湖北省随州市部分高中2024_2025学年高二数学下学期2月联考试题含解析

这是一份湖北省随州市部分高中2024_2025学年高二数学下学期2月联考试题含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
考试范围：
选择性必修一第一、二。三章；选择性必修二第四章
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答
题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答
案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
1、如图,在平行六面体 ABCD⁃A1B1C1D1 中,AC 与 BD 的交点为点 M,设 =a,
=b, =c,则下列向量中与 相等的向量是( )
A.- a+ b+c B. a+ b+c C.- a- b-c D.- a- b+c
2、已知直线 l 过点 A(a,0)且斜率为 1,若圆 x2+y2=4 上恰有 3 个点到 l 的距离为 1,
则实数 a 的值为( )
A.3 B.±3 C.±2 D.±
3、设圆 x2+y2-2x-2y-2=0 的圆心为 C,直线 l 过(0,3)且与圆 C 交于 A,B 两点,若|
AB|=2 ,则直线 l 的方程为( )
A.3x+4y-12=0 或 4x-3y+9=0 B.3x+4y-12=0 或 x=0
C.4x-3y+9=0 或 x=0 D.3x-4y+12=0 或 4x+3y+9=0
4、如图,在长方体 ABCD⁃A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=3,E 为线段 AB 上一点,且 AE=
AB,则 DC1 与平面 D1EC 所成角的正弦值为( )
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A. B. C. D.
5、若直线(2m-1)x+my+1=0 和直线 mx+3y+3=0 垂直,则实数 m 的值为( )
A.1 B.0 C.2 D.-1 或 0
6、已知数列{an}的通项公式为 an= ,若数列{an}为递减数列,则实数 k 的取值
范围为( )
A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.(1,+∞) D.(3,+∞)
7、等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8、已知 an= ,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2 025 的值为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选
项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选
错的得 0 分。
9、(多选题)若直线 l 过点 A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线 l 的方
程可能为( )
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0 C.2x-y=0 D.x-y-1=0
10、(多选题)顶点在原点,且过点 P(-2,3)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=- x B.y2= x C.x2= y D.x2=- y
11、(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了类似如图所示的
图形,后人称为“三角垛”(如图所示的是一个 4 层的“三角垛”。“三角垛”最上层有 1
个球,第二层有 3 个球,第三层有 6 个球……设第 n 层有 an 个球,从上往下 n 层球的
总数为 Sn,则下列所有说法中正确的有( )
A.an-an-1=n+1(n≥2) B.a2 025=2 025×1 013
C.S7=84 D.
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三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12、若直线 l 的方向向量 a=(1,2,-1),平面α的一个法向量 m=(-2,-4,k),且 l⊥α,则实
数 k= 。
13、椭圆 =1 上的点到直线 x-2y+8=0 的距离的最小值为 。
14、 已 知 等 比 数 列 的 首 项 为 -1,前 n 项 和 为 Sn,若 ,则 q 的 值 为
。
四、解答题：本题共 5 小题，共 75 分
15、（本小题满分 12 分）
如图,已知平行六面体 ABCD⁃A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,AA1=2,
∠A1AB=∠A1AD=120°。
(1)求线段 AC1 的长;
(2)求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值;
(3)求证:AA1⊥BD。
16、（本小题满分 12 分）
如图,平行六面体 ABCD⁃A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与
BD 的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°。
(1)证明:C1O⊥平面 ABCD;
(2)求二面角 B⁃AA1⁃D 的正弦值。
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17、（本小题满分 12 分）
如图,在平面直角坐标系 Oxy 中,焦点在 x 轴上的椭圆 C: =1 经过点(b,2e),其
中 e 为椭圆 C 的离心率。过点 T(1,0)作斜率为 k(k>0)的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两
点(A 在 x 轴下方)。
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)过原点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M,N,求 的值;
(3)记直线 l 与 y 轴的交点为 P,若 ,求直线 l 的斜率 k。
18、（本小题满分 12 分）
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),满足 3a2+2a3=S5+6。
(1)若数列{Sn}为单调递减数列,求 a1 的取值范围;
(2)若 a1=1,在数列{an}的第 n 项与第(n+1)项之间插入首项为 1,公比为 2 的等比数
列的前 n 项,形成新数列{bn},记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 T95。
19、（本小题满分 12 分）
已知等差数列{an}满足 a6=6+a3,且 a3-1 是 a2-1,a4 的等比中项。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 bn= (n∈N*),数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求使 Tn< 成立的最大正整数 n
的值。
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高二数学试题答案
一、选择题：
1、C 解析 ( )= a
- b-c。故选 C。
2、D 解析 直线 l 的方程为 y=x-a,即 x-y-a=0。因为圆 x2+y2=4 上恰
有 3 个点到 l 的距离为 1,所以圆心(0,0)到直线 l 的距离为 1,故 =1,解
得 a=± 。故选 D。
3、 B 解 析 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 ,其 方 程 为 x=0,则 由
所 以
|AB|=2 ,符合题意。当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx
+3,因为圆x2+y2-2x-2y-2=0即(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心为C(1,1),圆的半
径 r=2,易知圆心 C(1,1)到直线 y=kx+3 的距离 d= ,d2+
=r2,所以 +3=4,解得 k=- ,所以直线 l 的方程为 y=- x+3,即
3x+4y-12=0。综上,直线 l 的方程为 3x+4y-12=0 或 x=0。故选 B。
4、A 解析 如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建
立空间直角坐标系,则 C1(0,3,1),D1(0,0,1),E(1,1,0),C(0,3,0),所以 =(0,3,1), =
(1,1,-1), =(0,3,-1)。 设 平 面 D1EC 的 法 向 量 为 n=(x,y,z),则
取 y=1,得 n=(2,1,3)是平面 D1EC 的一个法向量。
所以 cs< ,n>= ,所以 DC1 与平面 D1EC 所成角的正弦值为 。
故选 A。
5、D 解析 由两直线垂直可得 m(2m-1)+3m=0,解得 m=0 或 m=-1。故
选 D。
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6、A 解析 因为数列{an}为递减数列,所以对任意 n∈N*,an+1-an=
3-3n 对任意 n∈N*恒成立,所以 k∈(0,
+∞)。故选 A。
7、C 解析 :由题意知 Sm= =0,所以
a1=-am=-(Sm-Sm-1)=-2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以公差 d=am+1-am=1,所以 3=am
+1=-2+m,所以 m=5,故选 C。
8、B 解析 an= ,故 S2 025=a1+a2+…+a2 025=1-
+…+ 。故选 B。
二、选择题：
9、ABC 解析 当直线经过原点时,斜率为k= =2,所求的直线方程
为y=2x,即2x-y=0;当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点
A(1,2)代入可得 1-2=k 或 1+2=k,求得 k=-1 或 k=3,故所求的直线方程为
x-y+1=0 或 x+y-3=0。综上,所求的直线方程为 2x-y=0,x-y+1=0 或 x
+y-3=0。故选 ABC。
10、AC 解析 设抛物线的标准方程是 y2=kx 或 x2=my,代入点 P
(-2,3),解得 k=- ,m= ,所以 y2=- x 或 x2= y。故选 AC。
11、BCD 解析对于 A,由题意,得 a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2),
故 A 错误。对于 B,以上 n 个式子累加可得 an=1+2+…+n= (n≥2),
又 a1=1 满足上式,所以 an= ,a2 025= =2 025×1 013,故 B 正
确 。 对 于 C,由 an= ,可 得 S7=
=84,故 C 正确。对于
D,由 ,得 +…+
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,
故 D 正确。故选 BCD。
三、填空题：
12、 2 。
解析 因为 l⊥α,所以 l 的方向向量 a=(1,2,-1)与平面的法向量 m=(-2,-4,k)共线,所
以存在实数λ,使 a=λm,即
13、 。
解析 设与直线 x-2y+8=0 平行且与椭圆 =1 相切的直线方程为
x-2y+m=0。 由 消 去 x 并 整 理 可 得 25y2-16my
+4m2-36=0,所以Δ=256m2-400(m2-9)=0,可得m=±5。当m=5,即切线方程
为 x-2y+5=0 时,切线与直线 x-2y+8=0 的距离为 ;当 m=-5,即
切 线 方 程 为 x-2y-5=0 时 ,切 线 与 直 线 x-2y+8=0 的 距 离 为
=1 上的点到直线 x-2y+8=0 的距离的最小
值为 。
14、 。
解 析 当 q=1 时 , ,所 以 q≠1。 当 q≠1 时 ,
,所以 q= 。
四、解答题：本题共 5 小题，共 75 分 15、（本小题满分 12 分）
解 (1)设 =a, =b, =c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底,则
|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,c·a=c·b=2×1×cs 120°=-1。 因 为
=a+b+c,所 以 | |=|a+b+c|=
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。
所以线段 AC1 的长为 。
(2)设 异 面 直 线 AC1 与 A1D 所 成 的 角 为 θ,则 cs θ=|cs< ,
=a+b+c, =b-c,所 以 ·
=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,|
。所以 cs
θ= 。故异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值为 。
(3)证 明 :因 为 =c, =b-a,所 以 · =c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,所 以
,即 AA1⊥BD。
16、（本小题满分 12 分）
解 (1)证 明 : ( ),因 为 ·
·( )=( · · )+ ( )
=0,所以 C1O⊥BD。因为 CC1=2,CO= ,∠C1CO=45°,所以 C1O= ,所以 C1O2
+OC2=C ,所以 C1O⊥OC,又因为 BD∩OC=O,且 BD,OC⊂平面 ABCD,所以 C1O⊥
平面 ABCD。
(2)如图建立空间直角坐标系,则 B( ,0,0),A(0,- ,0),C1(0,0, ),C(0, ,0),所以
A1(0,-2 , ),D(- ,0,0),所以 =( , ,0), =(0,- , ), =(- , ,0),
设平面 AA1B 与平面 AA1D 的一个法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则有
不 妨 取 x1=x2=1,则 n1=
(1,-1,-1),n2=(1,1,1)。设二面角 B⁃AA1⁃D 的平面角为θ,则|cs θ|= ,
sin θ= 。所以二面角 B⁃AA1⁃D 的正弦值为 。
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17、（本小题满分 12 分）
解 (1)由椭圆过点(b,2e),得 =1,又 a2=8,e2= ,
所以 =1,解得 b2=4 或 b2=8(舍去),所以椭圆 C 的方程为
=1。
(2)设直线 l 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线 l 与椭圆的方
程可得 整理可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0,所以 x1
+x2= ,x1x2= ,y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=k2
,所 以 |AT|·|BT|= ·
·
,由题意设直线 MN 的方程为 y=kx,代入椭圆的方程可得
x2+2k2x2=8,所以 x2= ,所以 y2= ,所以|MN|2=4(x2+y2)=4· ,
所以 ,即 。
(3)设直线 l 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),令 x=0 可得 yP=-k,所以 P
(0,-k),联立直线 l 与椭圆的方程可得 整理可得(1
+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0,所 以 x1+x2= ① ,x1x2= ② , =
(-x1,-k-y1), =(x2-1,y2),因 为 ,所 以 -x1= (x2-1),所 以 x1+
③,综合①②③,得 50k4-83k2-34=0,解得 k2=2,又 k>0,所以 k=
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。所以直线 l 的斜率 k 为 。
18、（本小题满分 12 分）
解 (1)解 法 一 :记 {an}的 公 差 为 d,由 3a2+2a3=S5+6,得 3
(a1+d)+2(a1+2d)=5a1+ d+6,
解得 d=-2,所以 Sn=na1+ ×(-2)=-n2+(a1+1)n。若数列{Sn}为单调递
减数列,则 Sn+1-Sn