2024-2025学年湖南省长沙市地质中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市地质中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={3,4,6}，B={x∈Z||x|≤2}，则(∁UA)∩B=( )
A. {1,5}B. {1,2}C. {2,3}D. ⌀
2.已知△ABC是锐角三角形，若sin2A−sin2B=sinBsinC，则ab的取值范围是( )
A. (0,2)B. ( 2, 3)C. ( 2,2)D. ( 3,2)
3.函数f(2x)的定义域为[0,1)，则f(1−3x)的定义域是( )．
A. (−2,1]B. (−12,1]C. (−13,13]D. (−2,4]
4.德国心理学家艾⋅宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的趋势可由函数y=1−近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)( )
A. 2小时B. 0.8小时C. 0.5小时D. 0.2小时
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若∀a，b∈[0,+∞)，且a≠b，都有af(a)−bf(b)a−bBF，设直线CA，CB与平面EFG所成的角分别为α，β，平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为θ，则( )
A. sinθ0)个单位长度，得到函数g(x)的图像，下列说法正确的是( )
A. 当θ=5π6时，g(x)为偶函数
B. 当θ=π6时，g(x)在区间[−π3,π3]上单调递增
C. 当θ=π4时，g(x)在区间[−π6,π6]上的值域为[0, 3]
D. 当θ=π4时，函数y=g(x)−95在区间[−π6,π6]上有2个零点
10.直线l：x−my−2=0(m∈R)与x轴的交点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，若点O为坐标原点，l与C交于A、B两点.则( )
A. p=8
B. OA⋅OB=−12
C. △OAB重心横坐标的最小值为43
D. 以线段AB为直径的圆被y轴截得的弦长为定值
11.已知函数f(x)=(x+1)2,x≤0|lnx|,x>0，则方程f(f(x))−m=0(m∈R)实数根的个数可以为( )
A. 4B. 6C. 7D. 9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为______．
13.已知在△ABC中，AB=2,AC= 17,BC=3,P为平面ABC内一点，则PC⋅(PA+PB)的最小值是______．
14.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且∀x1≠x2∈[0,+∞)，f(x1)−f(x2)x1−x2>2(x1+x2)恒成立，若f(2)=8，则满足f(lnm)≤2(lnm)2的实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)．
(1)若(a+kb)//(2a+b)，求实数k；
(2)若向量a+kb与2a+b所成角为锐角，求实数k的范围．
16.(本小题12分)
如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．
(Ⅰ)求证：CF//平面ADE；
(Ⅱ)若AE= 2，求多面体ABCDEF的体积V．
17.(本小题12分)
对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．
(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x−4a，a∈R，试判断f(x)是否为“局部奇函数”，并说明理由；
(2)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−1为定义在R上的“局部奇函数”，求函数f(x)在x∈[−1,1]的最小值．
18.(本小题12分)
中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以3：0取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为45．
(1)求中国队以3：0的比分获胜的概率；
(2)求中国队在已输一场的情况下获胜的概率；
(3)求至多进行四场比赛的概率．
19.(本小题12分)
设数列{an}是1，2，…，n(n∈N∗)的一个排列.由{an}中连续r项组成的集合称作“{an}的长为r的子列集”，其中1≤r≤n.任取不大于n的正整数s，t，当st≥n时，若数列{an}的任意长为s的子列集B={b1,b2,…,bs}和数列1，2，…，n的任意长为t的子列集C={c1,c2,…,ct}，都有B∩C≠⌀，则称数列{an}为“好数列”．
(Ⅰ)判断下列数列是否为“好数列”：
①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3．
(Ⅱ)证明：由1，2，…，n的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过[n+12]的“好数列”([x]表示不超过x的最大整数)；
(Ⅲ)若数列{an}为“好数列”，求n的最大值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：∵全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={3,4,6}，
∴∁UA={1,2,5}，
又∵B={x∈Z||x|≤2}={−2,−1,0,1,2}，
∴(∁UA)∩B={1,2}．
故选：B．
利用集合的基本运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为sin2A−sin2B=sinBsinC，由正弦定理可得a2−b2=bc，
即a2=b2+bc，由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA，则b2+bc=b2+c2−2bccsA，
即b=c−2bcsA，由正弦定理得sinB=sinC−2sinBcsA，
在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
所以sinB=sinAcsB−csAsinB=sin(A−B)，即sinB=sin(A−B)，
因为△ABC为锐角三角形，0