2024-2025学年陕西省咸阳市永寿县八年级下学期期末质量监测数学检测试卷

这是一份2024-2025学年陕西省咸阳市永寿县八年级下学期期末质量监测数学检测试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
永寿县 2024~2025 学年度第二学期期末质量监测
八年级数学（北师大版）
考生注意：本试卷共 8 页，满分 120 分，时间 120 分钟．
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分．计 24 分．每小题只有一个选项是符合题 目要求的）
1 ．若分式 有意义，则 x 的取值范围是( )
D．
A ．x = 3 B ．x < 3 C ．x ≠ 3 x > 3
2 ．下列纹样图是中心对称图形的是( )
A ． B ．C．
D ．
3 ．下列不等式变形正确的是()
A ．若a < b ，则 1 + a < 1 + b B ．若a < b ，则 ax2 < bx2
C ．若ac > bc ，则 a > b D ．若m > n ，则 m -1< n -1
4．如图所示，在等腰 △ABC 中，AB = AC ，BD 为AC 边上的高线，AE Ⅱ BD ，且AE 交CB 的延长线于点 E ．若上BAC = 70° ,则 Ð AEC 的度数为( )
A ．30° B ．20° C ．35° D ．25°
5 ．在四边形ABCD 中，AB∥CD ，对角线AC ，BD 交于点 O，添加下列一个条件，仍不能 使四边形ABCD 为平行四边形的是( )
A ．AB = CD B ．BC = AD C ．BC∥AD D ．上ADB = 上CBD
6 ．如图，在 △ABC 中，AB = AC = 8 ，AN 平分ÐBAC 交BC 于点 N，点 M 在BA 上，且 AM = 3 ，连接CM ，P 为CM 的中点，连接PN ，则 PN 的长为( )
A ．2.4 B ．2 C ．1.5 D ．2.5
7 ．如图，直线y = -2x + 2 与直线y = kx + b （k, b 为常数，k ≠ 0 ）相交于点 A(m, 4) ，则关 于x 的不等式-2x + 2 < kx + b 的解集为( )
A ．x > -1 B ．x < -2 C ．x < -1 D ．x > -2
8 ．如图，O 是平行四边形ABCD 的中心，过O 点的两条直线与对角线AC 将平行四边形分 成阴影和空白部分．若上ABC = 135° , AB = 2 ， ，则阴影部分的面积为( )
A ．3 B ．3 C ．6 D ．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9 ．因式分解：2x + xy = ．
10 ．如图在正六边形ABCDEF ，连接FD ，FC ，则 上CFD = ° .
11 ．不等式2x - 3 < 2 的正整数解的个数为 ．
12 ．如图，在 △ABC 中，上C = 90°, 上B = 30° , AD 是 ÐBAC 的角平分线，DE 丄 AB ，垂 足为 E，DE = 1 ，则 BC = ．
13 ．如图， △ABC 中，上A = 60° , AC = 4 ，D 为AB 边上一点，将△ABC 绕点C 顺时针旋 转得到△A¢B ¢C ，点A¢ 落在线段BC 上，此时A 、C 、B¢ 三点也恰好共线，点D 的对应点为 D¢ ,连接DD¢ ,则 DD¢ 长度的最小值为 ．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14 ．因式分解：m2 (n - 2) - 25(n - 2)．
15 ．解不等式组
16 ．解方程
17．如图，已知四边形ABCD ，请用尺规作图法，在四边形ABCD 内部求作一点 P，使点 P 到上BCD 两边的距离相等，且PB = PC ．（保留作图痕迹，不写作法）
18 ．如图，AB 丄 CD ，ED 丄 CD ，垂足分别为 B，D，且 EC = CA ，ED = CB ．求证：
上ECD = 上CAB ．
19 ．如图，在平面直角坐标系中， △ABC 的三个顶点的坐标分别为
A (-2, -2), B (3,1), C (0, 2) ．将 △ABC 平移后顶点 A 的对应点为A1 (-3,0) ，点 B ，C 的对应点 分别为B1 ，C1 ．
(1)画出平移后的三角形A1B1C1 ；
(2)点C1 的坐标为________．
20 ．先化简，再求值 其中a = 1．
21 ．数学实践小组开展测量篮球架篮板AB 的高度的实践活动．测量方案如下表：
课题
测量篮球架篮板AB 的高度
测量
工具竹竿、测角仪、皮尺等
测量方案 示意图
测量步骤
（1）将竹竿 HE 垂直固定在地面CD 上，从竹竿上的 F 点处观察篮板底部点 B；
根据以上测量方案和数据求篮球架篮板AB 的高度．
22 ．如图，在Rt△ABC 中，上ACB = 90° , 上A = 60° , D 是边AB 的中点，以点D 为直角顶 点向AB 上方作等腰直角三角形DEF ，边DE 经过点 C，DF 与BC 交于点 G．
(1)求证： △ACD 是等边三角形；
(2)若DE = 4 ，G 为DF 的中点，求BC 的长．
23．乡村全面振兴背景下，大学生小张毕业返乡创办了樱桃合作社．现合作社需购买甲、乙 两种肥料，已知甲种肥料每袋比乙种贵 100 元，且用 15000 元购得乙种肥料的数量，恰为 10000 元购得甲种肥料数量的 2 倍．
(1)求甲、乙两种肥料每袋的价格；
(2)若两种肥料共需 40 袋且总费用不超过 13500 元，则甲种肥料最多可购买多少袋？
24 ．如图，在△ABF 中，点 E 是AB 的中点，延长BF 至点 D，使得DF = BF ，连接AD ，延 长EF 至点 C，使得 CF = AD ，连接CD ．
(1)求证：四边形AFCD 为平行四边形；
连接AC 交DB 于点 O ，若CE 丄 求AC 的长．
25 ．为增强学生环保意识，争做绿色文明的推动者和传播者，某校发起了以“种下一棵树，
（2）测量视线 FB 与竹竿HE 的夹角， Ð HFB ；
（3）将观察点沿着竹竿向上移动到点 G，测量从点 G 观察篮板顶部点A 的视 线GA 与竹竿HE 的夹角上HGA ；
（4）测量GF 的长
测量数据
上HFB = 上HGA = 48°, GF = 1m
为未来留下一份幸福”为主题的植树活动．现需要采购一批树苗，有两家苗圃基地，具体收 费标准如下：
甲基地：树苗单价为 30 元/株，免费配送；
乙基地：树苗单价为 25 元/株，另加 200 元配送费．
(1)设采购 x 株树苗，去甲苗圃基地采购树苗的费用为y甲 元，去乙苗圃基地采购树苗的费用 为y乙 元，请分别写出：y甲 ，y乙 与 x 之间的关系式；
(2)学校怎样采购比较合算？
26 ．【问题提出】
（1）如图①,在 Rt△ABC 中，上ABC = 90° , AB = BC ，BD 为△ABC 的中线，点 E 为线 段BD 上一点，连接AE ．若上BAE = 15° , DE = 、 ，求 AC 的长；
【问题解决】
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲翻新如图@所示的休 闲广场 △ABC ，上ABC = 60° , AB = BC = 60 米，按照规划要求，取AC 的中点 D，连接
BD ，点 E 为BD 上一点，连接AE ，把线段 AE 绕点 A 逆时针旋转60° 得到线段AF ，连接 EF ，BF ，在边BC 上取一点 K，令CK = BE ，连接AK ，沿AE 和AK 设计两条走廊，沿EF 铺设小路，发现当AE + AK 的长度最小时，整体布局比较合理，试求当AE + AK 最小时， 小路EF 的长．
1 ．C
【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：由题可知， x - 3 ≠ 0 ，
解得x ≠ 3.
故选：C．
2 ．B
【分析】本题考查中心对称图形的识别， 解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转 180° ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此 判断即可．
【详解】解：A ．该纹样图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B ．该纹样图是中心对称图形，故此选项符合题意；
C ．该纹样图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D ．该纹样图不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B．
3 ．A
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个 数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一 个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方 向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：A ．若a < b ，则 1 + a < 1 + b ，原变形正确，
B ．若a < b 且x2 ≠ 0 ，则 ax2 < bx2 ，原变形错误， C ．若ac > bc 且c > 0 ，则 a > b ，原变形错误，
D ．若m > n ，则 m - 1 > n - 1 ，原变形错误， 故选：A．
4 ．C
【分析】本题考查的是平行线的性质， 等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先 求解上ABC = 上ACB = 180° - 70° ) = 55° , 上DBC = 90° - 55° = 35° , 再利用平行线的性质求
解即可．
【详解】解：在等腰 △ABC 中，AB = AC ，上BAC = 70° ,
: BD 为AC 边上的高线， : 上DBC = 90° - 55° = 35° , : AE Ⅱ BD ，
: 上AEC = 上DBC = 35° , 故选：C．
5 ．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，利用平行四边形的判定定理逐步判定后即可确定答 案．
【详解】解： A.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD 为平行 四边形，不符合题意；
B.不能得到四边形ABCD 为平行四边形，符合题意；
C.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD 为平行四边形，不符合 题意；
D. 由上ADB = 上CBD 可得BC∥AD ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四 边形ABCD 为平行四边形，不符合题意；
故选：B．
6 ．D
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质， 熟记三角形中位线等于第三 边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到CN = NB ，再根据三角形中位线定理 解答即可．
【详解】解：Q AB = 8，AM = 3 ， :BM = AB - AM = 8 - 3 = 5 ，
Q AB = AC，AN 平分 ÐBAC ，
: CN = NB ，
Q P 为CM 的中点，
: PN 为 △BCM 的中位线，
故选：D．
7 ．A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点 A 坐标，然 后结合函数特征写出直线y = kx + b 在直线y= -2x + 2 上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：把 A(m, 4) 代入y = -2x + 2 得-2m + 2 = 4 ，
解得m = -1，
当x > -1 时，-2x + 2 < kx + b ， 故选 A．
8 ．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形与四边形的面积关系，中心对称图形的性质， 勾股定理知识，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．根据平行四边形的中心对称
性质可知，S阴影部分 根据勾股定理求出AE 的长即可得出结果．
【详解】解：如图，
过点A 作AE 丄 BC ，交CB 的延长线于点E ， Q 上ABC = 135° ,
:上ABE = 180° - 上ABC = 180° -135° = 45° ,
: AE = BE ，
由勾股定理得2AE2 = AB2 ， 即2AE2 = 22 ，
解得AE = /2 ，
:。 ABCD 的面积S = BC × AE = 3 × = 6 ， QO 是。 ABCD 的中心，
: 阴影部分的面积为 故选：A．
9 ．x (2 + y)
【分析】本题考查了利用提取公因式法进行因式分解．利用提取公因式法即可得． 【详解】解：提取公因式x 得：2x + xy = x (2 + y) ．
故答案为：x (2 + y)．
10 ．30
【分析】此题考查了正多边形， 等腰三角形的性质，首先求得正六边形的内角的度数，根据 等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：在正六边形 ABCDEF 中，上AFE = 上E = 上
: 上DFC = 上CFE - 上EFD = 30° , 故答案为：30．
11 ．2
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算得出不等式的解 集，再写出整数解即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键．
【详解】解：移项可得 2x < 2 + 3 ，
合并同类项可得2x < 5 ， 系数化为 1 可得 ，
故不等式2x - 3 < 2 的正整数解为1 ，2 ，个数为 2 ， 故答案为：2 ．
12 ．3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、含30° 的直角三角形的性质等知识点，掌握30° 所对的直角边是斜边的一半成为解题的关键．
根据角平分线的性质可得CD = DE = 1 ，再根据30° 所对的直角边是斜边的一半可得 BD = 2DE = 2 ，最后根据线段的和差成为解题的关键．
【详解】解：: AD 是 ÐBAC 的角平分线，DE 丄 AB ，上C = 90° , : CD = DE = 1 ，
又:直角△BDE 中，上B = 30° , : BD = 2DE = 2 ，
: BC = CD + BD = 1+ 2 = 3 ．
故答案为：3．
13 ．2
【分析】本题考查了旋转的性质和勾股定理以及垂线段最短，熟练掌握相关定义是解题的关 键．连接CD ，CD ¢ ,由旋转性质可得 CD = CD¢ , 上DCD ¢ = 90° ,结合勾股定理得出
DD ¢ = = DC ，即可得出CD 丄 AB 时，DC 长度取最小值，即DD¢ 长度取最
小值，利用等面积法进行运算即可得出答案． 【详解】解：连接CD ，CD ¢ ,如图：
Q △ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A¢B ¢C ，点D 的对应点为D¢ ,
,
: CD = CD¢
Q A 、C 、B¢ 三点共线，
: 上ACB = 上A¢CB ¢ = 90° ,即旋转角 上DCD ¢ = 90° ,
Q AC = 4 ，上A = 60° ,
: AB = A¢B ¢ = 2AC = 8 ，
由勾股定理可得 Q CD = CD¢ , 上DCD ¢ = 90° ,
可知DD¢ 长度取最小值，则DC 长度亦取最小值， 点D 在AB 上，由点到直线垂线段最短，
可得CD 丄 AB 时，DC 长度取最小值，即DD¢ 长度取最小值，
: CD = AC . BC ÷ AB = 4 × 4 ÷ 8 = 2 ， : DD ¢ = CD = × 2 = 2 ，
: DD ¢ 长度的最小值为2 6 ．
故答案为：2 ．
14 ．(n - 2)(m + 5)(m - 5)
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式， 先提取公因式(n - 2) ，再利用平方 差公式分解因式即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：m2 (n - 2) - 25(n - 2)
= (n - 2)(m2 - 25)
= (n - 2)(m + 5)(m - 5) ．
15 ．1 < x < 2
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取 大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
解 解不等式①得：x < 2 ，
解不等式@得：x > 1 ，
: 原不等式组的解集为1< x < 2 ．
16 ．
【分析】本题考查了解分式方程， 先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程 的解进行检验即可得．
【详解】解：原方程整理，得 去分母，得x - 2 + x - 3= -2 ，
解得 ．
经检验， 是原方程的解．
17 ．见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，作上BCD 的角平分线与线段BC 的垂直平分线交于点 P，点 P 即为所求．
【详解】解：如图，点 P 即为所求．
18 ．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
证明Rt△EDC≌Rt △CBA，即可求证 上ECD = 上CAB ． 【详解】证明：Q AB 丄 CD ，ED 丄 CD ，
:上D = 上ABC = 90° ,
在Rt△EDC 和Rt△CBA 中，
:Rt△EDC≌Rt△CBA(HL) ，
:上ECD = 上CAB ．
19 ．(1)见解析
(2) (-1, 4)
【分析】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质，并据此 得出变换后的对应点．
（1）根据点A(-2, -2) 平移后顶点 A 的对应点为A1 (-3,0) 得到平移方式，然后得到点 B ，C 的对应点B1 ，C1 ，再首尾顺次连接即可；
（2）由（1）求解即可．
【详解】（1）如图所示，A1B1C1 即所求；
（2）由（1）得，点C1 的坐标为(-1, 4) ．
【分析】本题考查分式的化简求值， 先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计 算即可．
解：原式
当a = 1 时，原式
21 ．篮球架篮板AB 的高度为1m
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用 ．根据垂直定义可得
上HEC = 上AKC = 90° ,从而可得 AB ⅡGF ，再根据同位角相等，两直线平行可得 AG ∥BF ，从而可得四边形 AGFB 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得 GF = AB = 1m ，即可解答
【详解】解：QHE 丄 CD ，AB 丄 CD ，
:上HEC = 上AKC = 90° ,
: AB Ⅱ GF ，
Q上HGA = 上HFB = 48° ,
: AG Ⅱ BF ，
: 四边形AGFB 是平行四边形，
:GF = AB = 1m ，
答：篮球架篮板AB 的高度为1m ．
22 ．(1)见解析；
(2) 6 ．
【分析】（1）由30° 角所对直角边是斜边的一半得AC = AB ，根据直角三角形斜边上的中
线性质得出 ，则 AC = AD ，最后等边三角形的判定即可求证；
（2 ）由 △ACD 是等边三角形，则上ACD = 上ADC = 60° , 从而得出上DCG = 30° , 上GDB = 30° ,
由30° 角所对直角边是斜边的一半得 CG = 2DG ，然后根据等腰三角形的判定得BG = DG ， 则BC = CG + BG = 3DG ，再由 △DEF 是等腰直角三角形，且DE = 4 ，则 DF = DE = 4 ，求 出DG 即可；
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的 关键．
【详解】（1）证明：∵ 上ACB = 90° , 上A = 60° ,
: 上B = 30° ,
∵ D 是边AB 中点，
: AC = AD ，
∵ 上A = 60° ,
: △ACD 是等边三角形；
（2）解：∵ △ACD 是等边三角形， : 上ACD = 上ADC = 60° ,
∵ 上ACB = 上EDF = 90° ,
: 上DCG = 30° , 上GDB = 30° , : CG = 2DG ，
∵ 上B = 30° ,
: 上B = 上GDB ， : BG = DG ，
: BC = CG + BG = 3DG ，
∵ △DEF 是等腰直角三角形，且DE = 4 ， : DF = DE = 4 ，
∵ G 为DF 的中点，
: BC = 3DG = 6 ．
23 ．(1)甲种肥料每袋 400 元，乙种肥料每袋 300 元
(2)甲种肥料最多可购买 15 袋
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准 等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设每袋乙种肥料的价格是x 元，则每袋甲种肥料的价格是(x +100) 元，由题意可得 即可求出每袋甲种肥料的价格；
（2）设购买y 袋甲种肥料，则购买(40 -y) 袋乙种肥料，利用总价= 单价× 数量，结合总价 不超过 13500 元，可列出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙种肥料每袋x 元，则甲种肥料每袋(x +100) 元，根据题意，得
解这个方程，得x = 300 ，
经检验，x = 300 是所列方程的根， 300 +100 = 400 （元），
所以，甲种肥料每袋 400 元，乙种肥料每袋 300 元；
（2）解：设购买甲种肥料 m 袋，则购买乙种肥料（40 - m ）袋，由题意，得
400m +300(40 - m) ≤ 13500 解得m ≤ 15 ．
即甲种肥料最多可购买 15 袋．
24 ．(1)见解析 (2)5
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识， 熟 练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据题意推出EF 是△ABD 的中位线，进而推出CF∥AD ，再结合CF = AD 即可可得 出四边形AFCD 为平行四边形．
（2）根据题意推出 AD = 2EF = 2 ，结合线段中点的特点推出 利用勾股定理求 出BD，进而得到 ，再结合平行线性质和勾股定理求出OA ，即可得到AC ． 【详解】（1）证明：QDF = BF ，
: 点F 是DB 的中点．
Q 点E 是AB 的中点，
: EF 是△ABD 的中位线，
Q 点C 在EF 的延长线上，
: CF ∥AD ． Q CF = AD ，
: 四边形AFCD 为平行四边形
（2）解：由（1）可知 EF Ⅱ AD ．且
: AD = 2EF = 2 ．
∵点 E 是AB 的中点
Q CE 丄 DB 于点F ，
:上ADB = 上EFB = 90° .
Q 四边形AFCD 为平行四边形，
: AC = 2OA = 5 ．
: AC 的长是 5．
25 ．(1) y甲 = 30x ；y乙 = 25x + 200
(2)购买的树苗少于 40 株时，去甲基地采购比较合算；当购买的树苗为 40 株时，甲、乙两 个基地采购费用一样；当购买的树苗大于 40 株时，去乙基地采购比较合算
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据两个基地的收费标准，列出函数关系式即可；
（2）分 3 种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：甲基地采购这批树苗的费用y甲 （元）与树苗数量 x（株）之间的函数关系
式为y甲 = 30x ；
乙基地采购这批树苗的费用y乙 （元）与树苗数量 x（株）之间的函数关系式为
y乙 = 25x + 200 ．
（2）由题意得：30x < 25x + 200 ，解得 x < 40 ． 30x = 25x + 200 ，解得 x = 40 ．
30x > 25x + 200 ．解得x > 40 ．
答：购买的树苗少于 40 株时，去甲基地采购比较合算；当购买的树苗为 40 株时，甲、乙两 个基地采购费用一样；当购买的树苗大于 40 株时，去乙基地采购比较合算．
26 ．（1）6 ；（2）路 EF 的长为30( - ) 米
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出 上BAC = 上
BD 丄 AC ，根据含 30 度角的直角三角形的性质求出AE = 2DE = 2 ，
根据勾股定理求出 即可得出答案；
（2）过点 B 作BQ 丄 BC ，使BQ = AB ，连接QE ，CE ，证明 △QBE≌△ACK (SAS) ，得出 QE = AK ，证明AE + AK = CE +QE ，说明当 Q，E，C 三点共线时，AE + AK = CE + QE = CQ 最小，证明△AET 是等腰直角三角形，得出 根据勾 股定理求出 根据BT + AT = AB = 60 ，得出 BE + BE = 60 ，求出BE = 60 ( -1) ．得出AE = 30 ( - )，证明 △AEF 是等边三
角形，得出EF = AE = 30 ( - ) 即可．
【详解】解：（1）在 △ABC 中，上ABC = 90° , AB = BC ， :△ABC 是等腰直角三角形．
Q BD 为△ABC 的中线，
Q 上BAE = 15° ,
:上EAD = 上BAC - 上BAE = 30° ,
:AE = 2DE = 2 ，
:AD = = 3 ．
:AC = 2AD = 6 ．
（2）如图②,过点 B 作BQ 丄 BC ，使BQ = AB ，连接QE ，CE ．
Q AB = BC, 上ABC = 60° , :△ABC 是等边三角形，
:BC = AC = AB = BQ, 上ABC = 上BCA = 60° , Q 点 D 为AC 的中点，
:BD 丄 AC ，上CBD = 上上ABC = 30° , :上QBE = 上QBC - 上CBD = 90° - 30° = 60° ,
:上QBE = 上ACK ，
QBQ = AC, BE = CK ， :△QBE≌△ACK (SAS)．
:QE = AK ，
Q BD 垂直平分AC ，
: AE = CE ，
:AE + AK = CE + QE ，
当 Q ，E，C 三点共线时，AE + AK = CE + QE = CQ 最小，
QBQ = BC, 上CBQ = 90° ,
: △BCQ 是等腰直角三角形．
:上Q = 上BCQ = 45° ,
:上BEC = 180° - 30° - 45° = 105° .
Q BD 垂直平分AC ，
:△BAE 与 △BCE 关于直线BD 对称，
:上BEA = 上BEC = 105° ,
过点 E 作ET丄 AB 于点 T． Q 上ABE = 30° ,
上BET = 60° .
:上AET = 上BEA - 上BET = 45° , : △AET 是等腰直角三角形，
: AT = ET ，
: 易得
在Rt△BET 中 QBT + AT = AB = 60 ，
:BE = 60 ( -1)．
:ET = 30 ( -1) ，
由旋转的性质得AF = AE, 上EAF = 60° . :△AEF 是等边三角形，
:EF = AE = 30 ( - )．
: 小路EF 的长为30( - ) 米．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质， 勾股定理，直角三角形的性质，等边三角 形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作 出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．