2024-2025学年辽宁省沈阳市铁西区下学期八年级数学期末试卷

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市铁西区下学期八年级数学期末试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024-2025 学年度下学期期末质量监测八年数学
（本试卷共 23 道题，满分 120 分，考试时间 120 分钟）
第一部分 选择题考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷 上作答无效第一部分选择题
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）
1．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三 角”“ 中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是( ).
A．
B．
C．
D．
2 ．因式分解：1- 4y2 = ( )
A ．(1- 2y)(1+ 2y) B ．(2 - y )(2 + y)
C ．(1- 2y)(2 + y) D ．(2 - y )(1+ 2y)
3 ．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，当 △EBC 是等边三角形时，上CED 的度 数为( )
A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°
4 ．在直角坐标系中，把点A (m, 2) 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得
到点B ．若点B 的横坐标和纵坐标相等，则m = ( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
ì2x -1 < 5
l x < m +1
5 ．若关于 x 的不等式组 í 的解集为x < 3，则 m 的取值范围是( )
A ．m>2 B ．m ≥ 2 C ．m < 2 D ．m ≤ 2
6 ．下列条件中，能判定平行四边形ABCD 是菱形的是( )
A ．上A = 90 B ．上B = 上C
C ．AC = BD D ．AC T BD
7 ．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是( )
A ．x2 - 6x - 9 B ．25a2 +10a -1
C ．x2 - 4x - 4 D ．
8 ．分式方程 的解为正数，则m 的取值范围( )
A ．m > -3 B ．m > -3且m ≠ -2
C ．m < 3 D ．m < 3且m ≠ -2
9 ．如图，在 △ABC 中，上DCE = 42° , AE = AC ，BC = BD ，则7ACB 的度数为 ( )
A ．138° B ．128° C ．106° D ．96°
10．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是AC 的中点，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，线段EF 经过点O ，下列结论： ① ABⅡDC ； ② FOⅡFC ； ③ 上B = 上D ； ④ S四边形ABFO = S四边形CDEO ．其中错误结论的个数为( )
A ．1个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
第二部分 非选择题二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11 ．计算 ．
12 ．因式分解：x3 - 6x2 + 9x = ．
13 ．如图，已知AB ，BC ，CD 是正n 边形的三条边，在同一平面内，以BC 为边 在该正n 边形的外部作正方形BCMN ．若上ABN = 120° ,则n 的值为 ．
14 ．不等式2x - 6 ≤ 5 的最大整数解是 ．
15 ．如图，在 △ABC 中，上C = 90° , 上B = 30° , 以点A 为圆心，适当长为半径画弧 分别交AB，AC 于点M 和点N ，再分别以点M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径 画弧，两弧在 ÐBAC 的内部交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．若△ABD 的 面积为16 ，则 AB 的长为 ．
三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理 过程）
ì 2x -1 > 1
16 ．（1）解不等式组： íl3 (2 - x) > -6
（2）解分式方程
17 ．先化简，再求值 其中a = 3 ．
18 ．如图，点A 是直线MN 外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图：
①在直线MN 上任取一点B ，连接AB ；
②以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，BN 于点E ，F ；
③分别以点E ，F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧在上ABN 的内部交于 点C ，作射线 BC ：
④以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交射线BC 于点D ，作直线 AD ．
(1)判断AD 与MN 的位置关系，并说明理由：
(2)若上ABN = 60° , BD = 7 ，求 AB 的长．
19 ．如图，在 △ABC 中，AB = AC ，D 是BC 的中点，CE∥AD ，AE 丄 AD ， EF 丄 AC ．
(1)求证：四边形ADCE 是矩形；
(2)若BC = 4, CE = 3 ，求EF 的长．
20 ．如图，在 △ABC 中，延长AC 到点D ，使CD = CA ，点F 是边BC 上的点，延长 AF 到点E ，使FE = FA ，连接DE ，且DE = CD ．若上CAB = 上CFA ，CF = 3 ，求BF 的长．
21．为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子 的价格比每个实心球的价格少 23 元，且 84 元购买绳子的数量与360 元购买实心 球的数量相同．
(1)绳子和实心球的单价各是多少元？
(2)如果本次购买的总费用不超过 510 元，且购买绳子的数量是实心球数量的 3 倍，那么绳子最多能购买多少条？
22．在 △ABC 中，点D 是AC 的中点，CE TAB 于点E ，BD 与CE 交于点O ，且BE = CD ．
(1)如图 1，当点 E 为AB 的中点时，
①求证： △ABC 是等边三角形；
(2)如图 2，判断上BDC 与7ABD 的数量关系，并说明理由．
23 ．【初步探究】
（1）如图 1，在等边三角形 ABC 中，点M ，N 分别为边AB ，AC 上的动点（不 与端点重合）， AN = BM ．将线段MA 绕点M 顺时针旋转一定角度得到线段MD ， 当MD∥ AC 时，
① 上AMD = ___________；
@若AC = 6, AN = 2 ，求BD 的长；
（2）如图 2，在 △ABC 中，CA = CB ，上CAB = 90° ,点 M ，N 分别为边AB ，AC
上的动点（不与端点凪合）， AN = BM ．过点A 作AE 丄 MN 于点E ，交BC 于点F ， 将MA 绕点M 逆时针旋转90° 得到MD ，连接DA, DB ．请判断四边形AFBD 的形状， 并说明理由：
【拓展应用】
如图 3 ，在Rt △ABD 中，上ADB = 90° , 上 点E 为边AD 上 的点，连接BE ，将BE 绕点B 顺时针旋转60° 得到BF ，连接DF ，求 △BDF 周长的 最小值．
1 ．D
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与自 身重合．
2 ．A
【分析】利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：1- 4y2 = (1- 2y)(1+ 2y) ， 故选：A．
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解， 是重要考点，难度较易，掌握相关知识是 解题关键．
3 ．C
【分析】本题考查了矩形的性质， 等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的 关键．
由矩形ABCD 得到AD ⅡBC ，继而得到上AEB = 上EBC ，而 △EBC 是等边三角形，因此得到
上CED = 上BCE = 60° .
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形， : AD ⅡBC ，
: 上CED = 上BCE ，
∵ △EBC 是等边三角形， : 上BCE = 60° ,
: 上CED = 60° , 故选：C．
4 ．C
【分析】先根据平移方式确定点 B 的坐标，再根据点B 的横坐标和纵坐标相等列方程，解方
【详解】解：解 í ,得： í
l x < m +1 lx ∵不等式组的解集为：x < 3 ，
程即可．
【详解】解：Q 点A (m, 2) 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到点B ，
: B(m + 1, 2 + 3) ，即 B (m + 1,5) ， Q 点B 的横坐标和纵坐标相等，
: m +1 = 5 ，
: m = 4 ， 故选 C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移， 一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握 平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．
5 ．B
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围， 先解不等式组，再根据不等式组的解 集，得到关于参数的不等式，进行求解即可．
x < 3
< m +1
ì2x -1 < 5 ì
: m +1≥ 3 ，
: m ≥ 2 ；
故选 B．
6 ．D
,
【分析】本题考查菱形的判定方法,根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是 菱形，结合选项逐一分析即可
【详解】A. 若上A = 90° ,则平行四边形 ABCD 为矩形，而非菱形，故 A 错误；
B. 由上B = 上C 及平行四边形邻角互补可得上B = 上C = 90° ,此时平行四边形为矩形，故 B 错误；
C. 对角线AC = BD 的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，故 C 错误；
D. 对角线AC 丄 BD 的平行四边形是菱形，符合菱形的判定条件，故 D 正确． 故选：D．
7 ．D
【分析】本题考查完全平方公式分解因式，需满足 a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 的形式，据此依次
判断即可；
【详解】解：A. x2 - 6x - 9 ：
首项x2 和末项-9 符号相反，且-9 不是平方数，无法构成完全平方公式；
B. 25a2 +10a -1：
首项为(5a)2 ，中间项10a 对应2 .5a .1，但末项 -1非正数且非平方数，不符合公式；
C. x2 - 4x - 4 ：
首项x2 和末项-4 符号相反，且-4 非平方数，无法构成完全平方公式；
首项a2 ，中间项a 可写为 末项 是 ，符合完全平方公式，即 ；
综上，只有D 满足完全平方公式的条件； 故选：D
8 ．B
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解， 先解分式方程，求出分式方程的解，再根 据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以 x -1得， 2 = x -1- m ， 解得x = m + 3 ，
∵分式方程 的解为正数，
: m + 3 > 0 ， : m > -3 ，
又∵ x ≠ 1 ， 即m + 3 ≠ 1， : m ≠ -2 ，
: m 的取值范围为m > -3 且m ≠ -2 ， 故选：B ．
9 ．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点， 熟悉掌握等腰三角 形的性质是解题的关键．设上AEC = x ，上BDC = y ，根据AE = AC ，BC = BD ，用含x 、y 的代数式表示 Ð A 、 ÐB ，最后在 △ABC 中，利用三角形内角和定理，代入计算即可．
【详解】∵ AE = AC ，BC = BD ，
设上AEC = 上ACE = x ，上BDC = 上BCD = y ， : 上ACD = x - 42° , 上BCE = y - 42° ,
:上A = 上BDC - 上ACD = y - (x - 42° ) = y - x + 42° , 上B = 上AEC - 上ECB = x - (y - 42° ) = x - y + 42° ,
: 上A + 上B = y - x + 42° + x - y + 42° = 84° ,
:上ACB = 180° - (上A + 上B) = 180° - 84° = 96° 故选D ．
10 ．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质， 根据平行四边形的对边 平行、对角相等可知 ① 、 ③ 正确；因为FO 与FC 有交点，所以FO Ⅱ FC 错误，故 ② 错误； 因为AC 是平行四边形的对角线，所以S△ABC = S△ 利用ASA 可证
△AOE≌△COF ，所以可知S△AOE = S△COF ，从而可证S四边形ABFO = S四边形CDEO ，故 ④ 正确． 【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AB Ⅱ CD ， 故 ① 正确；
Q FO 与FC 相交于点F ， :FO 与FC 不平行，
故 ② 错误；
Q 四边形ABCD 是平行四边形， :上B = 上D ，
故 ③ 正确；
Q 四边形ABCD 是平行四边形，AC 是YABCD 的对角线，
: S△ABC = S△ Ⅱ BC ，
:上EAO = 上FCO ，
Q 点O 是AC 的中点，
: AO = CO ，
在 △AOE 和 △COF 中 :△AOE≌△COF ，
:S△AOE = S△COF ，
:S△ABC - S△COF = S△CDA - S△AOE ，
: S四边形ABFO = S四边形CDEO ，
故 ④ 正确．
综上所述，错误结论的个数为1 .
故选： A．
11 ．1
【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可． 解
故选：1．
12 ．x (x - 3)2
【分析】本题考查了因式分解， 掌握分解因式的方法是解题关键．先提公因式x ，再利用完 全平方公式分解因式即可．
【详解】解：x3 - 6x2 + 9x = x (x2 - 6x + 9) = x (x - 3)2 ， 故答案为：x (x - 3)2 ．
13 ．12
【分析】本题考查的是正方形的性质，多边形内角与外角，先求解正多边形的 1 个内角度数， 得到正多边形的 1 个外角度数，再结合外角和可得答案，关键是正方形性质的应用．
【详解】解：Q 四边形BCMN 是正方形，
:上NBC = 90° ,
Q 上ABN = 120° ,
:上ABC = 360° - 90° -120° = 150° ,
:正n 边形的一个外角为180° -150° = 30° ,
:n 的值为 ． 故答案为：12．
14 ．5
【分析】本题考查求一元一次不等式的最大整数解，解题的关键是会解一元一次不等式． 解一元一次不等式，取最大整数解即可．
【详解】解：: 2x - 6 ≤ 5
: 2x ≤ 11 ，
: 2x - 6 ≤ 5 的最大整数解为5 ， 故答案为：5 ．
15 ．8
【分析】本题主要考查了含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义和角 平分线的尺规作图，由三角形内角和定理可得上BAC = 60° ,由含 30 度角的直角三角形的性 质可得AB = 2AC ，则由勾股定理可得 BC = AC ；由作图方法可得，AD 平分 ÐBAC ，则
上CAD = 30° , 据此额度AD = 2CD ，AC = CD ，BC = 3CD ，再由三角形面积计算公式求 出CD 的长即可得到答案．
【详解】解：:在△ABC 中，上C = 90° , 上B = 30° , : 上BAC = 180° -∠C -∠B = 60° , AB = 2AC ，
由作图方法可得，AD 平分 ÐBAC ，
: AD = 2CD ，
: BC = 3CD ，
: BD = AC - CD = 2CD ，
∵△ABD 的面积为16 3 ，
: CD = 4 或CD = -4 （舍去）， ,
故答案为： ．
16 ．（1）1 < x < 4 ；（2）x = -1
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，掌握相关解法是解题关键．
（1）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大 小小无解了确定不等式组的解集即可．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解．
ìï2x -1 > 1①
【详解】解：（1） íïl3 (2 - x) > -6② , 解不等式①得：x > 1 ，
解不等式②得：x < 4 ，
:不等式组的解集为1< x < 4 ；
（2） ，
去分母得：2x = x -1 ，
解得：x = -1 ，
经检验，x = -1 时，x -1≠ 0 ， :分式方程的解为x = -1 ．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘 法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：(çè 1 - ÷
1
=
,
a
当a =3 时，原式= ．
18 ．(1) AD ⅡMN ，理由见解析
【分析】本题考查的是尺规作图—作角平分线、等腰三角形的判定与性质及含 30 度角的直 角三角形的性质，
（1）先证明上ABD = 上DBN ，上ABD = 上ADB ，进而得出上DBN = 上ADB ，即可证明结论；
（2）作 AH丄 BD 于点 H，求出ÐABH= ÐABN = 30° ,根据勾股定理及含 30 度角的直角 三角形的性质求出结论；
【详解】（1）解：AD ⅡMN ，理由如下：
由题意得：BD 平分上ABN ，AB = AD ， :ÐABD = ÐDBN ，
Q AB = AD ，
:上ABD = 上ADB ， :ÐDBN = ÐADB ， : AD∥MN ；
（2）解：作 AH丄 BD 于点 H，
Q AB = AD ，BD = 7 ，
QÐABN = 60° , BD 平分上ABN ，
在Rt△ABH 中，AH2 + BH2 = AB2
解得： ．
19 ．(1)证明见解析
【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质， 三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知 识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等腰三角形三线合一的性质得出上ADC = 90° ,有平行线的性质得出 上ECD = 90° , 结合已知条件可得出上EAD = 90° ,即可证明四边形 ADCE 是矩形．
（2）由（1）可知四边形 ADCE 是矩形．由矩形的性质得出AE = DC ，CE = AD = 3 ，
上AEC = 90° , 由已知条件可得出DC = AE = BC = 2 ，由勾股定理求出AC ，最后根据等面
1 1
积法可得出 EF . AC = AE . CE ，即可求出 EF ．
2 2
【详解】（1）证明：∵ AB = AC ， D 是 BC 的中点，
: AD 丄 BC ，
: 上ADC = 90° , ∵ CE∥AD ，
: 上ECD = 180° - 上ADC = 90° , 又∵AE 丄 AD ，
: 上EAD = 90° ,
:四边形ADCE 是矩形．
（2）由（1）可知四边形 ADCE 是矩形． : AE = DC ，CE = AD = 3 ，上AEC = 90° ,
∵D 是BC 的中点，BC = 4
在 △ADC 中，上ADC = 90° ,
: AC = = = ， ∵ EF 丄 AC ，
20 ．9
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 三角形中位线定理，由三角形中位线定 理得到DE = 2CF = 6，DE∥CF ，则上E = 上CFA ，上D = 上ACB ，证明△ACB≌△EDA(ASA)
得到BC = AD ，再由 AC = CD = DE = 6 ，得到 BC = AD = AC + CD = 12 ，则 BF = BC - CF = 9 ．
【详解】解：∵ CD = CA ，FE = FA ，
: CF 是△ADE 的中位线，
: DE = 2CF = 6，DE∥CF ，
: 上E = 上CFA ，上D = 上ACB ，
∵ 上CAB = 上CFA ， : 上CAB = 上E ，
又∵DE = CD ， : DE = AC ，
:△ACB≌△EDA(ASA) ， : BC = AD ，
∵ AC = CD = DE = 6 ，
: BC = AD = AC + CD = 12 ， : BF = BC - CF = 9 ．
21 ．(1)绳子的单价为 7 元，实心球的单价为 30 元
(2)绳子最多能购买 30 条
【分析】本题考查了分式方程的应用， 一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不 等式是解题关键．
（1）设绳子的单价是x 元，则实心球的单价是(x + 23) 元，根据“84 元购买绳子的数量与 360 元购买实心球的数量相同”列分式方程求解即可；
（2）设绳子能购买a 条，则实心球能购买条，根据“购买的总费用不超过 510 元”列一元 一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设绳子的单价是x 元，则实心球的单价是(x + 23) 元， 则 ，
解得：x = 7 ，
经检验，x = 7 是原分式方程的解， :x + 23 = 7 + 23 = 30 （元），
答：绳子的单价为 7 元，实心球的单价为 30 元
（2）解：设绳子能购买a 条，则实心球能购买条，
则 解得：a ≤ 30 ，
Q a 是正整数，
:绳子最多能购买 30 条．
22 ．(1)①见解析；
(2)上BDC = 3上ABD ，理由见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的性质， 等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等 腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，掌握等边三角形和直角三角形的性质是 解题关键．
（1）①根据线段中点得到AC = AB ，根据垂直平分线的性质，得到AC = BC ，即可证明结 论；
@连接AO 并延长交BC 于点F ，根据等边三角形的性质，得到 AF 丄 BC ，上CBD = 30° ,
OA = OB ，进而得到 OA = OB = 2OF ，推出 AF = 3OF ，再根据 求解即可；
（2）连接DE ，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到DE = AD = CD ，根据等边对
等对等角和三角形外角的性质得到上ABD = 上BDE ，上A = 上AED = 2上ABD ，再利用三角形外 角的性质求解即可．
【详解】（1）解：① Q 点D 是AC 的中点，点E 为AB 的中点，
: AC = 2CD ，AB = 2BE ，
Q BE = CD ，
: AC = AB ，
Q CE 丄 AB ，点 E 为AB 的中点，
: CE 是AB 的垂直平分线，
: AC = BC ，
: AC = BC = AB ，
:△ABC 是等边三角形；
@如图，连接AO 并延长交BC 于点F ，
由①可知， △ABC 是等边三角形，
Q 点D 是AC 的中点，点E 为AB 的中点，CE 丄 AB ，
: AF 丄 BC ，上ABD = 上上ABC = 30° , OA = OB ， 在Rt △BOF 中，OB = 2OF ，
: OA = 2OF ，
: AF = 3OF ，
故答案为：
（2）解：上BDC = 3上ABD ，理由如下：
如图，连接DE ，
Q CE 丄 AB ，
:上AEC = 90° ,
Q 点D 是AC 的中点， Q BE = CD ，
:BE = DE ，
:上ABD = 上BDE ，
:上AED = 上ABD + 上BDE = 2上ABD ，
QDE = AD ，
:上A = 上AED = 2上ABD ，
:上BDC = 上A + 上ABD = 3上ABD ，
即上BDC = 3上ABD ．
23 ．（1）①120° ；@ 2 ；（2）四边形 AFBD 是平行四边形，理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定， 勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，熟知相关知识是解题的关 键．
（1）①由等边三角形的性质得到上A = 60° , 再由平行线的性质可得答案；@由等边三角形 的性质得到上A = 60° , AB = AC = 6 ，由平行线的性质得到∠BMD = ∠NAM = 60° ,求出
AM = AB - BM = 4 ，则由旋转的性质可得 AM = MD = 4 ；过点 B 作BH 丄 DM 于 H，则
上 则DH = DM - HM = 3 ，由勾股定理得 由勾股定理BD = = 2 ；
（2）求出上C = 上ABC = 45° , ∠ACF + ∠BAF = 90° , 可证明上ANM = 上BAF ；由旋转的性
质可得AM = DM， ∠AMD = 90° ,证明 △ANM≌△MBD (SAS)，得到∠MBD = ∠ANM ，则
上MBD = 上BAF ，AF ∥ BD ，再由∠BAD = ∠ABF = 45° ,得到 AD∥BF ，则四边形 AFBD 是平行四边形；
（3）取 AB 的中点 G，连接 EG ，可求出 BD = 5 ， ∠ABD = 60° ,由旋转的性质可得 2
BE = BF， ∠EBF = 60° , 再证明△EBG≌△FBD(SAS) ，得到 △BDF 的周长等于 △EBG 的周 长；作点 B 关于直线AD 的对称点 H，连接EH，GH，DG ，则 可得到 △EBG 的周长= BE + EG + BG = HE + EG + ，则当 H、E、G 三点共线时，
HE + EG 有最小值；可证明上BGH = 90° ,由勾股定理可得 据此可得答案． 【详解】解：（1）①: △ABC 是等边三角形，
: 上A = 60° , : MD∥AC ，
:∠AMD = 180° -∠A = 120° ; ②: △ABC 是等边三角形，
: 上A = 60° , AB = AC = 6 ， : MD∥AC ，
:∠BMD = ∠NAM = 60° ; : AN = BM = 2 ，
: AM = AB - BM = 4 ，
由旋转的性质可得AM = MD = 4 ；
如图所示，过点 B 作BH 丄 DM 于 H，则 上HBM = 90° - 60° = 30° ,
: DH = DM - HM = 3 ，
在Rt△BHM 中，由勾股定理得
在Rt△ BDH 中，由勾股定理BD = = 2 ；
（2）四边形 AFBD 是平行四边形，理由如下：
∵在△ABC 中，CA = CB ，上CAB = 90° ,
: 上C = 上ABC = 45° , ∠ACF + ∠BAF = 90° , ∵ AE 丄 MN ，
: 上AEN = 90° ,
:∠ENA +∠EAN = 90° , : 上ANM = 上BAF ；
由旋转的性质可得AM = DM， ∠AMD = 90° ,
:∠DMB = 180° -∠AMD = 90° = ∠MAN ，上MAD = 上MDA = 45° , 又∵ AN = MB ，
: △ANM≌△MBD (SAS)， :∠MBD = ∠ANM ，
: 上MBD = 上BAF ， : AF ∥ BD ，
又∵∠BAD = ∠ABF = 45° , : AD∥BF ，
:四边形AFBD 是平行四边形；
（3）如图所示，取 AB 的中点 G，连接 EG ， ∵在Rt△ABD 中，上ADB = 90° , 上A = 30° ,
, ∵G 为AB 的中点，
由旋转的性质可得BE = BF， ∠EBF = 60° ,
:∠EBG = ∠FBD = 60° -∠DBE ， :△EBG≌△FBD(SAS) ，
: △BDF 的周长等于 △EBG 的周长；
如图所示，作点 B 关于直线AD 的对称点 H，连接EH，GH，DG ，
: △EBG 的周长= BE + EG + BG = HE + EG +
:当H、E、G 三点共线时，HE + EG 有最小值，即此时 △EBG 的周长有最小值， : BG = BD， ∠DBG = 60° ,
: △BDG 是等边三角形，
: DG = BD = DH ，上BDG = 上BGD = 60° , : 上DHG = 上DGH ，
又:∠BDG = ∠DHG +∠DGH ， : 上DHG = 上DGH = 30° ,
:∠BGH = 60° + 30° = 90° ,
: △EBG 的周长的最小值为 ，
: △BDF 的周长的最小值为 ．