第16讲 角 2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）

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1.掌握角的概念与表示；
2.掌握角的性质和角平分线，会角之间的运算；
3.掌握余角和补角的概念，会求某个角的余角和补角.
1 角
(1)概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。(或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形)
两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边.
(2)平角和周角
一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。
终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角.
2 角的表示
① 用数字表示单独的角，如∠1，∠3等；
② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β等；
③ 用一个大写英文字母表示一个独立(在顶点处只有一个角)的角，如∠A，∠B等；
④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧.
3 角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作1°，n度记作n°。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作1'；
把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1分记作1''；
1°=60'，1'=60''。
4 角的性质
(1)角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关；
(2)角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算.
5 角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。
6 余角和补角
(1)如果两个角的和等于90°(直角)，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。
用数学语言表示，如果∠α+∠β=90°，那么∠α和∠β互余；
反过来，如果∠α和∠β互余，那么∠α+∠β=90°；
(2)如果两个角的和等于180°，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。
用数学语言表示，如果∠α+∠β=180°，那么∠α和∠β互补；
反过来，如果∠α和∠β互补，那么∠α+∠β=180°；
(3)同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
【题型一】 角的概念与表示
相关知识点讲解
1 角
(1)概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。(或者看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形)
两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边.
(2)平角和周角
一条射线绕着它的端点旋转，当终点和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。
终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角.
2 角的表示
① 用数字表示单独的角，如∠1，∠3等；
② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β等；
③ 用一个大写英文字母表示一个独立(在顶点处只有一个角)的角，如∠A，∠B等；
④ 用三个大写英文字母表示角是，一定要把顶点字母写在之间，边上的字母写在两侧.
【例】如下图，有角∠A，∠C，∠1=∠ABD，∠ABC，∠α=∠ADB.

【典题1】 如图所示，下列说法中正确的是( )
A．∠ADE就是∠D B．∠ABC可以用∠B表示
C．∠ABC和∠ACB是同一个角D．∠BAC和∠DAE是不同的两个角
变式练习
1.下列四个图中，能用∠1，∠AOB和∠O表示同一个角的是( )
A．B． C．D．
2.下列四个图中，能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的是( )
A．B．C．D．
3.下列标注的四个角中，最小的角是( )
A． B． C． D．
【题型二】 度分秒的换算
相关知识点讲解
角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作1°，n度记作n°。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作1'；
把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1分记作1''；
1°=60'，1'=60''。
【典题1】 )若∠A=12°12'，∠B=20∘15'30″，∠C=20.25∘，则( )
A．∠A>∠B>∠CB．∠B>∠C>∠A
C．∠A>∠C>∠BD．∠C>∠A>∠B
变式练习
1. 若∠1=30.5°，∠2=30°30'，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1=∠2B．∠1>∠2C．∠1∠B>∠C B．∠B>∠A>∠C
C．∠A>∠C>∠B D．∠C>∠A>∠B
【题型三】 有关角的计算
相关知识点讲解
1角的性质
(1)角的大小与边的长度无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关；
(2)角的大小可以度量，可以比较，可以参与运算.
2角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这角射线叫做这个角的平分线。
如下图，BD是∠ABC的角平分线，则∠ABD=∠DBC=12∠ABC(或∠ABC=2∠ABD=2∠DBC).
【典题1】 如图，已知O是直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠BOC，求∠AOD度数．
∵O是直线AB上一点
∴∠AOB= ．
∵∠AOC=50°
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC= ．
∵OD平分∠BOC
∴∠COD=12 ＝ °
∴∠AOD=∠AOC+∠COD= ．
【典题2】 如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB,∠BOC=3∠BOE，若∠DOE=70°，求∠EOC的度数．
变式练习
1. 如图，OD平分∠BOC，∠AOC=110°， 则∠COD度数为( )
A．25°B．30°C．35°D．45°
2.如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，OD平分∠BOC，则∠AOD等于( )
A．65°B．70°C．75°D．80°
3.如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOB=100°，则∠AOC的度数为( )

A．40°B．30°C．45°D．50°
4.如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作射线OF、OE、OG，∠EOF=∠COG=90°，OA平分∠COF，∠BOD:∠DOE=2:1，则∠COF的大小为( )
A．72°B．45°C．60°D．40°
5.已知∠AOB=90°，射线OC，OD在∠AOB内部，OC平分∠BOD，OD平分∠AOC，则∠COD= °．

6.如图，∠BAD=90°，射线AC平分∠BAE，当∠DAE=46°时，∠CAD= ．
7.如图，已知AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD
(1)若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
(2)若∠AOE:∠BOD=7:4，求∠AOD的度数．
8.如图，E是直线AC上一点，EF，EG分别是∠AEB，∠BEC的平分线．
(1)如果∠BEF=25°，求∠BEG的度数．
(2)试问∠BEF与∠BEG有什么数量关系？请说明理由．
【题型四】 余角与补角
相关知识点讲解
余角和补角
(1)如果两个角的和等于90°(直角)，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。
用数学语言表示，如果∠α+∠β=90°，那么∠α和∠β互余；反过来，如果∠α和∠β互余，那么∠α+∠β=90°；
(2)如果两个角的和等于180°，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。
用数学语言表示，如果∠α+∠β=180°，那么∠α和∠β互补；反过来，如果∠α和∠β互补，那么∠α+∠β=180°；
(3)同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.

【典题1】 若一个角的补角比它的余角的3倍少24°，求这个角的度数．

【典题2】如图，直线AB,CD相交于点O，OD平分∠BOE，∠DOE+∠FOE=90°．
(1)求证：OF是∠AOE的平分线；
(2)若∠AOC:∠AOD=1:5，求∠EOF的度数．
变式练习
1. 已知∠1的余角是50°，∠2的补角是140°，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1>∠2B．∠1