2024-2025学年广东省江门市下学期八年级数学期末试卷

这是一份2024-2025学年广东省江门市下学期八年级数学期末试卷，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 ．全卷共 6 页，满分 120 分，测试用时为 120 分钟．
2 ．答卷前，在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写相关信息．
3 ．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，修改时用橡皮擦擦干净后重新填涂所选选项信息点．
4 ．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定区域内作答；如需改 动，先划掉原来的答案，再重新写上新的答案，不能使用涂改液修改．不按以 上要求作答的答案无效．
5 ．务必保持答题卡的整洁．测试结束后，将测试试卷和答题卡一并交给监考老 师．
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的四 个选项中，只有一项符合题目要求．
1 ．下列式子为最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ． 的计算结果是( )
A ． ±3 B ．3 C ． D ．
3 ．已知下列各三角形三边长，其中不能构成直角三角形的是( )
A ．2 、 3 、 4 B ．3 、 4 、 5 C ．5 、 12 、 13 D ．6 、 8 、 10
4 ．已知：在 △ABC 中，AB = 4，AC = 3，BC = 5 ，则 △ABC 的面积是( )
A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
5 ．已知在。ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点 O ， AC = 6 ，则OA 等于( )
A ．3 B ．6 C ．4 D ．12
6 ．如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形ABCD 中添加条 件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是( )
嘉嘉：ADⅡBC ；淇淇：AB = CD
A ．只有嘉嘉的正确 B ．只有淇淇的正确
C ．两人的都正确 D ．两人的都不正确
7 ．已知一次函数y = 3x +1 的图象向上平移t (t > 0) 个单位长度后，其图象经过点 (2,8)，则 t 的值为( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
8 ．已知某植物园的成人票每张 50 元，学生票每张 20 元，设植物园已收门票的 总费用为y 元，植物园内有成人 x 名和学生 1 名，则y 与 x 之间的函数解析式为 ( )
A ．y = 20x + 50 B ．y = 50x C ．y = 50x + 20 D ．y = 20x
9 ．如图，Rt△ABC 中，上ACB = 90° , AC = 3 ，BC = 4 ．点 D 是AB 边上的动点， 过点 D 作边AC ，垂足分别为 E，F．连接EF ，则 EF 的最小值为( )
A ．3 B ．2.4 C ．4 D ．2.5
10．某校为强化学生安全教育学习成果，考查学生面对突发事件的应急处突能力 和自救互救能力，组织七年级，八年级学生进行了理论知识测试（分数为整数， 满分为 10 分）. 已知两个年级随机抽取参与测试的学生人数相同，根据成绩绘制 了如图所示的统计表和统计图.下列判断正确的是( )
统计 量
平均 数
众 数
中位 数
方 差
七年 级
8
8
c
1.16
A ．两个年级被抽取参与测试的学生人数均为 40 人
B ．若该校八年级有 900 名学生，估计该校八年级学生成绩满分的人数约 105 人
C ． b = 9 ； c = 8
D ．七年级测试成绩得 9 分的学生人数最多，说明七年级学生成绩较稳定
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
11 ．计算：( ·、i3 )2 = .
12 ．计算：(2 - 3) ÷ = ．
13．当前，我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一， 形成完整且竞争力强的产业链，成长起一批具有国际竞争力的企业．某汽车制造 公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了 A ，B ，C， D 四款车型在满电状态下的平均续航里程（单位：km ）与续航里程的方差：
根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应 该选择 ．
14．DeepSeek 训练AI模型时，记录GPU 温度y (°C) 与运行时间x （小时）的关系
八年 级
8
b
8
1.56
车型
A
B
C
D
平均续航里程(km)
420
420
410
400
方差
0.03
0.06
0.03
0.05
如图所示，当运行到第 10 小时，GPU 的温度是 °C ．
15．中国传统房屋往往将屋脊做成三角形形状，如图 1，用三角形房梁支撑房檩， 做成三角形屋脊，图 2 是房梁的平面图，MN 是加固房梁的一根横撑．若
AB = AC = 5 米，BC = 6 米，M 为BC 的中点，MN 丄 AC 于点N ，则 MN 的长度为 米．
三、解答题（一）：本大题共 3 小题，共 21 分，其中 16 题 6 分，17 题 7 分，18 题 8 分．
16 ．计算：
(2)(3 + 2 )(3 - 2 ) ．
17 ．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知 求2a2 - 8a +1 的值．
对于该题，小明是这样解答的：
:(a - 2)2 = 3, a2 - 4a + 4 = 3 ，
:a2 - 4a = -1，
: 2a2 - 8a + 1 = 2(a2 - 4a) + 1 = 2 × (-1) + 1 = -1 ．
请你根据小明的解题过程，解决以下问题：
化简
若 求a2 - 4a + 3 的值．
18．为提高学生的劳动技能，某学校开辟了一块空地并在空地上建有大棚．数学 兴趣小组在空地上种下某速生植物的种子，种植后第 5 天种子刚刚发芽(记长度 为 0cm)，组员在每天同一时间对该植物的长度进行了测量并记录，第 10 天该 植物的长度为 20cm，经过研究发现该植物的长度 y(单位：cm)与种植时间 x(单 位：天)成一次函数关系．
(1)请根据以上信息在所给的平面直角坐标系中画出函数图象．
(2)求第 20 天该植物的长度．
四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分．
19 ．植树造林是生态文明建设的重要一环，2025 年 4 月 3 日，习近平总书记在 参加首都义务植树活动时强调绿化祖国必须坚持“三绿”并举、“四库”联动，要更 加注重“提质”“兴业”“利民”．某校组织学生参加植树活动，要求每人植树 4~7 棵， 活动结束后随机调查了部分学生植树的棵数，并将结果绘制成如下不完整的统计 图：
所抽取学生植树棵数条形统计图
所抽取学生植树棵数扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，所抽取学生植树棵数的中位数是____________棵，众数是 ______________棵；
(2)求所抽取的学生平均每人植树的棵数；
(3)若该校共有 500 名学生参加此次植树活动，请你估计该校此次活动植树的总 数．
20 ．如图，在。ABCD 中，BE 丄 AD 交DA 的延长线于点 E，AE = AD ．
(1)求证：四边形AEBC 是矩形；
(2)F 为CD 的中点，连接AF ，BF ．已知AB = 6 ，BF 丄 AF ，求BF 的长．
21 ．如图，直线 l：y ＝ x+ 3 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 M 为线段 AB 的中点，
(1)求 A 、B 、M 的坐标；
(2)直线 l 关于y 轴对称的直线为 l'，写出直线 l'的解析式；
(3)若直线 l'交 x 轴于点 C，直线 MC 与y 轴的交点为 N，连接 OM，求 ．
五、解答题（三）：本大题共 2 小题，共 27 分，其中22 题 13 分．23 题 14 分．
22 ．综合与实践
【项目背景】在数字化农业快速发展的时代，大数据分析与智能决策在水果产业 中的作用愈发关键．芒果作为深受消费者喜爱的热带水果，其市场需求持续增 长．为提升芒果产业的整体效益，实现精准化种植与科学化管理，某农业科技研 究小组针对 2024 年n 个芒果主产区的产量数据展开深入研究．通过对这些数据 的专业分析，为芒果种植园的规划布局、采摘时间安排、仓储保鲜策略及市场销 售渠道拓展提供有力的数据支撑，借助科技力量优化芒果产业的全流程发展．
【数据收集与整理】将收集的n 个芒果主产区的产量数据（产量：x ，单位：万 吨）进行如下分组：
整理数据后得到部分信息如下：
① C 组的数据（单位：万吨）为 51 ，56 ，56 ，54 ，55 ，58．
@2024 年芒果产量的频数分布直方图和扇形统计图如图所示：
组别
A
B
C
D
E
x /万吨
30 ≤ x < 40
40 ≤ x < 50
50 ≤ x < 60
60 ≤ x < 70
70 ≤ x < 80
任务 1 ：n = _____ ，a = _____．
【数据分析与运用】任务 2：C 组数据的众数是_____ ；收集的这n 个芒果主产区 2024 年芒果产量的中位数是_____．
任务 3 ：2024 年各组芒果的平均产量如下表：
求这n 个芒果主产区 2024 年芒果的平均产量．
任务 4：下列结论正确的是_____（填正确结论的序号）．
①如果收集的n 个芒果主产区的产量数据都增加0.5 万吨，那么这些地区芒果产 量的总数会增加0.5 万吨；
②如果A 组的所有数据都增加 5 万吨，那么这n 个芒果主产区芒果产量的平均数 会增加 0.5 万吨；
③如果各地区芒果产量数据的最大值与最小值相差 40 万吨，且最低产量在A 组， 那么最高产量一定在E 组．
23 ．综合与探究
【问题情境】在 △ABC 中，分别以AB 和AC 为边向外作等腰直角△ABD 和等腰直 角△ACE ，其中 上ADB = 上AEC = 90° , AD = BD ，AE = CE ，F 是边BC 的中点．
【猜想验证】
（1）如图 1，若DM ^ AB ，EN 丄 AC ，垂足分别是M ，N ，连接MF ，NF ，试 判断四边形AMFN 的形状，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图 2，连接DF ，EF ．
①试判断线段DF 与EF 的数量关系和位置关系，并说明理由．
组别
A
B
C
D
E
平均产量/
万吨
35
43
55
68
74
②若DF = ·、 ，请直接写出四边形 ADBC 和△ACE的面积之和．
1 ．A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义， 根据最简二次根式的定义：被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式；被开方数因数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可．
【详解】解：A 、 3 是最简二次根式，故 A 符合题意；
B 、 8 = 2 被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，故 B 不合题意；
C 、 被开方数含有分母，不是最简二次根式，故 C 不合题意；
D 、 m|被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，故 D 不合题意． 故选：A．
2 ．B
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，利用二次根式的乘法的法则进行运算即可． 解
=3．
故选：B．
3 ．A
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据较小两边的平方和等于较长边的平方的三角形能 够成直角三角形逐项判断即可．
【详解】解：A 、: 22 + 32 ≠ 42 ，
:2 、 3 、 4 不能构成直角三角形，符合题意；
B 、: 32 + 42 = 52 ，
:3 、 4 、 5 能构成直角三角形，不符合题意； C 、: 52 +122 = 132 ，
:5 、 12 、 13 能构成直角三角形，不符合题意；
D 、: 62 + 82 = 102 ，:6 、 8 、 10 能构成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
4 ．C
【分析】先判断 △ABC 是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵ AB = 4，AC = 3，BC = 5 ， : 32 + 42 = 52 ，
: △ABC 是直角三角形，
: △ABC 的面积是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理， 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这 个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用 a ，b ，c 表示三角形的三条边，如果 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形．
5 ．A
【分析】根据“平行四边形对角线互相平分”即可得解．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 相交于点 O，
故选：A．
6 ．C
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可．
【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加 ADⅡBC ； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加AB = CD ；
故两人的都正确；
故选 C．
7 ．A
【解析】略
8 ．C
【分析】本题考查了利用关系式表示变量之间的关系， 找准题中的等量关系：总费用= 成人 票价+ 学生票价是解题关键．根据总费用= x 名成人的门票费用+1名学生的门票费用解答即 可．
【详解】解：依题意，y 与 x 之间的函数解析式为y = 50x + 20
故选：C．
9 ．B
【分析】连接CD ，求出AB 的长度，根据矩形的性质EF = CD ，求EF 的最小值，即求CD 的最小值，当CD 丄 AB 时，CD 最小，根据三角形的面积公式即可求出CD 的长，即可求解 【详解】解：连接CD ，
∵ 上ACB = 90° , AC = 3 ，BC = 4 ，
∵ DE ^ AC ，DF 丄 BC ，上ACB = 90° , : 上DEC = 上ACB = 上DFC = 90° ,
:四边形CEDF 是矩形 : CD = EF ，
由垂线段最短可知，当CD 丄 AB 时，线段CD 最小，则线段EF 的值最小， 此时S△
: CD = 2.4
: EF 的最小值为2.4 ， 故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识， 熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
10 ．C
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图， 中位数与众数的定义，有样本估计总体，方 差判断稳定性，根据条形统计图与扇形统计图的相关知识，中位数与众数的定义，有样本估 计总体，方差等知识逐项判断即可．
【详解】解：A、两个年级被抽取参与测试的学生人数均为 5 +10 +19 +12 + 4 = 50 人，故选 项 A 错误，不符合题意；
B、八年级学生成绩满分的人所占比例为100% - 28% - 22% - 24% -14% = 12% ，
则若该校八年级有 900 名学生，成绩满分的人数约900× 12% = 108 人，故选项 B 错误，不符 合题意；
C、八年级 9 分的学生所占比例最高，则众数为 9，即 b = 9 ， 50 人中，第 25 与第 26 的学生分数为中位数，都为 8 分，
则 ，故选项 C 正确，符合题意；
D、七年级测试成绩得 8 分的学生人数最多，七年级学生成绩方差小说明成绩较稳定，故选 项 D 错误，不符合题意；
故选：C．
11 ．3
分析 ．
12 ．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算． 【详解】解：(2 - 3) ÷
= (2 ×4 - 3× 3 ) ÷
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算： 先把二次根式化为最简二次根式，再合并，然后 进行二次根式的乘除运算．
13．A
【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据表格中四种车型的平均数和方差即可解答．
【详解】解：∵根据平均数可得四种车型中平均续航里程长的是 A 和 B，根据方差可得四种 车型中续航表现稳定的车型是 A和 C，
:要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择 A．
故答案为：A．
14 ．45
【分析】本题主要考查一次函数的应用．先利用待定系数法求得0 ≤ x ≤ 20 时函数的解析式，
再求x =10 的函数值即可．
【详解】解：设函数的解析式为 y = kx + b (0 ≤ x ≤ 20)，由图象过点 (0,25) ，(20, 65) ，
ì 25 = b
l65 = 20k + b
则 í ,
解得：
所以函数的解析式为y = 2x + 25 ，
当x =10 时，y = 2 × 10 + 25 = 45 ，即此时GPU 的温度是45°C ． 故答案为：45．
15 ．2.4
【解析】略
10 3
16 ．(1)
(2) 6
1
=8 3-2 3+4 3
4 12 - 6
48
= 10 3 ．
+
【详解】解：（1）
3
(3 )2 - (2 )2 = 18 -12 = 6 ．
(3 2 + 2 3)(3 2 - 2 3)
=
（2）
2 -1；
3 - 2
17 ．(1)
(2)12
(3)4
2 -1；
【详解】解：（1）
\ 3 - 2 ．
= - 1+ - + - +…+ -
= -1+ 169
= 12 ．
:a2 -4a+3= (a-2)2 -1
= 5 -1 = 4 ．
18 ．(1)见解析．
(2)第 20 天该植物的长度是 60cm．
【分析】采用描点法，将题干中数值在图上描出，在用平滑的直线连接即可．
先设出一次函数解析式y = kx + b (k ≠ 0) ，再将 (5, 0) 和(10, 20) 代入求出k、b 即可． 【详解】（1）列表如下:
作图如下图所示：
（2）设 y = kx + b (k ≠ 0) ，将 (5, 0) 和(10, 20) 代入得
解得： ， : y = 4x - 20 (x ≥ 5) ．
当x = 20 时，y = 60 ．
答：第 20 天该植物的长度是 60cm．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法来求一次函数解析式，已知自 变量求函数值，仔细观察函数图像，准确代入信息是解题关键．
19 ．(1)图见详解，5 ，5 (2)5.3
(3)2650 棵
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图， 求中位数，众数和加权平均数，用样本
x
. . .
5
10
. . .
y
. . .
0
20
. . .
估计总体等，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解题．
（1）根据扇形图和条形图求出调查的总人数再计算植树 7 棵的人数即可补全条形统计图， 根据中位数和众数的定义求解即可．
（2）根据加权平均数公式计算即可．
（3）用样本的平均数乘以总人数即可．
【详解】（1）解：Q植树 5 棵的有 8 人，占40% ，
:调查的总人数为：8 ÷ 40% = 20 （人），
植树 7 棵的人数为：20 - 4 - 8 - 6 = 2 （人）， 补全条形统计图如下：
中位数是第 10 、11 个的平均数，第 10 、11 个数是 5，中位数为 出现的次数最
多，众数是 5，
故答案为：5 ，5；
（2）解：所抽取的学生平均每人植树的棵数 答：所抽取的学生平均每人植树的棵数是 5.3 棵．
（3）解：5.3 × 500 = 2650 （棵），
答：该校 500 名学生此次活动植树的总数是 2650 棵．
20 ．(1)见解析 (2) 3
【分析】（1）先由四边形 ABCD 是平行四边形，得 AD ⅡBC ， AD = BC ，因为 AE = AD ， 故AE Ⅱ BC ，AE = BC ，得证四边形AEBC 是平行四边形，再结合有一个角是90° 的平行四 边形是矩形，即可作答．
（2）因为四边形 AEBC 是矩形，则 Ð CAD = Ð CAE = 90° ,因为 F 为 CD 的中点，所以
因为上AFB = 90° , 由勾股定理得BF = ，代入数值进行 计算，即可作答．
【详解】（1）证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: ADⅡBC ，AD = BC ，
Q AE = AD ，
: AE Ⅱ BC ，AE = BC ，
:四边形AEBC 是平行四边形， 又Q BE 丄 AD ，
:上AEB = 90° ,
:四边形AEBC 是矩形．
（2）解：由（1）得四边形 AEBC 是矩形，AD = BC ，
:上CAD = 上CAE = 90° , Q F 为CD 的中点，
: BF 丄 AF
:上AFB = 90° ,
由勾股定理得BF = ·、 = · = 3 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定， 勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中 线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
( 1 ö
21 ．(1)A (0, ) ，B(-1, 0) ，M çè - 2 , 2 ,÷
(2) y = - x +
(3)
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特点即可求得 A、B 的坐标，进而根据中点公式求得 M 点的坐标；（2）求得点 B 关于y 轴的对称点，然后根据待定系数法即可求得；（3）过 M 作 MD 丄 x 轴于 D，通过勾股定理求得 OM 的长，再利用待定系数法求得 MC 的解析式，从而
求得与y 轴的交点 N 的坐标，即可得到 的值．
【详解】（1）在直线 l : y = x + 的解析式中，
令x = 0 ，得 y = 、 ，令 y = 0 ，得 x = -1 ， 故点 A、B 的坐标分别为 Q 点 M 为线段AB 的中点
（2）Q 直线l ¢ 与 l 关于y 轴对称，设直线l ¢ 交 x 轴于点 C， 则点 C 与 B 关于y 轴对称，即C(1, 0) ，
Q 直线l ¢ 过点 可设直线l ¢ 的解析式为 ， 由直线l ¢ 过点
即函数解析式为
（3）如图，过 M 作MD 丄 x 轴于 D，在 Rt △MDO 中，由勾股定理有：
又设直线MC 的解析式为y = ax + b ，
则 解方程组得 ，
:直线MC 的解析式为
:直线MC 的与y 轴的交点为 ，
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，待定系数法 求解析式，勾股定理等知识点，求得交点是解题的关键．
22 ．任务 1 ：20 ，4；任务 2 ：56 万吨，56 万吨；任务 3：这 20 个芒果主产区 2024 年芒果 的平均产量是 56.4 万吨；任务 4 ：②③
【分析】任务 1：根据50 ≤ x < 60 的区域个数和所占的百分比，求出总个数 n 即可；用总个数 减去其他各项的数据得出 a 的值即可；
任务 2：根据众数和中位数定义进行求解即可；
任务 3：根据平均数计算公式求出这n 个芒果主产区 2024 年芒果的平均产量即可；
任务 4：根据统计数据逐项进行判断即可． 【详解】解：任务 1 ：n = 6 ÷ 30% = 20 ，
a = 20 - 2 - 2 - 6 - 6 = 4 ；
任务 2 ：C 组数据中 56 出现的次数最多，因此众数是 56 万吨；
将收集的这n 个芒果主产区 2024 年芒果产量从小到大进行排序，排在第 10 和第 11 的都是 56 ，因此中位数是
任务 3：这n 个芒果主产区 2024 年芒果的平均产量为：
任务 4 ：①如果收集的n 个芒果主产区的产量数据都增加0.5 万吨，那么这些地区芒果产量 的总数会增加0.5× 20 = 10 万吨，故此说法错误；
②如果A 组的所有数据都增加 5 万吨，那么这n 个芒果主产区芒果产量的平均数会增加 5 × 2 ÷20 = 0.5 万吨，故此说法正确；
③如果各地区芒果产量数据的最大值与最小值相差 40 万吨，且最低产量在A 组，那么最高 产量一定在E 组，故此说法正确．
综上分析可知：正确的是②③ .
【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，众数和平均数，根据统计信息回答问题，解 题的关键是理解题意，熟练掌握统计图的特点．
23 ．（1）平行四边形；理由见解析 ① DF = EF ，DF 丄 EF ；理由见解析； ②2
【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质得到 进而由 三角形中位线的判定与性质得到MF Ⅱ AC ，FN P AB ，最后由平行四边形的判定即可得证；
（2）过点 D 作DM ^ AB ，过点 E 作EN丄 AC ，垂足分别是M ，N ，连接MF ，NF ，如 图 1 所示，由（1）的证明过程得到得四边形AMFN是平行四边形，根据平行四边形性质得 到相关边与角度关系，再结合三角形全等的判定与性质得到DF = EF ，上FDM = 上EFN ，
再结合平行线性质，数形结合表示出角度关系得到上DFE = 90° 得证DF 丄 EF ；
（3）延长DF 到点G ，使得FG = DF ，连接DE ，EG ，CG ，如图 2 所示，由①的证明过 程得到DF 丄 EF ，由全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质得到
DG = 2 ，EF = ，数形结合表示出S四边形ADBC + S△ACE = S△ 代值求解即 可得到答案．
【详解】解：（1）四边形 AMFN是平行四边形． 理由如下：
: AD = BD ，DM ^ AB ，AE = CE ，EN 丄 AC ，
: F 是BC 的中点， : BF = CF ，
: FM 和FN 都是△ABC 的中位线，
: MF Ⅱ AC ，FN P AB ，
:四边形AMFN是平行四边形；
（2）① DF = EF ，DF 丄 EF ．
理由如下：
过点D 作DM ^ AB ，过点E 作EN丄 AC ，垂足分别是M ，N ，连接MF ，NF ，如图 1 所 示：
: M ，N 分别是AB ，AC 的中点，
由（1）得四边形 AMFN是平行四边形，
: MF = AN ，NF = AM ，上AMF = 上ANF ， : DM = FN ，FM = EN ．
: 上AMD = 上ANE = 90° ,
: 上DMF = 上FNE ，
: △DMF≌△FNE (SAS) ，
: DF = EF ，上FDM = 上EFN ．
∵ FN P AB ，
: 上AMF + 上MFN = 180° ,
即上AMF + 上MFD + 上DFE + 上NFE = 180° , : 上AMF + 上MFD + 上DFE + 上FDM = 180° .
∵ 上DMF + 上FDM + 上MFD = 180° , 上DMA = 90° , : 上FDM + 上AMF + 上MFD = 180° - 上DMA = 90° ,
: 90° + 上DFE = 180° , : 上DFE = 90° ,
: DF 丄 EF ；
②延长DF 到点G ，使得FG = DF ，连接DE ，EG ，CG ，如图 2 所示：
由①,可得DF 丄 EF ， : DE = EG ．
∵ F 是BC 的中点， : BF = CF ．
∵ 上BFD = 上CFG ，DF = FG ， : △BDF≌△CGF (SAS)，
: BD = CG = AD ，上BDF = 上CGF ． ∵ AE = EC ，AD = CG ，DE = EG ， : △ADE≌△CGE (SSS)，
: 上DEA = 上GEC ，
: 上DEA + 上AEG = 上GEC + 上AEG ， : 上DEG = 上AEC = 90° ,
:△DEG 是等腰直角三角形．
: S△BDF = S△CGF ，S△DAE = S△GCE ，
: S四边形ADBC + S△ACE = S△DEG = DG . EF = × 2× = 2 ．
【点睛】本题考查几何综合， 涉及等腰三角形性质、三角形中位线的判定与性质、平行四边 形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线性质、等腰直角三角形判定与性质等知 识．熟练掌握相关几何性质、数形结合构造辅助线求解是解决问题的关键．