2024_2025学年_福建福州高二第一学期10月月考数学试卷合集2套（附解析）

这是一份2024_2025学年_福建福州高二第一学期10月月考数学试卷合集2套（附解析），共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）

A．B．
C．D．
2．已知直线l的一个方向向量，且过点，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
4．直线：与直线：平行，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要
5．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．以，，为顶点的三角形的面积等于（ ）
A．1B．C．D．2
7．若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．4
8．三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则是锐角
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
10．已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的一个法向量为
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
11．已知点是正方体表面上的一个动点，则以下说法正确的是（ ）
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为椭圆
D．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面
三、填空题（本大题共3小题）
12．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ．
13．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ．
14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线.
(1)求证：直线过定点；
(2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围.
16．已知直线，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求之间的距离．
17．如图，在直四棱柱中，底面ABCD是梯形，，E，F，G分别为，CD的中点．
(1)证明：平面．
(2)若，求二面角的余弦值．
18．如图，在三棱锥中，平面平面，O为的中点，是边长为1的等边三角形，点E在棱上，．
(1)证明：；
(2)当时，求点E到直线的距离；
(3)若二面角的大小为，求三棱锥的体积．
19．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据空间向量线性运算法则得到答案.
【详解】因为为与的交点，所以，
故.
故选：D
2．【答案】A
【详解】因为直线l的一个方向向量，所以直线l的斜率为，
又直线经过点，所以直线l的方程为，即.
故选：A.
3．【答案】C
【分析】
直接利用向量的夹角运算及数量积运算求解投影向量.
【详解】
因为，则向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量是.
故选:C．
4．【答案】B
【详解】当时，有，故或，
当时，的方程为，的方程为，此时两条直线重合，不符合；
当时，的方程为，的方程为，符合；
综上，“”是“”的充要条件，
故选：B.
5．【答案】C
【详解】
由图象结合题意可知：，
观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大，
斜率大于或等于直线的斜率；
为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率；
所以直线的斜率的取值范围是．
6．【答案】A
【详解】由题意知：，直线的方程为，即，则到直线的距离为，
故三角形的面积为.
故选：A.
7．【答案】A
【详解】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上，
设该直线方程为，则，即，
∴点M在直线上，
∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即.
故选：A.
8．【答案】D
【详解】如图所示，
设，则，
由向量的运算及余弦定理可得：
所以，
解得：，故，过作，连接，则，
设，则，解得：，所以点与点重合，
故，，即为二面的平面角，
故三棱锥可放置成如图所示，
为底面正的外心，即,
为的外接球球心，即，为使得，故，
所以三棱锥的外接球半径，
所以外接球的体积.
故选：D.
9．【答案】ACD
【详解】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；
对B，若，则，故B错误.
对C，假设共面，则，
因为向量组是空间的一个基底，
所以不存在实数，使得成立，故不共面，
即也是空间的一个基底，故C正确.
对D，因为，且，
所以四点共面，故D正确.
故选：ACD.
10．【答案】CD
【详解】对于A，因为直线l：的斜率，
但，可知不为直线l的一个法向量，故A错误；
对于B，因为直线m：的斜率，且，
所以直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C，点到直线l的距离，故C正确；
对于D，过与直线l平行的直线方程是，即，故D正确．
故选：CD.
11．【答案】AB
【分析】可以设正方体的棱长为2，利用四棱锥的体积公式，底面积与高不变则体积不变可以判断A选项；建立空间直角坐标系，设，表示出与所成角的余弦值，即可根据的范围求得范围，进而求得角的范围，判断B选项；设，表示出直线与平面所成的角的正弦值得到与的关系，从而得到点的轨迹，判断C选项；证得平面，所以是平面的法向量，再由平面得到点的轨迹，进而判断D选项.
【详解】不妨设正方体棱长为.
A选项，当在平面上运动时，点到平面的距离为2，
所以四棱锥的体积，故A正确；
B选项，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，
设与所成角为，则，
当时，.，
则，，，
，即，
当时，，所以，
又因为，所以，故B正确；
C选项，若点在底面上运动，设，
平面的法向量取，
则直线与平面所成的角为时，有，
化简为，则点的轨迹为四分之一圆，故C错误；
D选项，如图，
因为，且平面，
所以平面，即是平面的法向量，
，
若平面，则，即，
因为直线与正方形有公共点，即存在点满足平面，故D错误.
故选AB.
【方法总结】求动点轨迹方程的常见方法有：
直接法：从条件中直接寻找到的关系，列出方程后化简即可；
代入法：所求点P与某已知曲线上一点存在某种关系，则可根据条件用表示出，然后代入到所在曲线方程中，即可得到关于的方程；
定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程；
参数法：从条件中无法直接找到的联系，但可通过一辅助变量，分别找到与的联系，从而得到和的方程：，即曲线的参数方程，消去参数后即可得到轨迹方程；
（5）交轨法：选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
12．【答案】
【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围，
可以得出倾斜角θ的取值范围为．
故答案为：
13．【答案】或
【详解】设在x轴、y轴上的截距均为a，
若，即直线过原点，设直线为，
代入，可得，
所以直线方程为，即；
若，则直线方程为，
代入，则，解得，
所以此时直线方程为；
综上所述：所求直线方程为或.
故答案为：或.
14．【答案】
【详解】由题意可知，动直线，经过定点，
动直线即，经过定点，
时，动直线和动直线的斜率之积为，
时，也垂直，
所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点，
，
．
设，则，，
由且，可得，
，
，
，
，
，
故答案为：.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，即，
则，解得，
所以直线过定点；
（2）
如图所示，结合图像可知，
当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；
当时，直线斜率存在，方程为，
又直线不经过第二象限，则，解得；
综上所述.
16．【答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）由，则，即，
所以，可得或.
（2）由，则，可得，故或，
当，则，，此时满足平行，且之间的距离为；
当，则，，此时两线重合，舍；
综上，时之间的距离为.
【方法总结】直线平行、重合、相交、垂直的条件：
(1)一般式：若l1：a1x＋b1y＋c1＝0(a1b1≠0)，l2：a2x＋b2y＋c2＝0(a2b2≠0)，则
①l1∥l2(或重合)⇔a1b2－a2b1＝0；
②l1与l2相交⇔a1b2－a2b1≠0；
③l1与l2垂直⇔a1a2＋b1b2＝0.
(2)斜截式：若l1，l2斜率都存在，且l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
①l1∥l2(或重合)⇔k1＝k2；
②l1与l2相交⇔k1≠k2；
③l1与l2垂直⇔k1k2＝－1.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接.
因为是的中位线，所以，且.
同理可得，且.
又，且，所以，且.
则四边形是平行四边形，从而.
因为平面，平面，所以平面.
（2）在直四棱柱中，因为，所以两两垂直.
以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系.
因为，所以，
则
设平面的法向量为，
则，令，可得，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
所以
易知二面角为锐角，所以其余弦值为.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由平面平面，证得平面，进而证得；
（2）取的中点，过作与交于点，可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求出，可得，点到直线的距离为，计算即可；
（3）设，求出平面和平面的法向量，由二面角的大小为求出的值，进而可求出三棱锥的体积.
【详解】（1）因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
，，，
又，
所以，则，
所以点到直线的距离为；
（3）设，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，又
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故三棱锥的体积．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)①或；②不存在点，理由见解析
【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由， ，，，
则，，因，则，，
所以，
①设平面的法向量为，由，，得：
，可取
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，化简得：，
解得或，即或.
②如图，假设在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，
由得，即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无实数解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上.
2024-2025学年福建省福州市高二上学期10月月考数学检测试卷（二）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知数列,则是它的( )
A．第30项B．第31项C．第32项D．第33项
2．直线与圆的位置关系是（）
A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心C．相切D．相离
3．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．10B．16C．D．4
4．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
5．“”是“方程是圆的方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）
A．55B．52C．39D．26
7．光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，又被轴反射，这时反射线恰好过点，则所在直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
8．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点B．若，则或
C．若，则或2D．当时，始终不过第三象限
10．已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（ ）
A．
B．数列单调递减
C．
D．数列是公差为2的等差数列
11．已知，点为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，下列说法正确的是（ ）
A．若圆，则圆与圆有四条公切线
B．若满足，则
C．直线的方程为
D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ．
13．已知直线与交于，两点，则的面积为 .
14．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知点；
(1)求过点且与平行的直线方程；
(2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程．
16．已知数列满足.
(1)求的通项公式.
(2)求数列的前项和.
17．证明圆与圆内切，并求它们的公切线方程．
18．已知的前项和是，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和．
19．在平面直角坐标系中，圆M是以两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称．
(1)求圆N的标准方程；
(2)设，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．
①过点C作与直线垂直的直线，交圆N于两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；
②设直线,相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】根据数列的项写出其通项公式，可得到关于n的方程，解方程即可求得答案.
【详解】根据所给数列的项，可以得到其通项，
故令，解得，
故选：C.
2．D
【分析】利用圆心到直线的距离来确定正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
到直线的距离，
所以直线与圆相离.
故选：D
3．C
【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合等比数列的下标性质进行求解即可.
【详解】依题意，得，而，所以．
故选：C
4．B
【分析】根据已知先求出直线的斜率，进而可求直线的倾斜角．
【详解】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
故直线的倾斜角为．
故选：B．
5．A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】若方程表示圆，则，
即，解得或，
故 “”是“方程是圆的方程”的充分不必要条件，
故选：A
6．B
【分析】将每天织的布构成一个等差数列，根据条件求出公差，将要求的转化为公差与首项来求，即可得出答案．
【详解】因为从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，
所以该女子每天织的布构成一个等差数列 ，
其中 ．
所以 ．
故选：B．
7．A
【解析】根据题意做出光线传播路径，求关于轴的对称点，点关于轴的对称点，进而得所在直线的方程即为直线方程，再根据两点式求方程即可.
【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，
则点关于轴的对称点，
点关于轴的对称点，
则所在直线的方程即为直线方程，
由两点是方程得直线方程为：，整理得：
故选：A.
【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求关于轴的对称点与关于轴的对称点所在直线的方程，考查运算求解能力，是中档题.
8．A
【分析】利用给定条件结合对数的性质构造，两侧同时平方求最值即可.
【详解】由题知是的正整数解，
故，
取指数得，
同除得，，
故，即，
根据是递增数列可以得到也是递增数列，
于是原不等式转化为.
而可以得到满足要求的的最大值为5，故A正确.
故选：A
9．ACD
【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合；选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断.
【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确；
选项B：当时，，重合，故B错误；
选项C：当时，由，得或2，故C正确；
选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.
故选：ACD
10．AC
【分析】根据题意，利用，可求出值为2，从而，，进一步即可判断选项A、C，易知是以2为首项，以2为公比的等比数列，从而可判断选项B；计算出即可判断选项D.
【详解】解：由题意可知，根据，得，整理得，
解得或（舍去），所以，故选项A正确；
由，得是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以单调递增，故选项B错误；
，则，所以选项C正确；
令，则，所以，
所以是以为公差的等差数列，选项D错误.
故选：AC.
11．ABD
【分析】先由两圆位置关系得到公切线条数，再由圆上的点的三角表示求出的取值范围，再由切线求出切点最后得到切点弦方程，最后应用阿氏圆转化为两点间线段最短即可.
【详解】圆的圆心为，，
对于A：圆的圆心为，半径，所以，
所以两个圆外离，所以有4条公切线，A正确；
对于B：因为满足，所以是圆上的点，
所以可令，其中，
此时，B正确；
对于C：若过点的直线斜率不存在，此时直线为，不是圆的切线，
所以圆的切线斜率存在，设为，则切线方程为，
圆心到直线的距离为，解得或者，
所以切线方程为和，
联立，解得，联立，解得，
所以（或者），
所以，直线，C错误；
对于D：设轴上存在点使得圆上任意的一点点满足，
即，解得，
所以，解得，所以存在点在圆内使得，
所以，D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：若能熟练掌握圆的切点弦方程和阿氏圆逆定理则能快速判断CD选项.
12．300
【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案.
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
，
由题意可得：，即，解得，
故数列的所有项之和是.
故答案为：300.
13．
【分析】利用弦长公式求得，进而求得三角形的面积.
【详解】的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为.
面积为.
故答案为：.
14．
【分析】先计算出的图象关于点中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围.
【详解】因为
，
所以的图象关于点中心对称．
因为，
所以，
两式相加得，所以．
由，得，
所以．
令，则当时，单调递减；
当时，单调递增．
又，所以，
所以，即的取值范围是．
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）利用直线平行的斜率关系和直线的点斜式方程求解即可；
（2）分类讨论截距是否为0进行求解即可.
【详解】（1）直线的斜率： ，
故过点且与平行的直线方程斜率.
且故直线方程为：，即.
（2）过点且在轴和轴上截距相等的直线方程,
当截距为0时, 直线过原点，直线方程为：，即；
当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为：，
代入得，
故直线方程为即.
综上得：直线方程为或
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用累乘法可求得通项公式；
（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求得前项和.
【详解】（1）因为，
所以，，，……，，
所以，
所以，得；
（2）由（1）得，
令数列的前项和为，则
所以，
所以
，
所以
所以数列的前项和为.
17．证明见解析，切线方程为
【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求证，求解切点坐标，根据向量垂直关系即可求解切线方程.
【详解】将圆的方程化成标准方程，得，
则圆心坐标为，半径．
将圆的方程化成标准方程，得，
则圆心坐标为，半径．
两圆心之间的距离，因此两圆内切（如图）．

为求公切线方程，需要求切点坐标．切点是两圆唯一的公共点，
其坐标即为方程组的解．
②－①，得， ③
即． ④
将④代入②，整理得．
解此方程，得唯一解，代入④，得．故切点坐标为．
切点到圆的圆心的方向向量为，并且与切线方向垂直，
故向量是切线的法向量，因此可设切线的一般式方程为．
将切点的坐标代入上述方程，解得．
因此，所求切线方程为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由递推公式得，有，即可求解；
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，分别由等差数列求和及裂项相消法求和即可．
【详解】（1）由①得，当时，②，
联立①②得，
所以有，
因为，所以．
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
由（1）知
则，
，
综上：．
19．(1)
(2)①7；②点G在定直线上.
【分析】（1）以为直径的圆，圆心为的中点，半径为的一半，则可直接得圆M的方程，然后由对称的性质可得圆N的圆心和半径，写出圆的标准方程即可.
（2）利用点到直线的距离公式，可用的斜率表示出四边形的面积，由均值定理可得其最大值；点在定直线上的问题可以用参数表示出点的坐标，然后研究纵、横坐标之间的联系，确定其所在直线的方程.
【详解】（1）由题意得：为线段的中点，故圆M的圆心坐标为，半径
圆M的方程为：，
因为圆N关于圆M关于直线对称，所以圆N的圆心为
所以圆N的标准方程为：.
（2）解：设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，所以，
（ⅰ）若，则直线斜率不存在，则，,则，
若，则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，
所以，则，
当且仅当，即时，等号成立.
综上所述，因为，所以S的最大值为7；
（ⅱ）设，联立方程组得：
消y得，则，
直线的方程为，直线的方程为，联立解得
则，
所以，所以点G在定直线上
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
B
A
B
A
A
ACD
AC
题号
11









答案
ABD