2024-2025学年甘肃省酒泉市普通高中高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省酒泉市普通高中高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列条件中能得到a=b的是( )
A. a=bB. a与b的方向相同
C. a=b，且a→/\!/b→D. a=0且b=0
2.从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是( )
A. 至少有2个红球B. 至少有2个黄球C. 都是黄球D. 至多1个红球
3.设a为实数，复数z1=a−2i，z2=−1+ai，若z1+z2为纯虚数，则z1z2=( )
A. 1+3iB. −1C. −6+6iD. −3+3i
4.下列命题是真命题的是( )
A. 已知数据x1,x2,⋅⋅⋅,x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1,x2,⋅⋅⋅,x10相对于原数据一样稳定
B. 若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为7，则这两组数据中较稳定的是乙
C. 数据1，2，3，4，4，5的平均数、中位数相同
D. 数据1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6的众数是2和4
5.给出下列4个命题，其中正确的命题是( )．
①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行；
③垂直于同一直线的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两个平面平行．
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
6.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a+c)(a−c)+b(a+b)=0，则C等于( )
A. 90°B. 60°C. 120°D. 150°
7.已知sin(45°+α)= 55，则sin 2α等于( )
A. −45B. −35C. 35D. 45
8.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=1，AA1= 2，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A. 32π3B. 4π3C. 2πD. 4π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )
A. 任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12
B. 每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16
C. 每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12
D. 每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16
10.已知向量a与b的夹角为30°，且a=1，2a−b=1，则下列结论成立的是( )
A. b= 3B. a⋅b= 32
C. b⊥2a−bD. a在b方向上的投影是32
11.下列选项中，与cs(−25π3)的值相等的是( )
A. 2cs15°cs75°B. sin86°cs56°−cs86°sin56°
C. 11+tan3°1+tan42°D. cs45°cs15°+cs45°cs75°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(3,1)，b=(−6,k)，若a→/\!/b→，则k= ．
13.已知向量OA对应的复数为z=−1+i，复数zi可以将向量OA按逆时针方向旋转 得到(填最小正角)．
14.在四面体S−ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC= 5，AC= 3，则该四面体体积的最大值为 ，此时该四面体外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等腰三角形顶角的余弦值为35，求这个三角形底角的正弦、余弦以及正切值．
16.(本小题15分)
已知M、N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点．
(1)求证：MN=12AD+BC；
(2)若四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边AD的中点，求证：AN⊥BE；
(3)若四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是AD边上的动点，求BE⋅BC的最大值．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c= 2+1．
(1)若▵ABC外接圆的面积为π，B=30°，求C；
(2)若sinA+ 3csA=2，求▵ABC面积的最大值．
18.(本小题17分)
“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：40,50,50,60，……，90,100，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同．
(i)任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
(ii)任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n的值．
19.(本小题17分)
如图，在四面体ABCD中，AB=AD，BC=CD=2，E为BD的中点，F为AC上一点．
(1)求证：平面ACE⊥平面BDF；
(2)若M，N分别是AB，BC的中点，求证：DF/\!/平面EMN；
(3)若∠BCD=90°，∠BAD=60°，AC= 3BC．
①求二面角A−BD−C的余弦值；
②求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.D
5.C
6.C
7.B
8.B
9.ACD
10.AC
11.ABC
12.−2
13.π2/90°
14. 306；8π
15.解：设等腰三角形的顶角为α，底角为β，依题意，csα=35，
因为α+2β=π，所以β∈(0,π2)，cs2β=csπ−α=−csα=−35，
由cs2β=2cs2β−1=−35，解得csβ= 55，sinβ= 1−cs2β=2 55，
所以tanβ=sinβcsβ=2．

16.解：(1)如图(1)，MN=AN−AM=AD+DN−12AB=AD+12DC−12AB
=AD+12AC−AD−12AB=12AD+12AC−12AB=12AD+12(AC−AB)=12(AD+BC)．
(2)以点A为坐标原点建立如图(2)所示的平面直角坐标系，依题意，
有A(0,0)，D(2,0)，N(2,1)，B(0,2)，C(2,2)，E(1,0)，
则AN=(2,1)，BE=(1,−2)，由AN⋅BE=2×1+1×(−2)=0，可得AN⊥BE．
(3)由(2)，设AE=x，x∈[0,2]，则E(x,0)，BC=(2,0)，BE=(x,−2)，BE⋅BC=2x，
因为x∈[0,2]，所以当x=2时，BE⋅BC的最大值为4．

17.解：(1)设▵ABC外接圆的半径为R，依题意，πR2=π，得R=1，
由正弦定理可得bsinB=2R，所以b=2RsinB=2×sin30°=2×12=1，
又因为b+c= 2+1，b=1，所以c= 2，由正弦定理，sinC=c2R= 22，
由C∈0,π且c>b，得C=π4或3π4(即C=45°或C=135°)
(2)由sinA+ 3csA=2，化简得sinA+π3=1，
因A∈0,π，故A+π3=π2，解得A=π6，则S▵ABC=12bcsinA=14bc，
因为b+c= 2+1，所以S▵ABC=14bc≤14(b+c2)2=3+2 216，当且仅当b=c= 2+12时等号成立，
所以▵ABC面积的最大值为3+2 216．

18.解：(1)由频率分布直方图有10a=1−10×0.005+0.010×2+0.020+0.025，
解得a=0.030，
因为10×0.005+0.010+0.020=0.35