2024-2025学年河南省鹤壁市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省鹤壁市高二（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，记X是硬币落地时正面向上的次数，则E(X)=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
2.已知集合A={1,2,3,5,7,9}，B={x|x+2∈A}，则A∩B=( )
A. {1,2,3}B. {3,5,7}C. {1,3,5,7}D. {3,5,7,9}
3.过点P(1,1)可以作圆C：x2+y2−2x=0的切线的条数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 无数条
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4−a5=21，a3=11，则a10=( )
A. 25B. 28C. 29D. 32
5.设M是抛物线y2=2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，若∠xFM=π3，|MF|=4，则p=( )
A. 2B. 32C. 4D. 1
6.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若f(π)=0且f(x)在区间(0,π)内恰有2个零点，则ω=( )
A. 236B. 176C. 2312D. 1112
7.有三个储水点，分别储存着15L、20L、25L水.小明每次使用一个容积为5L的水桶从这三个储水点取水并带回家倒入水缸中储存，且每次取水必须将水桶装满.若要将这60L水全部取完，小明前往这三个储水点的不同顺序的种数为( )
A. 55440B. 41320C. 32770D. 27720
8.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若AC边上的高为13b，则(a+c)2ac的最大值为( )
A. 2+ 13B. 17C. 4D. 3 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=a+bi，w=b+ai，a，b∈R且a≠b，则( )
A. zw−=wz−B. |w+z|=|w−z|
C. |z+w−|=|z−w−|D. |zw−|=|z−w|
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是线段AC1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 异面直线A1D与B1D1所成的角为π3
B. A1P的最小值为 63
C. 若AC1⊥平面A1PD，则3AP=AC1
D. 三棱锥A1−PDB的体积的最大值为12
11.用[x]表示不超过x的最大整数，设函数f(x)=[x]+1xx+[1x](x>0)，则下列说法正确的是( )
A. f(2)=23
B. f(x)1，则f(x)在[n,n+1)上的值域为(1−1(n+1)2,1+1n2]
D. 若n∈N∗且n>1，则方程f(x)=1在(1,n)内有(n−1)个根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若方程x2sinα+y2csα=1表示焦点在x轴上的椭圆，则tanα的取值范围是______．
13.对某小区内有小孩的家庭进行调查，发现各家小孩都没有超过3个，且其中有1个小孩、2个小孩、3个小孩的家庭占比分别为25、25、15，假设生男生女是等可能的，从该小区任选一个有小孩的家庭，则此家庭中有女孩的概率为______．
14.已知函数f(x)=2ex−1−ax+e1−ax，若当x>0时，f(x)≥2，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某研究机构调查了青年人与老年人的睡眠情况，称睡眠时间少于8ℎ为“睡眠不合格”，睡眠时间不少于8ℎ为“睡眠合格”.下面是统计数据：
(1)求调查的所有人睡眠合格的概率；
(2)求调查的所有人的平均睡眠时长；
(3)根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为青年人与老年人的睡眠合格率有差异？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
16.(本小题15分)
已知双曲线E：x2−y2b2=1(b>0)的左顶点为A，右焦点为F.过点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，其中B位于第一象限，且AB⊥AC．
(1)求E的方程；
(2)过点F且斜率为13的直线l与E交于M，N两点，求△BMN的面积．
17.(本小题15分)
如图，在四面体ABCD中，△ABD为等边三角形，BC⊥BD，BD=BC=2，且cs∠ADC= 24．
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
(2)若点E满足DC=4DE，求平面ACD与平面ABE夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2xx+2，x1=1，xn=f(xn−1)(n∈N∗，且n≥2)，记yn=1xn．
(1)求x2、x3；
(2)证明{yn}是等差数列，并求{yn}的通项公式；
(3)令mn=2n(yn+2n)，求数列{mn}的前n项和Pn．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnx−ex，g(x)=eax−ex+(a−1)(lnx+x)．
(1)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=ex+b，求a+b的值；
(2)若f(x)在其定义域上不具有单调性，求实数a的取值范围；
(3)若f(x)与g(x)的图象恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由二项分布的定义可知，X～B(4,12)，
所以E(X)=4×12=2．
故选：C．
由题意可得X～B(4,12)，利用二项分布的期望公式可求得E(X)的值．
本题主要考查了二项分布的期望公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵A={1,2,3,5,7,9}，
∴B={x|x+2∈A}={−1,0,1,3,5,7}，
∴由交集定义得A∩B={1,3,5,7}．
故选：C．
求出集合B，利用交集的定义可求得集合A∩B．
本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意点P(1,1)，圆C：x2+y2−2x=0，
可得12+12−2×1=0，
故点P在圆C上，
因此过点P只能作一条圆C的切线．
故选：B．
判断点P与圆C的位置关系，即可得出结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，数列{an}是等差数列，设其公差为d，
若S4−a5=21，a3=11，则S4−a5=3a1+2d=21a3=a1+2d=11，解得a1=5，d=3，
因此an=3n+2，
则a10=32．
故选：D．
根据给定条件，列出关于首项a1=2、公差d的方程组，求出数列通项公式即可．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：设M是抛物线y2=2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，
不妨设点M在第一象限，过点M作MN⊥x轴，
因为∠xFM=π3，|MF|=4，
则|FN|=|MF|csπ3=4×12=2，
|MN|=|MF|sinπ3=4× 32=2 3，
易知点F(p2,0)，
结合图形可知M(p2+2,2 3)，
将点M的坐标代入抛物线方程得2p(p2+2)=(2 3)2=12，
整理得p2+4p−12=0，
因为p>0，
解得p=2．
故选：A．
不妨设点M在第一象限，过点M作MN⊥x轴，求出点M的坐标，代入抛物线方程，结合p>0可求得p的值．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．
6.【答案】B
【解析】解：因为f(π)=sin(πω+π6)=0，
所以ωπ+π6=kπ(k∈Z)，结合ω>0，可得ω=k−16(k∈N∗)，
当00)，
因为直线BC与x轴垂直，
所以直线BC的方程为x=c，
将x=c代入双曲线的方程中，
解得y=±b2，
因为AB⊥AC，
所以△ABC是等腰直角三角形，
此时b2=1+c，
即c2−1=1+c，
解得c=2(负值舍去)，
所以b2=c2−1=3，
则双曲线的E的方程为x2−y23=1；
(2)由(1)可得F(2,0)，
设l：y=13(x−2)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，且x10，那么函数p(x)在(0,+∞)上有异号零点，
那么导函数p′(x)=−(x+1)ex0恒成立，因此p(x)在区间(0,+∞)上单调递减，
由于函数p(a)=a−aea=a(1−ea)0即可，
即p(0)⋅p(a)0对任意的x∈R恒成立，所以函数m(x)是增函数，
所以ax=lnx，即a=lnxx恰有2个不同的实根．
设函数ℎ(x)=lnxx，那么函数ℎ(x)的图象与直线y=a恰有2个交点，导函数ℎ′(x)=1−lnxx2，
令导函数ℎ′(x)=0，可得x=e，
因此当x>e时，ℎ′(x)0，当x趋向于+∞时，ℎ(x)趋向于0，如下图所示：
因此当0