2024-2025学年山东省滨州市滨城区八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年山东省滨州市滨城区八年级下学期期末考试数学检测试卷，共40页。试卷主要包含了8；等内容，欢迎下载使用。
2024—2025 学年度第二学期期末教学质量检测
八年级数学试题（A）
温馨提示：
1 ． 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 8 页．满分 120 分．考试用时 120 分钟．
2 ．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填 写在答题卡中规定的位置上．
3 ．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4 ． 第Ⅱ卷必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准 使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共 30 分）
一、选择题：本大题共 10 个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的， 请把正确的选项选出来，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小 题涂对得 3 分，涂错或不涂不得分，满分 30 分．
1 ．下列式子中，属于最简二次根式的是( ).
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列运算正确的是( )
A ． B ．
C ． D ．
3．在 △ABC 中，BC = a，AB = c，AC = b ，则下列不能作为判定△ABC 是直角三角形的条件 是( )
A ． ∠B = ∠A +∠C B ．a2 - b2 = c2
C ．a : b : c＝3 : 4 : 5 D ．a = 32 ，b = 42 ，c = 52
4 ．如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法不正确的是( )
A ．当AB = AD 时，四边形ABCD 是菱形 B ．当AC = BD 时，四边形ABCD 是矩形
C ．当AC ^ BD 时，四边形ABCD 是菱形 D ．当上ABC = 90° 时，四边形ABCD 是正方形
5 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O ，若OA = 4, S菱形ABCD = 16 ，则菱形边 AB 的长为( )
A ．2 B ．5 C ．4 D ．4 6 ．A (x1, y1 ) 、B (x2, y2 ) 是一次函数y = -2x +1 图像上的不同的两点，则( )
A ．(x1 - x2 )(y1 - y2 ) < 0 B ．(x1 - x2 )(y1 - y2 ) > 0
C ．(x1 - x2 )(y1 - y2 ) = 0 D ．(x1 - x2 )(y1 - y2 ) 的符号无法判断
7 ．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④, 再沿虚线剪去一个角，展开铺平后 得到图⑤, 其中FM ，GN 是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF 的面积相等，则 的值是( )
A ． B ．1 C ． D ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，函数y= -x +1 的图象与x 轴，y 轴交于点A，B ，则下列描述 正确的是( )
A ． △OAB 为等腰直角三角形 B ．点A 坐标为(-1, 0)
C ．图象经过第一、三、四象限 D ．点O 到y= -x +1 的图象距离为 1
9．若a 、b 为正有理数，则有 . = a，( + )( - ) = a - b 得到有理数结果，例如： . = 2，( + )( - ) = 3 - 2 ．我们把 称为“ 的有理化因式” ， + 与 - 互称为“有理化因式” ．某同学利用有理化因式，得到如下结论：
③若其中b、c 为有理数）则b = 4c ；
④若、 - = 4，则 /43 - m + = 8 ．
以上结论正确的有( )
A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1个
10 ．如图，P 是线段AB 上一动点，CA 丄 AB, DB 丄 AB, AB = 4, AC = 3, DB = 2, M , N 分别是 PC, PD 的中点，随着点P 的运动，MN 的长( )
A ．随着点P 的位置变化而变化 B ．保持不变，长为
C ．保持不变，长为s5 D ．保持不变，长为
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二．填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11 ．若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
12 ．如图，在。ABCD 中，AB = 4 ，AD = 6 ， Ð ABC 的角平分线交AD 于点E ，交CD 的延 长线于点F ，则 DF 的长为 ．
13．如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个 △ABC ，跷跷板中间的 支撑杆EF 垂直于地面（E，F 分别为AB ，AC 的中点），若 EF = 35cm ，则点 B 距离地面的 高度BC 为 cm ．
14 ．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，点 A 的坐标为(-1, 0) ， 点 E 在边CD 上．将 △BCE 沿BE 折叠，点 C 落在点 F 处．若点 F 的坐标为(0, 3)，则点 E 的坐标为 ．
15 ．大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵 爽弦图”（如图 1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图 2 ： △ABC 为等边三角形，
AD 、BE 、CF 围成的 △DEF 也是等边三角形．已知点 D 、E、F 分别是BE 、CF 、AD 的 中点，若 △ABC 的面积为14 ，则 △DEF 的面积是 ．
三．解答题：（本大题共 8 个小题，满分 72 分．解答时请写出必要的演推过 程．）
16 ．如图是由边长为 1 的小正方形组成7× 6 网格，小正方形的顶点为格点，图中的点A， B ，C 在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1) AC = ；
(2)如图，作 ÐBAC 的平分线AD ．
17 ．计算
8 - 12 + 18
(1) \
1
× 、 + ·、
48 ÷ 3 -
(2)
5
( s s )
( )
(4)
5 + 2 3 2 3 - 5 + ( - 3)2
18．某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前 5 名学生的成绩（满分：100 分） 如下：
八（1）班：92 ，86 ，85 ，85 ，77；
八（2）班：92 ，89 ，85 ，85 ，79．
两班前 5 名学生成绩的有关统计数据如表：
请解决下面问题：
(1) a = _______ ，b = _______ ，c = ______．
(2)求该校八（1）班前 5 名学生成绩的方差s2 ．
(3)两个班中，哪个班前 5 名学生的整体成绩更好？为什么？
19 ．如图， BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，作 AE 丄 BD 于 E，作 CF 丄 BD 于 F ．求证：
BF = DE ．
平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
85
b
85
2 s
八（2）班
a
85
c
19.2
20 ．如图，已知矩形ABCD ．
(1)用直尺和圆规分别在AD 、BC 边上找点 E、F，使得四边形 BEDF 是菱形； （保留作图痕迹，不写作法，并给出证明．）
(2)若AD = 8 ，AB = 4 ，求菱形 BEDF 的周长．
21 ．如图，已知一次函数y = kx + 2 （k ≠ 0 ）与正比例函数 y = -3x 的图象交于点A(a, 3)， 与y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C．
(1)求 k 的值及点 A 的坐标；
(2)当kx + 2 < 0 时，求 x 的取值范围；
(3)观察图象，直接写出当kx + 2 < -3x 时，x 的取值范围．
22．某校组织师生参加实践活动，现准备租用甲、乙两种型号的客车（每种型号的客车至少 租用一辆）．租车数量与载客人数（每辆车均坐满）的相关数据如下表：
租车数量/辆
载客人数
甲型客车
乙型客车
5
2
310
(1)每辆甲型客车、乙型客车坐满后各载客多少人？
(2)该校计划租用甲型和乙型两种客车共 10 辆，并将全校 420 人载至目的地，若甲型客车每 辆租金为 500 元，乙型客车每辆租金为 600 元，请计算出租车最省钱的方案．
23 ．阅读材料，回答问题：
3
4
340
如果一个三角形的三边长分别为 a ，b ，c，记 那么这个三角形的面积
古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了 公式和它的证明，这一公式称为海伦公式．帆帆同学对公式兴趣浓厚，以锐角三角形为 例，证明过程如下：
如图，在锐角三角形ABC 中，BC = a ，AC = b ，AB = c ．
求证：S△ 其中
证明：如图，过点 A 作AD ^ BC 于点 D，则 上ADB = 上ADC = 90° 设BD = x ，AD = h ，则 CD = ①-
: c2 - x2 = ②
解得
= ·
2a
∵ p =
a + b + c
2
= ③
中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，实质上是同一个公式，故这个公式
(1)补全帆帆同学证明过程中①②③所缺的内容；
(2)若a = 4 ，b = 5 ，c = 6 ，请用海伦-秦九韶公式求△ABC 的面积；
(3)在（2）的条件下，设 △ABC 中AB 边上的高为h1 ，AC 边上的高为h2 ，求h1 + h2 的值．
24．在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法， 如下是一 个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程．
问题呈现过点C(a, b) 的直线y = kx + c(k, c 为常数且k ≠0) 分别交x 轴的正半轴和y 轴的正
半轴于点A 和B ，探究并说明 是定值．
(1)特例探究如图 1，过点C(2, 2) 的直线y= -2x + 6 分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，求 的值；
(2)一般证明
① a = 2,b = 3 时，直接写出
②求出的值；
(3)类比推广如图 2，已知H(-4,0) , T (0, 2) ，点M在x 轴的正半轴上，过M且不与y 轴平行 的直线l 交直线HT 于第一象限点N ，若总有 请探究：直线l 是否过定点，如 果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由．
又被称为海伦-秦九韶公式．
1 ．B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义， 掌握最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不 含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．
根据最简二次根式的定义对选项逐一判断即可．
解 该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
B.该选项是最简二次根式，故符合题意；
C. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
D. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B．
2 ．D
【分析】本题主要考查了二次根式的加、减、乘、除运算， 掌握相关运算法则成为解题的关 键．
根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项判断即可解答．
【详解】解： A ． 和 不是同类二次根式， 不能进行加减运算，故该选项不符合题意；
B ． 故该选项不符合题意；
C ． 故该选项不符合题意；
D ． 故该选项符合题意． 故选 D．
3 ．D
【分析】本题考查了三角形内角和定理， 勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的 关键．
根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A 、Q 上B = 上A + 上C ，上A + 上B + 上C = 180° , :上B = 上A + 上C = 90° ,
能判定 △ABC 是直角三角形，故 A 选项不符合题意；
B 、Qa2 - b2 = c2 ，即 a2 = c2 + b2 ，
根据勾股定理逆定理可判定 △ABC 是直角三角形，故 B 选项不符合题意； C 、Q a : b : c＝3 : 4 : 5 ，设 a = 3x， b = 4x，c = 5x ，
: a2 + b2 = 25x2 = c2 ，
根据勾股定理逆定理可判定 △ABC 是直角三角形，故 C 选项不符合题意； D 、Qa = 32 ，b = 42 ，c = 52
: a2 + b2 =（32）2 +（42）2 = 337，c2＝（52）2 = 625 ，
Q 337 ≠ 625
:a2 + b2 ≠ c2 ，
:不能判定 △ABC 是直角三角形，故 D 选项符合题意． 故选：D．
4 ．D
【分析】此题考查平行四边形的性质， 正方形的判定、矩形的判定和菱形的判定， 掌握正方 形的判定、矩形的判定和菱形的判定定理是解题关键．
根据对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂 直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可．
【详解】解：A. 当AB = AD 时，四边形ABCD 是菱形，故该选项正确，不符合题意；
B. 当AC = BD 时，四边形ABCD 是矩形，故该选项正确，不符合题意；
C. 当AC ^ BD 时，四边形ABCD 是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D. 当上ABC = 90° 时，四边形ABCD 是矩形，故该选项不正确，符合题意； 故选：D．
5 ．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质， 勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱 形的性质得出AC = 8 ，由菱形的面积得出 BD = 4 ，则 BO = 2 ，进而根据勾股定理，即可得 出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， : OA = OC ，OB = OD ，BD 丄 AC ， : AC = 2OA = 8 ，
: BD = 4
在Rt△AOB 中，AB = = = 2
故选：A．
6 ．A
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键； 根据一次函数的性质可得x1 - x2 与y1 - y2 异号，即可求解．
【详解】解：÷-3 < 0 ，
: y 随x 的增大而减小，
: 当x1 > x2 时，y1 < y2 ，当x1 < x2 时，y1 > y2 ，
:x1 - x2 与y1 - y2 异号，
: (x1 - x2 )(y1 - y2 ) < 0 ， 故选：A．
7 ．A
【分析】本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质、折叠的性质等知识点， 根据剪纸的过程 得到图形中边的关系是解题的关键．
如图：连接NE ，设直线NE 与AB 边的交点为 P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得PE = GN 且正方形EFGH 的面积= × 正方形ABCD 的面积，从而用a 分别表示出线段GF 和线段CN 的长即可求解．
【详解】解：如图：连接 NE ，设直线 NE 与AB 边的交点为 P，
由折叠可知点 P、E、G 、N 四点共线，且PE = GN ，
设正方形ABCD 的边长为2a ，则CN= a ，正方形 ABCD 的面积为4a2 ， ∵若正方形EFGH与五边形MCNGF 的面积相等
:由折叠可知正方形EFGH 的面积= × 正方形ABCD 的面积 ， :正方形EFGH 的边长
故选 A．
8 ．A
【分析】由题意， 根据一次函数图象与坐标轴交点的求法得到A(1, 0) 、B (0,1)，确定、B 错 误；再通过数形结合，由等腰直角三角形的判定即可确定 A 正确；由一次函数图象过象限 即可判定 C 错误；再由等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半等知识即可判定 D 错误．
【详解】解：在平面直角坐标系xOy 中，函数y= -x +1 的图象与x 轴，y 轴交于点A，B ， 当x = 0 时，y = 1，则B(0,1)；当 y = 0 时，x = 1 ，则 A(1, 0)；
A 、Q A(1, 0) 、B (0,1)，
: OA = OB ，且 上AOB = 90° ,则 △OAB 为等腰直角三角形， 故该选项正确，符合题意；
B 、Q A(1, 0)，
: 点A 坐标为(-1, 0) 错误，不符合题意；
C 、Q在平面直角坐标系xOy 中，函数y= -x +1 的图象与x 轴，y 轴交于点A，B ， :k = -1 < 0 ，且 A(1, 0) 、B (0,1)，则图象经过第一、二、四象限，
故该选项错误，不符合题意；
D、过点 O 作OC 丄 AB 于点C ，如图所示：
Q △AOB 是等腰直角三角形，OA = OB = 1 ，
: 由勾股定理可得
Q OC 丄 AB ，
: 由等腰三角形三线合一性质可知，OC 是斜边AB 上的中线，
即点O 到y = -x +1 的图象距离为 故该选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数图象与坐标轴交点的求法、一次函数 图象过象限、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、直角三角形性质是解决问题的关键．
9 ．C
【分析】本题考查了有理化因式， 二次根式的混合运算，二次根式的化简，利用有理化因式 进行变形计算后即可一一判断，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
解 故①错误，不合题意；
故②正确，符合题意；

= b ( + )- c ( - )
= 2b + b - 2c + c
= (b + c) + 2b - 2c ，
则
解得 ，
: b = 3c ，故③错误，
④∵ ( ·、 - )( + ) = 43 - m - (11- m) = 32 ，
: · + = 32 ÷ 4 = 8 ，故④正确，符合题意；
综上，结论正确的有2 个， 故选：C ．
10 ．D
【分析】本题考查了勾股定理， 矩形的判定和性质，中位线性质，掌握以上概念及计算是关 键．
如图所示，过点D 作DE 丄 AB 于点E ，连接CD ，可得四边形 ABDE 是矩形，
DE = AB = 4 ，CE = AC - AE = 3 - 2 = 1，在 Rt△CDE 中，由勾股定理得到 由题 意可得MN 是中位线，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 D 作DE 丄 AB 于点E ，连接CD ，
∵ CA 丄 AB, DB 丄 AB ，
: 上A = 上B = 上AED = 90° ,
:四边形ABDE 是矩形，
: DE = AB = 4 ，AE = BD = 2 ， : CE = AC - AE = 3 - 2 = 1，
在Rt△CDE 中
在 △CDP 中，点M , N 分别是PC, PD 的中点，则MN 是中位线，
:随着点P 的运动，MN 的长保持不变，长为 ， 故选：D ．
11 ．x ≥ 1且x ≠ 2025
【分析】根据被开方数为非负数，分母不为 0 ，进行列式计算，即可作答．
本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件， 熟练掌握这两个知识点是解题的关 键．
解：:式子在实数范围内有意义，
ì
lx
则 í
x -1≥ 0
- 2025 ≠ 0
,
解得x ≥ 1且x ≠ 2025 ，
故答案为：x ≥ 1且x ≠ 2025
12 ．2
【分析】本题考查了平行四边形的性质， 角平分线的定义，等腰三角形的判定等，利用平行 四边形的性质及角平分线的定义可得上ABE = 上AEB = 上DEF = 上F ，即得 AE = AB = 4 ，
DF = DE ，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：:四边形ABCD 是平行四边形， : AB ⅡCD ，AD Ⅱ BC ，
: 上F = 上ABE ，上DEF = 上CBE ，上AEB = 上CBE ， : BE 平分 Ð ABC ，
: 上ABE = 上CBE ，
: 上ABE = 上AEB = 上DEF = 上F ， : AE = AB = 4 ，DF = DE ，
: AD = 6 ，
: DE = AD - AE = 6 - 4 = 2 ， : DF = 2 ，
故答案为：2 ．
13 ．70
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查了三角形中位线定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：:E，F 分别为，的中点，
: EF = 35cm ，
: BC = 2EF = 70cm ， 故答案为：70．
( 3 ö
14 ． çè 2 , 5,÷
【分析】本题考查翻折变换， 正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相 关知识的灵活运用．设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，则四边形 AOGD
矩形，推出OG = AD = a ，DG = AO ， ÐEGF = 90° . 由折叠的性质，得BF = BC = a ，
CE = FE ．根据点A 的坐标为 (-1, 0) ，点 F 的坐标为(0, 3)，得出 AO = 1 ，FO = 3 ，所以 BO = AB - AO = a -1 ．在Rt△BOF 中，BO2 + FO2 = BF2 ，解得 a = 5 ，则FG = OG - OF = 2 ，
GE = CD - DG - CE = 4 - CE ．在Rt△EGF 中，GE2 + FG2 = EF2 ，解得CE = ，所以
GE = ，即可得出点 E 的坐标．
【详解】解：如图，设正方形 ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，
则四边形AOGD 是矩形，
: OG = AD = a ，DG = AO ， ÐEGF = 90° . 由折叠的性质，得BF = BC = a ，CE = FE ． Q 点A 的坐标为(-1, 0) ，点 F 的坐标为(0, 3)，
: AO = 1 ，FO = 3 ，
:BO = AB - AO = a -1．
在Rt△BOF 中，BO2 + FO2 = BF2 ，
: (a -1)2 + 32 = a2 ， 解得a = 5 ，
:FG = OG - OF = 2 ，GE = CD - DG - CE = 4 - CE ． 在Rt△EGF 中，GE2 + FG2 = EF2 ，
: (4 - CE)2 + 22 = CE2 ， 解得CE = ，
( 3 ö
: 点E 的坐标为 çè2 , 5,÷ . 故答案为
15 ．2
【分析】本题考查了勾股定理的证明，连接BF ， 即可得到S△ABD = S△AFC = S△BEC ，再由 D、
E、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点，可得S△BDF = S△DEF , S△BDF = S△ABF ，即可得出 S△ABC = 7S△DEF 即可求解.
【详解】解：如图，连接 BF ，
∵点D 、E 、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点， :S△BDF = S△DEF ，S△BDF = S△ABF ，
∵ △ABC 和 △DEF 是等边三角形，
: 上BAC = 上ABC = 上ACB = 上ADB = 上DEF = 上EFD = 60° , AB = BC = AC ， : 上ADB = 上BEC = 上AFC = 120° ,
又∵ 上ABD + 上BAD = 上ABD + 上EBC = 上ECB + 上FCA = 上ECB + 上EBC = 60° , : 上ABD = 上EBC = 上FCA ，
: △ABD≌△BCD≌△CAF ， : S△ABD = S△AFC = S△BEC ，
:S△ABD = S△AFC = S△BEC = 2S△DEF ，
:S△ABC = S△ABD + S△BCE + S△AFC + S△ED = 7S△DEF ，
QS△ABC = 14 ，
: S△DEF = 2 ，
故答案为：2 ．
16 ．(1) 5
(2)见解析
【分析】本题考查的是复杂作图， 勾股定理的应用，等腰三角形的性质，矩形的性质，熟练 掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理计算解答即可；
（2）将点C 往右平移 1 格，得到Q，将点 B 往左平移 1 格，得到点F ，连接QF 交CB 于 D ，则 AD 即为所求．
解 ， 故答案为：5 ；
（2）解：如图，将点C 往右平移 1 格，得到点Q ，将点B 往左平移 1 格，得到点F ，连接QF 交CB 于D ，则 AD 即为所求；
;
理由：∵ AB = 5 ， : AC = AB = 5 ，
Q 四边形CFBQ 为矩形，
: CD = BD ，
: AD 平分 ÐBAC ．
17 ．(1) 5 - 2
(3) - 5
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的乘除运算法则计算，再合并同类二次根式即可；
（3）先根据二次根式的乘除运算法则计算，再合并同类二次根式即可；
（4）根据乘法公式计算，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解： - +
= 2 - 2 + 3
= 5 - 2 ；
解
= - + 2
= 4 + ；
解
= - ( + )
= - (2 + 3)
= - 5 ；
（4）解：( + 2)(2 - )+ ( - 3)2
= (2)2 - ( )2 + (3 - 6 + 9)
= 12 - 5 + 3 - 6 + 9
= 19 - 6 ．
18 ．(1)86 ，85 ，85
(2)八（1）班的方差为 22.8；
(3)八（2）班前 5 名的整体成绩较好．见解析
【分析】本题考查了求平均数、中位数、众数、方差， 熟练掌握平均数、中位数、众数、方 差的求法及意义是解此题的关键．
（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）根据方差公式进行计算即可；
（3）根据平均数和方差的意义求解即可．
【详解】（1）解：八（2）班成绩重新排列为：79 ，85 ，85 ，89 ，92，
85 出现次数最多， : c = 85 ，
八（1）班成绩重新排列为：77 ，85 ，85 ，86 ，92， :b = 85 ，
故答案为：86 ，85 ，85；
（2）解：由题意得：
八（1）班的方差为
:八（1）班的方差为 22.8；
（3）解：八（2）班的方差为 ， Q 八（1）班的平均数小于八（2）班的平均数，且八（2）班的方差小于八（1）班的方差， :八（2）班前 5 名的整体成绩较好．
19 ．证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质， 全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的 性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明 △ABE≌△CDF (AAS) ，进而结论得证． 【详解】证明：:四边形ABCD 为平行四边形，
: AB = CD，AB Ⅱ CD ， : 上ABE = 上CDF ，
: AE 丄 BD，CF 丄 BD ， : 上AEB = 上CFD = 90° ,
: 上AEB = 上CFD, 上ABE = 上CDF, AB = CD ，
: △ABE≌△CDF (AAS)， : BE = DF ，
: BE + EF = DF + EF ， : BF = DE ．
20 ．(1)见解析
(2)20
【分析】（1）连接 BD ，作 BD 的垂直平分线交AD ，BC 于点 E，F，则四边形 BEDF 为菱 形；由EF 是BD 的垂直平分线得EB = ED ，FB = FD ，OD = OB ，再证 △OED 和△OFB 全
等得ED = FB ，进而得 EB = ED = FB = FD ，据此可判定四边形 BEDF 为菱形；
（2）设菱形 BEDF 的边长为 x，则菱形的 BEDF 的周长为4x ，在 Rt△ABE 中由勾股定理求 出 x 即可．
【详解】（1）解：连接BD ，利用直尺和圆规作线段BD 的垂直平分线交 AD ，BC 于点 E， F，则点 E，F 为所求．如图，
证明如下：设BD 与EF 交于点 O，
∵四边形ABCD 为矩形， : ADⅡBC ，上A = 90° , : 上EDO = 上FBO ，
∵ EF 是BD 的垂直平分线，
: EB = ED ，FB = FD ，OD = OB ， 在 △OED 和△OFB 中，
: △OED≌△OFB (ASA ) ， : ED = FB ，
: EB = ED = FB = FD ，
:四边形BEDF 为菱形， :点 E，F 为所求作的点．
（2）解：设菱形 BEDF 的边长为 x，则菱形的 BEDF 的周长为4x ， 在Rt△ABE 中，AB = 4 ，BE = x ， AE = AD - DF = 8 - x ，
由勾股定理得：BE = AB2 + AE2 ，
即：x2 = 42 + (8 - x )2 ， 解得：x = 5 ，
:菱形的BEDF 的周长为4x = 20 ．
答：菱形BEDF 的周长为 20．
【点睛】此题主要考查了基本尺规作图， 菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等，解 答此题的关键熟练掌握利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线的方法与步骤，理解四条边 都相等的四边形是菱形．
21 ．(1) k = -1 ；点 A 的坐标为(-1, 3) ；
(2) x > 2 ；
(3) x < -1．
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质及两条直线相交或平 行问题，熟知一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
（1）将点 A 坐标代入y = -3x 求出 a 的值，再将所得点 A 的坐标代入y = kx + 2 即可解决问 题；
（2）结合（1）中求出的 k 值进行计算即可；
（3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：将点 A(a, 3) 代入y = -3x 得，
-3a = 3 ，
解得a = -1 ，
所以点 A 的坐标为(-1, 3) ．
将点A(-1, 3) 代入y = kx + 2 得，
-k + 2 = 3 ， 解得k = -1 ；
（2）解：由（1）知，k = -1 ， : kx + 2 < 0 ，即 -x + 2 < 0 ，
解得x > 2 ；
（3）解：由（1）可知，点 A 的坐标为(-1, 3) ，根据函数图象可知，
当x < -1时，函数y = kx + 2 的图象在函数y = -3x 图象的下方，即kx + 2 < -3x ，
所以当kx + 2 < -3x 时，x 的取值范围是x < -1．
22 ．(1)甲型客车坐满后载客 40 人，乙型客车坐满后载客 55 人
(2)租甲型客车 8 辆，乙型客车 2 辆最省钱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．
（1）设甲型客车坐满后载客 x 人，乙型客车坐满后载客y 人，根据题意列出方程组求解即 可；
（2）设租甲型客车a 辆，则租乙型客车(10 - a) 辆．先求出 a 的取值范围，再列出租车费用 的函数关系式求解即可．
【详解】（1）设甲型客车坐满后载客 x 人，乙型客车坐满后载客y 人， 根据题意，得
解得 ．
答：甲型客车坐满后载客 40 人，乙型客车坐满后载客 55 人．
（2）设租甲型客车a 辆，则租乙型客车(10 - a) 辆． 根据题意，得40a +55(10 - a) ≥ 420 ，解得 ． Q a 为整数，
: a 的最大值为 8．
Q 甲型客车每辆租金为 500 元，乙型客车每辆租金为 600 元， : 总租金为500a + 600(10 - a) = -100a + 6000 ．
Q -100 < 0 ，
: 总租金随a 的增大而减小．
: 当a =8 时，总租金最少，此时10 - a = 2 ． 管：租甲型客车 8 辆，乙型客车 2 辆最省钱．
【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
（1）根据过程结合图形完善即可；
（2）将 a = 4 ，b = 5 ，c = 6 代入公式计算即可；
（3）利用三角形面积公式分别计算出 h1 ，h2 ，即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点 A 作AD ^ BC 于点 D，则 上ADB = 上ADC = 90° 设BD = x ，AD = h ，则 CD = a - x
: c2 - x2 = h2
解得
= ·
2a
故
（2）解：Qa = 4 ，b = 5 ，c = 6

15
= ；
4
解：QS△
24 ．(1)
(2)①1 ；②1；
(3)是，(2,1)
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解 等知识，解题的关键是：
AO = 3 ，OB = 6 ，则
（2）①先求出点A 、B 的坐标分别为： 、(0, c) ，将点C 的坐标，a = 2 ，b = 3 代入 一次函数表达式得：3 = 2k + c ，然后代入计算可；
②由①知 则 + = + = = 1 ；
（3）待定系数法求出直线HT 的表达式为 ，设直线l 的表达式为：y = mx + n ，联 立方程组求出点 求出 代入
,整理得 y = mx + n = m (x - 2) + 1 ，即可求解．
即可求解．
【详解】（1）解：当 x =0 ，则 y = 6 ；当 y = 0 ，则 -2x + 6 = 0 ，解得 x = 3 ， :直线y= -2x + 6 分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，
:点A 、B 的坐标分别为：(3, 0) 、(0, 6) ，
: AO = 3 ，OB = 6 ，
则
（2）解：①当x = 0 ，则y = c ；当 y = 0 ，则 kx + b = 0 ，解得 x = - ， :直线y = kx + c 分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，
:点A 、B 的坐标分别为
将点C 的坐标代入一次函数表达式得：b = ak + c ， ∴当a = 2 ，b = 3 时，3 = 2k + c ，
∴ c = 3 - 2k ，
故答案为：1；
②由①知，b = ak + c ，OA = - ，OB = c ，
（3）解：设直线 HT 的表达式为：y = k1x + b1 ，
则 ， 解得
设直线l 的表达式为：y = mx + n ，
联立上述两式得： x + 2 = mx + n ，
解得 则点
由点H 、N 的坐标得 则
Q 4 + = 1，即 4m + 1- 2m = 1， HM HN 4m - n n - 4m
解得：n = 1 - 2m ，
则y = mx + n = m (x - 2) + 1 ， 当x = 2 时，y = 1，
即直线l 过定点(2,1) ．