2024-2025学年甘肃省酒泉市普通高中高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省酒泉市普通高中高一下学期期末考试数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列条件中能得到a=b的是( )
A. a=bB. a与b的方向相同
C. a=b，且a→/\!/b→D. a=0且b=0
2.从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是( )
A. 至少有2个红球B. 至少有2个黄球C. 都是黄球D. 至多1个红球
3.设a为实数，复数z1=a−2i，z2=−1+ai，若z1+z2为纯虚数，则z1z2=( )
A. 1+3iB. −1C. −6+6iD. −3+3i
4.下列命题是真命题的是( )
A. 已知数据x1,x2,⋅⋅⋅,x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1,x2,⋅⋅⋅,x10相对于原数据一样稳定
B. 若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为7，则这两组数据中较稳定的是乙
C. 数据1，2，3，4，4，5的平均数、中位数相同
D. 数据1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6的众数是2和4
5.给出下列4个命题，其中正确的命题是( )．
①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行；
③垂直于同一直线的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两个平面平行．
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
6.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a+c)(a−c)+b(a+b)=0，则C等于( )
A. 90°B. 60°C. 120°D. 150°
7.已知sin(45°+α)= 55，则sin 2α等于( )
A. −45B. −35C. 35D. 45
8.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=1，AA1= 2，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A. 32π3B. 4π3C. 2πD. 4π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )
A. 任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12
B. 每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16
C. 每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12
D. 每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16
10.已知向量a与b的夹角为30°，且a=1，2a−b=1，则下列结论成立的是( )
A. b= 3B. a⋅b= 32
C. b⊥2a−bD. a在b方向上的投影是32
11.下列选项中，与cs(−25π3)的值相等的是( )
A. 2cs15°cs75°B. sin86°cs56°−cs86°sin56°
C. 11+tan3°1+tan42°D. cs45°cs15°+cs45°cs75°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(3,1)，b=(−6,k)，若a→/\!/b→，则k= ．
13.已知向量OA对应的复数为z=−1+i，复数zi可以将向量OA按逆时针方向旋转 得到(填最小正角)．
14.在四面体S−ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC= 5，AC= 3，则该四面体体积的最大值为 ，此时该四面体外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等腰三角形顶角的余弦值为35，求这个三角形底角的正弦、余弦以及正切值．
16.(本小题15分)
已知M、N分别是四边形ABCD的边AB，CD的中点．
(1)求证：MN=12AD+BC；
(2)若四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边AD的中点，求证：AN⊥BE；
(3)若四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是AD边上的动点，求BE⋅BC的最大值．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c= 2+1．
(1)若▵ABC外接圆的面积为π，B=30°，求C；
(2)若sinA+ 3csA=2，求▵ABC面积的最大值．
18.(本小题17分)
“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：40,50,50,60，……，90,100，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同．
(i)任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
(ii)任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n的值．
19.(本小题17分)
如图，在四面体ABCD中，AB=AD，BC=CD=2，E为BD的中点，F为AC上一点．
(1)求证：平面ACE⊥平面BDF；
(2)若M，N分别是AB，BC的中点，求证：DF/\!/平面EMN；
(3)若∠BCD=90°，∠BAD=60°，AC= 3BC．
①求二面角A−BD−C的余弦值；
②求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值．
答案解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据相等向量的定义即可逐一判断各选项．
【详解】因a=b等价于a,b长度相等，方向相同．
对于A，由a=b不能确定a,b方向是否相同，故A错误；
对于B，a与b的方向相同，但长度不确定是否相等，故B错误；
对于C，当a=b，且a→/\!/b→时，若a,b的方向相反，则a=b不成立，故C错误；
对于D，当a=0且b=0时，a,b长度相等，方向相同，故D正确．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】先对至少有1个红球进行情况分析，再结合对立事件的定义求解即可．
【详解】由题意得若发生“至少有1个红球”，则取出红球的数量为1个，2个，3个，
由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，
即取到的都是黄球，故C正确．
故选：C
3.【答案】A
【解析】【分析】根据纯虚数求得a=1，代入z1,z2，利用复数的乘法运算即可求出z1z2．
【详解】因为z1+z2=a−2i+(−1+ai)=a−1+(a−2)i为纯虚数，
可得a−1=0a−2≠0，解得a=1，
则z1=1−2i，z2=−1+i，故z1z2=(1−2i)⋅(−1+i)=1+3i．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据一组数据的平均值，方差计算公式，以及中位数，众数定义即可逐一判断．
【详解】对于A，依题意数据x1,x2,⋅⋅⋅,x10相对于原数据少了个数据“2”，因原数据平均值为2，故平均值没变化．
由题意111[(x1−2)2+(x2−2)2+⋯+(x10−2)2+(2−2)2]=1，
则(x1−2)2+(x2−2)2+⋯+(x10−2)2=11，
而数据x1,x2,⋅⋅⋅,x10的方差为s2=110[(x1−2)2+(x2−2)2+⋯+(x10−2)2]=1110≠1，故稳定性不同，即A错误；
对于B，因s甲2