(x1−24)2+(x2−24)2+(x3−24)2+(x4−24)2]
=7.2+15[(x1−24)2+(x2−24)2+(x3−24)2+(x4−24)2]，
若x1，x2，x3，x4中有小于20的数，
s2≥7.2+5=12.2>10.8，不符合题意，因此x1，x2，x3，x4均不小于20．
故可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学．
故选：C．
利用中位数、众数、平均数百分位数及方差的意义逐项分析判断．
本题考查统计及有关概念，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由正弦定理得sinBcsA+sinAcsB=sin2C，
其中sinAcsB+csAsinB=sin(A+B)=sinC，
所以sinC=sin2C，
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，
故sinC=1，
因为C∈(0,π)，所以C=π2，
故△ABC为直角三角形．
故选：C．
由正弦定理和正弦和角公式化简得到sinC=1，求出C=π2，得到答案．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设AD的中点为E，设AC，BD交于点O，连接PE，EO，PO，
由于PD=PA=3 2,AD=AB=6，则PE⊥AD，
而平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，
故PE⊥平面ABCD，EO⊂平面ABCD，故PE⊥EO
AB=6，底面ABCD为正方形，则EO=3，
又PE= PD2−DE2= (3 2)2−32=3，故PO= PE2+EO2= 32+32=3 2，
而OA=OB=OC=OD=3 2，即O为四棱锥P−ABCD的外接球的球心，
则外接球的半径为3 2，故四棱锥P−ABCD的外接球的体积为43π×(3 2)3=72 2π．
故选：A．
设AD的中点为E，设AC，BD交于点O，结合面面垂直的性质求出PO的长，说明O为四棱锥P−ABCD的外接球的球心，确定半径，即可求得答案．
本题考查四棱锥的外接球问题，属中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：抽出的样本中次品率为110，即事件C发生的频率为110，
∴多次测得的频率围绕概率上下波动，但抽的样本比较少，不一定概率接近110，
概率描述的只是可能性，所以每抽10台电视机，不一定有1台次品，
故选：ACD．
算出样本中的次品率，进而求解结论．
本题主要考查利用频率估计概率，属于基础题目．
10.【答案】AD
【解析】解：复数z∈R，则z−∈R，故A正确；
令z2=−1∈R，但z=i∉R，故B错误；
若复数m2+3m−4+(m2−2m−24)i=0，
则m2+3m−4=0m2−2m−24=0，解得m=−4，故C错误；
复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z+1|=|z−i|，
则(x+1)2+y2=x2+(y−1)2，即x+y=0，故D正确．
故选：AD．
结合特殊值法，复数的概念，复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的概念，复数模公式，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对A选项，∵AC1在底面ABCD内的射影为AC，
又底面ABCD是边长为2的菱形，∴BD⊥AC，
∴根据三垂线定理可得BD⊥AC1，∴A选项正确；
对B选项，若点Q在线段D1C上，则四面体A1BPQ的体积为VQ−A1BP，
∵D1C//A1B，∴可得D1C/​/平面A1BP，又点Q在线段D1C上，
∴Q到平面A1BP的距离为定值，又△A1BP的面积也为定值，
∴四面体A1BPQ的体积为定值，∴B选项正确；
对C选项，过A1作A1N垂直D1C1于点N，
则由上底面与后侧面垂直，可得A1N垂直后侧面，且A1N= 3，ND1=1，
又A1Q= 7，∴NQ= ( 7)2−( 3)2=2，
∴Q是以N为圆心，2为半径的圆上的点，
又ND1=1，NQ=2，∴该圆与D1D的交点Q到N的距离为2，
∴Q在侧面DCC1D1内的圆弧所对的圆心角为π3，
∴点Q轨迹的长度为2π3，∴C选项错误；
对D选项，利用直棱柱ABCD−A1B1C1D1的所以棱长为2，可计算得：
A1B=2 2，BP= 5，A1P= 13，
再把△A1AB与△A1BP展开铺平，如下图：
根据余弦定理可得cs∠BA1P=8+13−52×2 2× 13=2 2 13，
∴sin∠BA1P= 1−813= 5 13，
∴cs∠AA1P=cs(∠BA1P+π4)= 22(2 2 13− 5 13)=4− 102 13，
∴根据余弦定理可得AP2=4+13−2×2× 13×4− 102 13=9+2 10，
∴AP= 9+2 10，故AE+EP的最小值为 9+2 10，∴D选项正确．
故选：ABD．
根据三垂线定理，三棱锥的体积公式，动点轨迹的求法，化空间为平面的思想，针对各个选项即可分别求解．
本题考查立体几何的综合应用，线线垂直的证明，三棱锥的体积问题，动点轨迹问题，距离最值的求解，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】86.25
【解析】解：依题意，前四个小矩形的面积之和为(0.004+0.006+0.020+0.030)×10=0.6，
前五个小矩形的面积之和为0.6+0.024×10=0.84>0.75，
因此75%分位数位于[80,90)内，
则80+10×0.75−−0.6=86.25，
所以估计这50名学生成绩的75%分位数为86.25分．
故答案为：86.25．
利用给定的频率分布直方图，借助频率估计75%分位数即可．
本题主要考查了频率分布直方图的性质，考查了百分位数的定义，属于基础题．
13.【答案】23
【解析】解：这个试验的等可能结果用下表表示：
共有12种等可能的结果，其中a+b>5的结果有8种，
所以a+b>5的概率为812=23．
故答案为：23．
根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可；
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
14.【答案】2 6
【解析】解：如图，过点C作BD的平行线QH分别交AD，AB的延长线于点Q，H，
易知D，B分别为AQ，AH的中点，
连接MQ，MH，分别交PD，PB于点E，F，则平面MQH即平面α，
取AD的中点G，因ABCD是正方形，则GD=12AD=12QD，连接MG，则MG//PD，
易得△QDE∽△QGM，
则QEQM=EDMG=QDQG=23，
所以ED=23MG=13PD，所以PEED=2．
连接EF，因为BD//α，平面α∩平面PBD=EF，BD⊂平面PBD，所以BD//EF，
所以EF//QH，HFHM=QEQM=23，
由图易得PD=PB，由BD/​/EF可得PE=PF，
由△PEM≅△PFM得ME=MF，从而MQ=MH，
由AC⊥QH可得C为QH的中点，
由AB= 3，可得BD= 6，
QH=2 6，MC= MA2+AC2= ( 3)2+( 6)2=3，
因S△QCE=S△HCF=12×23S△MQH=13S△MQH，
故四边形MECF的面积S=(1−2×13)S△MQH=13S△MQH=16QH×MC=16×2 6×3= 6．
故答案为：2； 6．
根据题意作出平面α即平面MQH，取AD中点G，利用△QDE∽△QGM和MG=12PD可求得PEED的值；通过线面平行的性质得到EF//QH，HFHM=23，推理得到S△QCE=SHCF=13S△MQH，故可间接法求得四边形MECF的面积．
本题主要考查棱锥的截面位置和面积问题，属于难题．
15.【答案】− 22．
(−∞,−36)∪(−36,14)．
【解析】(1)因为向量a=(1,3)，b=(1,−2)，
所以a⋅b=1−6=−5，|a|= 1+9= 10，|b|= 1+4= 5，
所以向量a，b夹角的余弦值为cs=a⋅b|a||b|=−5 10× 5=− 22．
(2)因为2a−3b=(2,6)−(3,−6)=(−1,12)，c=(3,t)，
由夹角为钝角知，(2a−3b)⋅c=−3+12t